Taller 2. Oscilaciones Forzadas
Curso: Matemática Superior
Integrantes:
Nota:
/10
En este proyecto se estudiará el uso de series de Fourier como soluciones de ecuaciones
diferenciales ordinarias.
Las aplicaciones de las series de Fourier a la solución de EDO (también EDP), se basan en
la ingeniosa idea de Euler y Fourier de descomponer funciones periódicas en sus componentes
más simples. Sabemos que las oscilaciones forzadas de un cuerpo de masa m en un resorte de
módulo k están gobernadas por la siguiente EDO:
my ′′ + cy ′ + ky = r(t)
Si r(t) es una función seno o coseno y si existe amortiguamiento (c > 0) entonces la solución
estacionaria es una oscilación armónica con frecuencia igual a la de r(t). Sin embargo, si r(t) no
es una función seno o coseno pura, pero es periódica, entonces la solución de estado estacionario
será una superposición de oscilaciones armónicas con frecuencias igualas a las de r(t) y múltiplos
enteros de estas frecuencias. Y si una de estas frecuencias es cercana a la frecuencia de resonancia
del sistema, entonces las correspondientes oscilaciones pueden dominar la respuesta del sistema
a la fuerza externa. Esto es lo que nos mostrará el uso de las series de Fourier.
Consideremos m = 1(g), c = 0.05(g/s) y k = 25(g/s2 ), tenemos
y ′′ + 0.05y ′ + 25y = r(t)
(1)
donde r(t) medida en g · cm/s2 , está dada por la siguiente ecuación
{
t + π2
si − π < t < 0,
r(t) =
π
−t + 2 si 0 < t < π
y r(t + 2π) = r(t).
1. (1 punto) Demostrar que la representación de Fourier de r(t), es igual a
(
)
1
4
1
cos t + 2 cos 3t + 2 cos 5t + · · ·
r(t) =
π
3
5
2. (1 punto) Tomando como solución de estado estacionario yn = An cos nt + Bn sin nt.
Sustituya esta solución en (1) y encuentre An y Bn .
REFERENCIAS
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3. (2 puntos) La amplitud de yn , está dada por Cn =
C1 , C 3 y C5 .
√
A2n + Bn2 . Encuentre Cn . Calcule
4. (2 puntos) ¿Qué ocurre con la amplitud Cn si tomamos un resorte más rígido, por ejemplo
con k = 49? De una interpretación física de este resultado.
5. (2 puntos) Encuentre una fórmula para An , Bn y Cn , en términos de m, k y c ¿Qué pasa
si c → 0? ¿Cuál sería la interpretación física?
6. (2 puntos) ¿Qué pasa si reemplazamos r(t) por su derivada, la onda rectangular? Con los
mismos datos de la ecuación (1) ¿A qué es igual el nuevo Cn ?
Referencias
[1] Erwin Kreyszing, Matemáticas Avanzadas para ingeniería, 10ma edición.
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