Análisis de Sistemas Lineales. Ricardo A. Rojas Reischel Apéndice 7: Transformación de Fourier en f La transformación de Fourier suele escribirse también en términos de la frecuencia f: ∞ F{ f (t )} = G ( f ) = ∫ g (t )e − jwt dt , w = 2π f Transformación de Fourier de g( t ) −∞ ∞ F −1{F ( w)} = gˆ (t ) = ∫ G ( f )e jwt df , −∞ Transformación de Fourier inversa de G( f ) (1) (2) Es interesante comparar (1) y (2) respectivamente con (3.28) y (3.29). Los argumentos principales para preferir (1) y (2) por sobre las definiciones (3.28) y (3.29) son dos: 1. Las frecuencias se expresan más naturalmente y más a menudo en ciclos por segundo que en radianes por segundo. 2. Con la excepción del signo del exponente de la exponencial, (1) y (2) son simétricas. Propiedades en f , w = 2π f P1 a ⋅ g1 (t ) + b ⋅ g 2 (t ) ⇔ a ⋅ G1 ( w) + b ⋅ G2 ( w) P2 g (at ) ⇔ P3 G (t ) ⇔ P4 Si 1 G( f / a) a (linealidad) (escalamiento) g (− f ) (simetría) g( t ) ∈ℜ entonces G( f ) es función par y arg[G( f )] es función impar. P5 g (t − t0 ) ⇔ G ( f )e − jwt0 (desplazamiento en el tiempo) P6 g (t )e ± jw0t (desplazamiento en la frecuencia) P7 d n g (t ) dt n ⇔ G( f ! f0 ) ⇔ ( jw) n G ( f ) d nG ( f ) df n 1 1 G ( f ) + G (0)δ ( f ) 2 jw P8 (− jt ) n ⋅ g (t ) ⇔ P9 ∫ t −∞ g (τ )dτ (derivación en el tiempo) ⇔ (derivación en la frecuencia) (integración en el tiempo) ∞ P10 g1 (t ) ∗ g 2 (t ) = ∫ g1 ( x) g 2 (t − x)dx ⇔ G1 ( f )G2 ( f ) (convolución en el tiempo) −∞ P11 g1 (t ) ⋅ g 2 (t ) ⇔ G1 ( f ) ∗ G2 ( f ) P12 g (t ) ⇔ ∞ ∑G k =−∞ donde k ⋅ δ ( f − kf 0 ), (convolución en la frecuencia) f 0 = 1/ T (funciones periódicas) g( t ) es de período T , y Gk es el coeficiente de la serie de Fourier exponencial para g( t ) . Apéndices-10 Análisis de Sistemas Lineales. Ricardo A. Rojas Reischel Transformada de Fourier en (w f , para algunas señales simples = 2π f ) ( g ( t ) ⇔ G ( f )) (1) δ ( t ) ⇔ 1 (2) 1 ⇔ δ ( f ) 1 1 + δ( f ) jw 2 (3) u( t ) ⇔ ( 4 ) e −at u( t ) ⇔ 1 , a>0 jw + a (5) te −at u( t ) ⇔ 1 , a>0 ( jw + a )2 ( 6 ) e jw0t ⇔ δ ( f − f0 ) ( 7 ) cos w0 t ⇔ 1 [δ ( f + f 0 ) + δ ( f − f 0 )] 2 (8 ) senw0 t ⇔ j [δ ( f + f 0 ) − δ ( f − f 0 )] 2 (9 ) g( t ) ⋅ cos w0 t ⇔ 1 [G( f + f 0 ) + G( f − f 0 )] 2 A t (10) −τ / 2 0 τ /2 ⇔ Aτ sin π fτ = Aτ sinc fτ π fτ B (11) −τ 0 τ t sin 2 π fτ 2 ⇔ Bτ 2 = Bτ sinc fτ (π fτ ) g( t ) y g"( t ) son iguales. Esto es cierto para todos los efectos prácticos. En realidad ambas funciones pueden diferir en los puntos donde g( t ) es discontinua. OBS En esta tabla se considera que Apéndices-11