SERIE DE FOURIER. 1. Señales periódicas. • Excitaciones

SERIE DE FOURIER.
1. Señales periódicas.
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Excitaciones periódicas
Formas complejas
Representación por serie de Fourier
Facilidad en el análisis de Sistemas Lineales
2. Respuesta a entrada sinusoidal.
• Sistema lineal y “estable” con EDS
d n y(t)
d n-1y(t)
+
+ ..... + a y(t)
a
0
n-1 dt n-1
dt n
d n-1u(t)
d n-2 u(t)
=b
+b
+ .... + b u(t)
n-1 dt n-1
n-2 dt n-2
0
donde u(t) = Acos(wt + φ )
A = Amplitud
φ = Angulo de desfase [rad]
w = Frecuencia angular [rad/seg]
y(t) = y (t) + y p (t)
h
donde
y (t) = T x ,0
o
h
Sistema estable ⇒ y (t) → 0 cuando t → 0
h
y p (t) = A s (w)cos(wt + φs (w))
3. Serie de Fourier trigonométrica
• Base ortogonal de funciones
• Intervalo [-T/2 , T/2]
• Conjunto de vectores (funciones linealmente
independientes)
β = {1, cos(nw o t), sen(nw o t)}
2π
wo =
T
n = 1,2,3,........
• Producto interno definido como:
f(t), g(t) =
T/2
∫ f(t) • g(t)dt
- T/2
con f(t), g(t) ∈ β
• Resulta un conjunto de vectores ortogonales
y n (t), y m (t) =
T/2
; n ≠ m 
 0

∫ y n (t) • y m (t)dt = 
k > 0 ; n = m 
- T/2
con
y n (t), y m (t) ∈ β
• Luego y(t) seccionalmente continua y definida en el
intervalo [-T/2 , T/2] se puede representar como:
∞
y(t) = A o + ∑ [A cos(nw t) + B sen(nw t)]
n
o
n
o
n =1
wo =
2π
T
Ao =
1 T/2
∫ y(t)dt
T - T/2
An =
2 T/2
∫ y(t)cos(nw o t)dt
T − T/2
2 T/2
Bn =
∫ y(t)sen(nw o t)dt
T − T/2
• Otra forma de representarla
∞
y(t) = A o + ∑ C n cos(nw o t − φ n )
n =1
en que :
C n = A 2n + B 2n
B
φ n = arctg( n )
An
4. Serie de Fourier exponencial
• Representación:
y(t) =
∞
jnw ot
∑ Cn e
n =−∞
con
Cn =
A n − jB n
2
C −n =
wo =
A n + jB n
2
2π
T
∀n > 0
∀n ≤ 0