1 1. a) Por un lado tenemos que lim x→0+ senx- 1 = -с y sen( )

1
1.
a) Por un lado tenemos que limx→0+ senx− x1 = −∞ y sen( π2 )− π2 >
0, por lo tanto, usando el teorema de Bolzano, tenemos por lo
menos un punto de corte. Además (senx − x1 )0 = cosx + x12 > 0
por lo que el punto de corte debe ser único.
b) Claramente f 0 (x) = g(x) − h(x).
2.
c) Por las parte b) tenemos que los puntos fijos de la ecuacion diferencial están dados por los puntos de corte de senx y x1 . Como
vimos en la parte a) es un único punto. Como senx − x1 es negativo antes del punto de corte y positivo despues de este, entonces
el punto de equilibrio es inestable.
√
√
a)
El dominio de log( x2 + 2 − x) es R ya que x2 + 2 − x > 0.
√
2
Como limx→−∞
√ x + 2 − x = +∞ entonces tenemos que
2
limx→−∞ log( x + 2 − x) = +∞.
√
√
√
2
x2 +2+x)
√
Como limx→+∞ x2 + 2−x = limx→+∞ ( x +2−x)(
=
2
x +2+x
√
2
+
2
limx→+∞ √x2 +2+x) = 0 entonces limx→+∞ log( x + 2 −
x) = −∞.
√
b) f 0 (x) = − √x12 +2 . Como x2 + 2 > 0 para todo x ∈ R el signo de
f 0 (x) es siempre positivo.
c) Por las partes a) y b) tenemos que limx→−∞ f (x) − x = +∞,
limx→+∞ f (x)−x = −∞ y que (f (x)−x)0 = f 0 (x)−1 = − √x12 +2 −
1 < 0, por lo que la ecuación f (x) = x tiene una única solución.
d ) Por la parte c) se sabe que la ecuación en diferencias f (xn ) = xn+1
tiene un único punto fijo. Como f 0 (x) < −1 para todo x ∈ R
entonces el punto fijo tiene que ser repulsor.
3.
a) A0 (t) = logt + 1 y B 0 (t) = 1. Como logt > 0 si x > 1 entonces
A0 (t) > B 0 (t) para t > 1
b) El valor máximo de |A(t) − B(t)| con t ∈ [2, 4] indica la máxima
distancia entre los dos móviles. Dicho máximo se puede calcular
como el máximo de los valores absolutos del valor máximo y el
valor mı́nimo de A(t) − B(t) y analogamente el mı́nimo. como
A0 (t)−B 0 (t) no se anula en [2, 4], entonces el máximo y el mı́nimo
se encuentran en los extremos del intervalo. A(2)-B(2) = 2log(2)−
1 y A(4)−B(4) = 4log(4)−3. Como 0 < 2log(2)−1 < 4log(4)−3
tenemos que la maxima distancia está en el tiempo t = 4 y la
mı́nima distancia en t = 2.