Cap´ıtulo 2. Series de potencias y de Fourier

Capı́tulo 2.
Series de potencias y de Fourier
En este capı́tulo estudiaremos dos casos particulares, pero muy importantes, de
series de funciones: las series de potencias y las series de Fourier. Ambas series
se aplican a problemas de diversa ı́ndole: modelización de problemas fı́sicos,
resolución de ecuaciones diferenciales y de ecuaciones en derivadas parciales,
tratamiento de señales, tratamiento de imágenes, etc. Usaremos el cálculo de
las series de potencias y de Fourier de una función dada para el problema
particular de conocer la suma de series numéricas.
2.1
Series de potencias
Muchos problemas matemáticos, fı́sicos, económicos, etc. convienen expresarlos como suma de una serie de potencias. Este recurso es especialmente útil en
los casos en los que la función no es elemental; al disponer de su representación
en series de potencias, es posible analizarla, estudiando sus propiedades y su
comportamiento.
19
20
2. Series de potencias y de Fourier
2.1.1
Definiciones y propiedades básicas
Definición. Se llama serie de potencias a una serie funcional de la forma
∞
X
an x n ,
n=0
siendo an y x números reales.
Como vemos, en cierto modo, una serie de potencias consiste en una especie
de “polinomio con infinitos términos”. Veremos que, a la hora de operar con
ellas, las funciones definidas como suma de una serie de potencias comparten
muchas propiedades con los polinomios.
La primera pregunta que nos podemos hacer es ¿para qué valores de x
converge una serie de este tipo?. Antes de nada, veamos algunos ejemplos.
Ejemplos de series de potencias
• La serie geométrica
∞
X
xn es una serie de potencias absolutamente con-
n=0
vergente si |x| < 1 y no convergente si |x| ≥ 1.
Nota. Usar el criterio del cociente.
• La serie de potencias
x ∈ IR
∞
X
( nx )n es absolutamente convergente para todo
n=1
Nota. Usar el criterio de la raı́z.
• La serie de potencias
∞
X
n=0
(nx)n solamente converge para x = 0.
2.1. Series de potencias
21
Para el caso de una serie de potencias general, tenemos el siguiente resultado.
Teorema 2.1.1 Teorema de Cauchy-Hadamard. Dada una serie de potencias
∞
X
an xn , existe R ∈ [0, +∞] tal que:
n=0
1. La serie no converge en los puntos x tales |x| > R.
2. La serie converge absolutamente en los puntos x tales que |x| < R.
A este R se le llama radio de convergencia de la serie de potencias y a
(−R, R) intervalo de convergencia.
En los puntos x = ±R la serie puede que converja o no. Por tanto, el campo
de convergencia de una serie de potencias es uno de estos cuatro intervalos:
(−R, +R), [−R, +R), (−R, +R], [−R, +R].
Nota 2.1.2 Tenemos que R = lim
|an |
1
ó R = lim q
si existen dichos
n
|an+1 |
|an |
lı́mites.
Prueba. Basta aplicar los criterios del cociente y de la raı́z a la serie
∞
X
an x n .
n=0
∞
X
n! n
x y estudiar
nn
n=1
su comportamiento en los extremos de su intervalo de convergencia.
Ejemplo. Hallar el radio de convergencia de la serie
(−1)n
22
2. Series de potencias y de Fourier
Operaciones con series de potencias
Sea k ∈ IR, sean f (x) =
∞
X
n
an x y g(x) =
n=0
• f (kx) =
∞
X
∞
X
bn xn en (−R, R), entonces
n=0
an k n xn en ( −R
, R ).
|k| |k|
n=0
• f (xN ) =
∞
X
√ √
an xnN en (− N R, N R).
n=0
∞
X
• f (x) ± g(x) =
(an ± bn ) xn en (−R, R).
n=0
Ejemplo. Hallar la suma de la serie
∞ X
n=2
1
x2n y calcular su intervalo
32n
2+
de convergencia.
2.1.2
La serie
Propiedades de las series de potencias
∞
X
an xn converge a f (x) uniformemente en todo intervalo cerrado
n=0
contenido en (−R, R). Pero no se puede asegurar, en general, la convergencia
uniforme en (−R, R).
Ejemplo. La serie
∞
X
xn que posee campo de convergencia (−1, 1) no es
n=0
uniformemente convergente ahı́.
2.1. Series de potencias
23
Teorema 2.1.3 Teorema de Abel. Si
X
an xn converge en x = −R (resp.
n≥0
en x = R) entonces converge uniformemente en [−R, c] (resp. en [c, R]) para
todo c ∈ (−R, R).
Por tanto, si f (x) =
∞
X
an xn en (−R, R) y la serie converge en x = −R
n=0
(resp. en x = R) entonces f (−R) = lim f (x) (resp. f (R) = lim f (x)).
x→−R
x→R
Teorema 2.1.4 Continuidad, derivada e integral de una serie de
potencias. Sea f (x) =
∞
X
an xn en (−R, R), entonces
n=0
• f (x) es continua en todo su campo de convergencia.
• f (x) es derivable en (−R, R) y su derivada es
f 0 (x) =
∞
X
(an xn )0 =
∞
X
nan xn−1
n=1
n=1
para todo x ∈ (−R, R).
• f (x) es integrable en todo el intervalo [0, x] incluido en su campo de
convergencia y su integral es
Z
0
x
f (t)dt =
∞ Z
X
n=0
0
x
n
an x dt =
∞
X
an n+1
x
n=0 n + 1
Prueba. Basta aplicar los teoremas de continuidad , derivada e integral para
series de funciones vistos en el capı́tulo anterior.
24
2. Series de potencias y de Fourier
Ejercicio. A partir de la función suma de una serie geométrica y recurriendo
a las anteriores propiedades de derivación e integración de series de potencias,
comprobar que
•
1
= 1 + 2x + 3x2 + · · · + (n + 1)xn en (−1, 1).
(1 − x)2
• log(1 + x) = x −
• arctg x = x −
2.1.3
x2 x3
xn
+
− · · · + (−1)n+1 + · · · en (−1, 1].
2
3
n
x3 x5
x2n+1
+
− · · · + (−1)n
+ · · · en [−1, 1].
3
5
2n + 1
Series de Taylor y de McLaurin
Como hemos podido ver, la suma de una serie de potencias de radio no nulo
define en su intervalo de convergencia una función f (x) =
∞
X
an xn . Se dice
n=0
entonces que la serie representa a la función f en el intervalo de convergencia
y que es el desarrollo en series de potencias de la función f centrada en x = 0.
Se plantean entonces de manera natural dos problemas:
1. Dada una serie, hallar propiedades de la función suma.
2. Dada una función, averiguar si se puede representar por una serie de
potencias.
A continuación, veamos cómo resolver estos problemas.
Primero, aplicando reiteradamente la fórmula de la derivada de una función
suma, obtenemos la siguiente propiedad.
2.1. Series de potencias
25
Proposición 2.1.5 Si f (x) =
∞
X
an xn en (−R, R), entonces f (x) admite
n=0
derivada de todo orden k ∈ IN, además
f k) (x) =
∞
X
n!
an xn−k
(n
−
k)!
n=k
para todo x ∈ (−R, R) .
En particular se cumple que f k) (0) = k! ak . Por tanto, podemos escribir
f (x) =
∞
X
f k) (0)
k=0
k!
xk
para todo x ∈ (−R, R) .
Como consecuencias de la propiedad anterior, tenemos que:
1. Si
∞
X
an x n y
n=0
∞
X
bn xn tienen el mismo radio de convergencia y la misma
n=0
suma f (x) entonces ambas series son iguales, es decir,
an = b n =
2. Si f (x) =
∞
X
f n) (0)
,
n!
para todo n ≥ 0 .
an xn es una serie de potencias de radio R, entonces
n=0
f (x) =
∞
X
f n) (0)
n=0
n!
xn
para todo x ∈ (−R, R) .
Definición. Se dice que una función f (x) admite desarrollo en serie de
potencias en el intervalo (−R, R) si existe una serie de potencias
∞
X
an xn tal
n=0
que
f (x) =
∞
X
an x n
para todo x ∈ (−R, R) .
n=0
Obviamente, f (x) admite derivada de todo orden en (−R, R) y an =
f n) (0)
.
n!
26
2. Series de potencias y de Fourier
1. Si una función f tiene derivada de todos los órdenes en x = a, se llama
serie de Taylor de f centrada en a, a la serie
X f n) (a)
n≥0
n!
(x − a)n .
2. Si una función f tiene derivada de todos los órdenes en x = 0, se llama
serie de McLaurin de f a la serie
X f n) (0)
n≥0
2.1.4
n!
xn .
Representación de funciones por series de potencias
Las propiedades anteriores pueden inducir a pensar que si una función f admite
derivadas de todos los órdenes, entonces se puede expresar como la suma de
una serie de potencias. Como veremos a continuación, esto no siempre ocurre.
Ejemplo. Obtener el desarrollo de McLaurin de la función (que se llama
función de Cauchy):

 e−1/x2
f (x) =

0
si x 6= 0
si x = 0
y comprobar que la serie es igual a la función sólo en x = 0.
Nota. Las sucesivas derivadas de f (x) para x 6= 0 se determinan mediante
las reglas de derivación:
2
4
6
1 −1/x2
2
−1/x2
n)
f 00 (x) =
−
e
,
f
(x)
=
P
e
f 0 (x) = 3 e−1/x ,
n
6
4
x
x
x
x
siendo P3n
1
x
=
2n
x3n
+ · · · , un polinomio de grado 3n respecto de x1 .
2.1. Series de potencias
27
Teorema 2.1.6 Condición necesaria y suficiente para que exista
desarrollo en serie. Si una función f : A ⊂ IR → IR admite derivadas de
todos los órdenes en un intervalo abierto (−R, R), entonces la igualdad
f (x) =
∞
X
f n) (0)
n=0
n!
xn
para todo x ∈ (−R, R)
es válida si y sólo si existe algún c entre 0 y x tal que
f (x) =
n
X
f k) (0)
k=0
k!
xk +
f n+1) (c) n+1
x
(n + 1)!
y
lim
n→∞
f n+1) (c) n+1
x
=0
(n + 1)!
para todo x ∈ (−R, R).
Recordar que a la expresión Rn (x) =
f n+1) (c) n+1
x
se le llama Resto de
(n + 1)!
Lagrange.
Ejemplo. Calcular la serie de McLaurin de la función f (x) = ex y comprobar
que la suma de la serie coincide con la función en todo IR.
Por tanto, para que una función f coincida con la suma de su serie de
McLaurin, es necesario que sus derivadas sucesivas no tengan un tamaño “desmesurado”. En aplicaciones concretas es suficiente comprobar que las derivadas están acotadas por una constante.
Teorema 2.1.7 Condición suficiente para que exista desarrollo
en serie. Si una función f : A ⊂ IR → IR admite derivadas de todos los
órdenes en un intervalo abierto (−R, R), y si dichas derivadas están acotadas
por una misma cota K, es decir existe K > 0 tal que |f n) (x)| ≤ K para todo
28
2. Series de potencias y de Fourier
n ∈ IN y para todo x ∈ (−R, R), entonces f admite desarrollo en serie de
potencias, es decir,
f (x) =
∞
X
f n) (0)
n=0
n!
xn
∀x ∈ (−R, R) .
Prueba. Por el teorema del sandwich, tenemos que para todo x ∈ (−R, R),
f n+1) (x)
K|x|n+1
KRn+1
n+1 0 ≤ lim x ≤ lim
≤ lim
= 0.
n→∞ (n + 1)!
n→∞ (n + 1)!
n→∞ (n + 1)!
Ejercicios.
• Utilizando el teorema anterior, comprueba que sin x y cos x coinciden
con la suma de su serie de McLaurin en todo IR.
• Comprueba que la serie de McLaurin S(x) de ex no satisface las hipótesis
del teorema anterior, aunque se cumpla que ex = S(x) para todo x ∈ IR.
Observación final. En esta sección siempre hemos considerado las series
P
centradas en x0 = 0, es decir, hemos considerado series de la forma an xn .
P
Para estudiar series centradas en x0 6= 0, es decir, del tipo an (x−x0 )n , basta
realizar el cambio de variables X = x − x0 .
Ejemplo. Es equivalente estudiar la serie de Taylor de log x centrada en
x = 1 que la serie de McLaurin de log(1 + x).
2.1. Series de potencias
2.1.5
Desarrollos de algunas funciones en series de potencias
1
= 1 + x + x2 + · · · + xn + · · ·
1−x
ex = 1 +
29
x
x2
xn
+
+ ··· +
+ ···
1!
2!
n!
para x ∈ (−1, 1)
para todo x ∈ IR.
sen x = x −
x3 x5
x2n+1
+
+ · · · + (−1)n
+ ···
3!
5!
(2n + 1)!
para todo x ∈ IR.
cos x = 1 −
x2 x4
x2n
+
+ · · · + (−1)n
+ ···
2!
4!
(2n)!
para todo x ∈ IR.
x2 x3
xn
+
+ · · · + (−1)n+1 + · · ·
2
3
n
para x ∈ (−1, 1].
x3 x5
x2n+1
+
+ · · · + (−1)n
+ ···
3
5
2n + 1
para x ∈ [−1, 1].
L(1 + x) = x −
arctg x = x −
(1 + x)k = 1 +
k
k(k − 1) 2
k(k − 1) . . . (k − n + 1) n
x+
x + ··· +
x + · · · para x ∈ (−1, 1).
1!
2!
n!
arcsen x = x +
1 x3
1 · 3 · · · (2n − 1) x2n+1
+ ··· +
+ ···
2 3
2 · 4 · · · (2n) 2n + 1
para x ∈ [−1, 1].
30
2.2
2. Series de potencias y de Fourier
Series de Fourier
Dada una función periódica f (t), por ejemplo de periodo 2π, queremos escribirla como una combinación en la que intervengan únicamente senos y cosenos,
que son las funciones periódicas de periodo 2π más simples y conocidas. Es,
decir, queremos expresar f (t) de la forma
∞
X
1
a0 +
(an cos(nx) + bn sen(nx))
2
n=1
para todo x en el intervalo (−π, π]. Este tipo de series se llaman series trigonométricas y de todas las posibles, las series de Fourier son las que “mejor se
aproximan” a una función dada, que sea periódica y “suave a trozos”.
El problema de la representación de una función mediante una serie trigonométrica surge de la resolución de ecuaciones en derivadas parciales, como
la ecuación de ondas que gobierna el problema de la cuerda vibrante. Hoy en
dı́a, la teorı́a de las series de Fourier es una herramienta fundamental de la
ingenierı́a de la comunicación: se utilizan en la resolución de problemas fı́sicos
como son la transmisión de sonido, ondas electromagnéticas, etc.
En esta sección estudiaremos bajo qué condiciones puede escribirse una
función como una combinación lineal de senos y cosenos, cómo calcular sus
coeficientes y algunas propiedades.
2.2. Series de Fourier
2.2.1
31
Coeficientes de Fourier
Sea f : (−π, π] → IR una función integrable. Definimos los coeficientes de
Fourier de f mediante:
1Zπ
a0 =
f (x)dx ;
π −π
Z π
1
an =
f (x)cos(nx)dx ,
π −π
1Zπ
bn =
f (x)sen(nx)dx ,
π −π
La serie
n ≥ 1;
n ≥ 1.
∞
X
1
Sf (x) = a0 +
(an cos(nx) + bn sen(nx))
2
n=1
obtenida usando los coeficientes de Fourier se llama serie de Fourier de la
función f .
Ejemplos.
• La serie de Fourier de un polinomio trigonométrico es el propio polinomio.
• La serie de Fourier de la funciónde onda rectangular de periodo 2π
 −1 si − π < t < 0
definida en (−π, π] por f (t) = 
y extendida
1
si 0 ≤ t ≤ π
periódicamente a IR es
4
1
1
sin t + sin 3t + sin 5t + · · ·
π
3
5
Sf (t) =
32
2. Series de potencias y de Fourier
Nota. Sea c un número real, sean f y g dos funciones integrables en (−π, π]
y sea Sf (x) y Sg(x) sus respectivas series de Fourier, entonces
• La serie de Fourier de h(x) = c es Sh(x) = c.
• La serie de Fourier de f (x) ± g(x) es Sf (x) ± Sg(x).
• la serie de Fourier de f (x) ± c es Sf (x) ± c
• la serie de Fourier de cf (x) es c Sf (x).
2.2.2
Convergencia puntual de las series de Fourier
Ahora abordaremos el problema de saber si la serie de Fourier de una función
f converge y, en ese caso, si su suma es la propia función f .
Una función f : I → IR (I intervalo) es suave a trozos si I se puede dividir
en un número finito de subintervalos, donde f y f 0 sean funciones continuas
en cada uno de estos subintervalos abiertos y las únicas discontinuidades de f
y f 0 en I sean de salto finito. Esto último quiere decir que los lı́mites laterales
de f y f 0 en cada uno de los extremos de estos subintervalos existan y sean
finitos.
Obsérvese que no es esencial que las funciones f y f 0 existan en los extremos
de los subintervalos.
2.2. Series de Fourier
33
Teorema 2.2.1 Teorema de Dirichlet. Sea f : (−π, π] → IR una función
suave a trozos, entonces la serie de Fourier de f converge (puntualmente):
• a la extensión periódica de f , en los puntos en los que ésta sea continua;
1
−
• a (f (x+
0 ) + f (x0 )) en los puntos x0 ∈ IR donde la extensión periódica
2
de f tenga discontinuidad de salto finito.
Ası́, en general tendremos
∞
X
1
1
+
−
(f (x ) + f (x )) = a0 +
(an cos(nx) + bn sen(nx))
2
2
n=1
para todo x ∈ IR.
Recordemos que
lim f (x) = f (x+
0)
x→x+
0
y
lim f (x) = f (x−
0)
x→x−
0
y que la extensión periódica de una función f : (−π, π] → IR es otra función
F : IR → IR que consiste en trasladar la función f a lo largo de todo el eje X
en los sucesivos intervalos de longitud 2π a derecha e izquierda del intervalo
(−π, π]. Más concretamente, sea x ∈ IR, entonces existe un entero n tal que
(2n − 1)π < x ≤ (2n + 1)π y en ese caso definimos F (x) = f (x − 2nπ).
Ejemplo. La serie de Fourier de la función dada por f (t) = (π − t)(π + t)
para −π ≤ t ≤ π extendida periódicamente en IR es
2π 2
1
1
1
Sf (t) =
+ 4 cos t − cos 2t + cos 3t −
cos 4t + · · · .
3
4
9
16
34
2. Series de potencias y de Fourier
Como f verifica las condiciones de Dirichlet (las hipótesis del teorema de Dirichlet), tenemos que
2π 2
1
1
1
f (t) =
+ 4 cos t − cos 2t + cos 3t −
cos 4t + · · ·
3
4
9
16
para todo t ∈ [−π, π]. Usando el teorema de Dirichlet en t = π y operando
obtenemos que
π2
1 1
1
1
=1+ + +
+ ··· + 2 + ···
6
4 9 16
n
(resultado obtenido por primera vez por Euler en 1736 usando otro método).
Fenómeno de Gibbs.
El teorema de Dirichlet nos dice que en los puntos de discontinuidad, la
gráfica de la suma de la serie de Fourier pasa por el punto medio del salto.
Si se dibujan las sumas parciales, se ve que en en las cercanı́as de los puntos
de discontinuidad se reduce la velocidad de convergencia de la serie y que la
gráfica de la suma parcial oscila alrededor de la gráfica de la función. Cuando
se aumenta el número de términos, las oscilaciones se condensan a ambos
lados del punto, pero su amplitud no decrece. Esto se conoce como fenómeno
de Gibbs en honor a J.W. Gibbs que en 1899 demostró que la amplitud de la
oscilación a cada lado de la gráfica de la función tiende a ser aproximadamente
el 9% del tamaño del salto.
Ejemplo. A continuación representamos gráficamente la función f (t) =

 −1 si − π < t < 0
extendida periódicamente en IR, la suma de los 3
 1
si 0 < t < π
primeros términos de su serie de Fourier y la suma de los 20 primeros términos
de dicha serie.
2.2. Series de Fourier
2.2.3
35
Derivación e integración de series de Fourier
Integración de las series de Fourier.
Sea f : (π, π] → IR una función que verifica las condiciones de Dirichlet
(en realidad es suficiente con que sea continua a trozos). Entonces, la serie de
Fourier de f puede integrarse término a término de manera que
Z
x
−π
f (t) dt =
Z
x
−π
∞ Z x
X
a0
dt +
(an cos(nx) + bn sen(nx)) dx,
2
n=1 −π
para todo x en (−π, π].
Ejemplo. A partir de la serie de Fourier de f (x) = x en (−π, π], obtener la
serie de Fourier de x2 .
36
2. Series de potencias y de Fourier
Derivación de las series de Fourier.
Sea f : [−π, π] → IR una función que verifica las condiciones de Dirichlet
y tal que f (−π) = f (π). Si f 00 (x0 ) existe con x0 ∈ (−π, π), entonces la serie
de Fourier de f puede derivarse término a término de manera que, para todo
x ∈ IR,
f 0 (x) =
∞
X
nbn cos(nx) − nan sen (nx).
n=1
Ejemplo. A partir de la serie de Fourier de f (x) = |x| en (−π, π], calcular la
serie de Fourier de

 1
f (x) = 
−1
2.2.4
si − π < x < 0
si 0 ≤ x ≤ π
Funciones pares e impares
Una función f se dice que es par si f (−x) = f (x). Su gráfica es simétrica
respecto al eje Y .
Una función f se dice que es impar si f (−x) = −f (x). Su gráfica es
simétrica respecto al origen de coordenadas.
2.2. Series de Fourier
37
Proposición 2.2.2 Sea f : (−π, π] → IR una función suave a trozos.
• Si f es par, sus coeficientes vienen dados por
2Zπ
an =
f (x) cos (nx) dx, bn = 0
π 0
Por tanto, su serie de Fourier es de la forma:
∞
X
1
Sf (x) = a0 +
an cos(nx)
2
n=1
• Si f es impar, sus coeficientes vienen dados por
2Zπ
an = 0, bn =
f (x) sen (nx) dx
π 0
Por tanto, su serie de Fourier es de la forma:
Sf (x) =
∞
X
bn sen(nx)
n=1
En ocasiones se necesita expresar una función definida en el intervalo [0, π]
como una suma infinita de senos o de cosenos. Esto se consigue definiendo la
función de manera adecuada fuera de dicho intervalo para que sea par o impar.
• La serie de Fourier en cosenos de f : [0, π] → IR es la serie de Fourier
de la extensión par de f (x),

 f (x)
0≤x≤π
fp (x) =
 f (−x) −π < x < 0
es decir
∞
X
1
an cos(nx)
Scos f (x) = a0 +
2
n=1
2Zπ
f (x)cos(nx)dx para todo n ≥ 0.
donde an =
π 0
38
2. Series de potencias y de Fourier
• La serie de Fourier en senos de f : [0, π] → IR es la serie de Fourier de
la extensión impar de f (x),




f (x)
0<x≤π
fi (x) = 
0
x=0


−f (−x) −π < x < 0)
es decir
Ssin f (x) =
∞
X
bn sin(nx)
n=1
donde bn =
2Zπ
f (x) sin(nx)dx para todo n ≥ 1.
π 0
Ejemplo. Sea f (t) = t para t ∈ [0, π]. Entonces, su desarrollo en serie de
cosenos en [0, π] es
π
4
cos 3t cos 5t
cos t +
+
+ ···
Scos f (t) = −
2 π
3
5
y su desarrollo en serie de senos es
sin 2t sin 3t sin 4t
Ssin f (t) = 2 sin t −
+
−
+ ···
2
3
4
A continuación representamos gráficamente los 4 primeros sumandos de la
serie de Fourier de la extensión par e impar de f (t) respectivamente.
2.2. Series de Fourier
2.2.5
39
Extensión a intervalos arbitrarios
En muchas aplicaciones es deseable adaptar la forma de una serie de Fourier
a funciones f (x) definidas sobre intervalos (−L, L], donde L es un número
positivo cualquiera.
Para ello hacemos un cambio de variable. La variable de f es x que se
encuentra en −L < x ≤ L, consideramos una nueva variable t que se encuentra
en −π < t ≤ π. Por una simple regla de tres tenemos:
t
x
= ,
π
L
o sea, t =
πx
L
y x=
Lt
π
(2.1)
Por tanto, f (x) se transforma en una función de t,
f (x) = f (
Lt
) = g(t),
π
−π < t ≤ π
Observar que si f : (−L, L] → IR es integrable (y satisface la condiciones de
Dirichlet), también g: (−π, π] → IR será integrable (y verificará las condiciones
de Dirichlet).
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2. Series de potencias y de Fourier
Por tanto, podemos desarrollar g(t) en serie de Fourier del modo usual. A
partir de esta serie y deshaciendo el cambio de variable, es decir, expresándola
en términos de la variable x, se obtiene la serie de Fourier de f (x).
La aplicación del cambio de variable (2.1), nos da directamente la fórmula
de la serie de Fourier de una función f (x) definida en un intervalo (−L, L],
que es:
∞ nπx
nπx
a0 X
Sf (x) =
+
an cos
+ bn sen
.
2
L
L
n=1
donde
1ZL
1ZL
nπx
a0 =
f (x) dx, an =
f (x) cos
dx,
L −L
L −L
L
1ZL
nπx
bn =
f (x) sen
dx.
L −L
L