𝑇 𝑇 P1. Demostrar que si 𝑓(𝑡) y 𝑔(𝑡) son continuas por tramos en el intervalo (− 2 , 2) y periódicas de período 𝑇, entonces la función 𝑇 1 ⁄2 ℎ(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑡 − 𝜏)𝑔(𝜏)𝑑𝜏 𝑇 −𝑇⁄ 2 es continua y con período 𝑇 P2. Encontrar la serie de Fourier de la función de la figura, definida por 𝑓(𝑡) = 𝑒 𝑡 en el intervalo (−𝜋, 𝜋) y 𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡) Respuesta: Mostrar las gráficas de la aproximación de 𝑓(𝑡) (en un programa como Matlab) con: 5, 10, 15 y 20 primeros coeficientes diferentes de cero. P3. Aproximar la función 𝑓(𝑡) = 𝑡 en el intervalo (−𝜋, 𝜋) mediante una serie infinita de Fourier de 5 términos que sean diferentes de cero. Calcular también el error cuadrático medio en la aproximación. Respuesta: P4. Si 𝑓(𝑡) es una función periódica integrable, con período 𝑇, demostrar que ∞ 1 𝑇 𝑇 𝑏𝑛 ∫ 𝑓(𝑡) ( − 𝑡) 𝑑𝑡 = ∑ 𝑇 0 2 𝑛𝜔𝑜 𝑛=1 Donde 𝑏𝑛 es un coeficiente de Fourier de 𝑓(𝑡) y 𝜔𝑜 = 2𝜋 𝑇 𝑇 Sugerencia: desarrolle el término (2 − 𝑡) en series de Fourier para 0 < 𝑡 < 𝑇 P5. Use el teorema de Parseval para probar: ∞ 1 𝜋2 ∑ = (2𝑛 − 1)2 8 𝑛=1 𝑇 𝑇 P6. SI 𝑓(𝑡) es una función periódica con período 𝑇 definida en (− 2 , 2) cuya serie de Fourier es ∞ 𝑓(𝑡) = 𝑎𝑜 + ∑ 𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜔𝑜 𝑡) + 𝑏𝑛 𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜔𝑜 𝑡) 𝑛=1 Donde 𝜔𝑜 = 2𝜋 𝑇 Si 𝑓𝑝 (𝑡) y 𝑓𝑖 (𝑡) son las componentes par e impar de 𝑓(𝑡), demostrar que las series de Fourier de 𝑓𝑝 (𝑡) y 𝑓𝑖 (𝑡) son respectivamente: ∞ 𝑓𝑝 (𝑡) = 𝑎𝑜 + ∑ 𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜔𝑜 𝑡) 𝑛=1 ∞ 𝑓𝑖 (𝑡) = ∑ 𝑏𝑛 𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜔𝑜 𝑡) 𝑛=1 P7 Utilizar diferenciación para encontrar los coeficientes de Fourier de la función 𝑓(𝑡) definida por 𝑓(𝑡) = 𝑡 para (−𝜋, 𝜋) y 𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡) Mostrar las gráficas de la aproximación de 𝑓(𝑡) (en un programa como Matlab) con: 5, 10, 15 y 20 primeros coeficientes diferentes de cero. P8 Utilizar diferenciación para encontrar los coeficientes de Fourier de la función de la onda sinusoide rectificada 𝑓(𝑡) = |𝐴𝑆𝑖𝑛(𝜔𝑜 𝑡)| Mostrar las gráficas de la aproximación de 𝑓(𝑡) (en un programa como Matlab) con: 5, 10, 15 y 20 primeros coeficientes diferentes de cero.
