1. Dibujar las gráficas de las siguientes funciones: a) f(x) = 1 + senx

ANÁLISIS MATEMÁTICO I. HOJA 2
1. Dibujar las gráficas de las siguientes funciones:
a) f (x) = 1√+ senx
b) f (x) = sen2 x
c) g(x) = −2 cos x
1
x−2
2. Sean f (x) = y g(x) =
. Formar la composición f ◦ g y
x
x
hallar el dominio.
3. Suponer que f y g son funciones impares. ¿Qué se puede deducir
sobre f · g ? Justificar la respuesta.
4. Vamos a hallar los x que verifican
x+1
≥ 1.
x−1
Esta desigualdad es equivalente a x + 1 ≥ x − 1, o lo que es los mismo
1 ≥ −1. Como esto es cierto para todo x ∈ R, se sigue que el conjunto
de valores que verifican la desigualdad anterior es R. De esta forma,
tomando en particular x = −1 obtenemos
0=
−1 + 1
≥ 1.
−1 − 1
Como es posible!!!?
5. Determinar el dominio y el rango de las siguientes funciones de
una variable real.
a) f (x) = 2x + 3
b) f (x) = 3x2 + 5x − 2
(x − 2)(x + 3)
x+3
√
d) f (x) = x2 + 2x
c) f (x) =
e) f (x) = sen
( (1 − 2x)
−2x + 4, si x ≤ 1
f) f (x) =
x + 1, si x > 1
1
2
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6. Decidir sobre la paridad o imparidad de los siguientes ejemplos.
1
a) f (x) = 2
3x − 4
b) f (x) = x3 + x
c) f (x) = |x|
d) f (x) = |x3 | + 5
7. En los siguientes apartados determinar, cuando sea posible, las
funciones compuestas f ◦ g, g ◦ f .
i) f (x) = sen x, g(x) = 1 − x2 .
u−1
u+1
, g(u) =
.
u+1
u−1
1
iii) f (x) = , g(x) = tan x.
x
ii) f (u) =
8. Decir si existen o no los
( lı́mites siguientes:
−x2 ,
x<0
a) limx→0 f (x); f (x) =
2
x,
x > 0.
(
2,
x racional
b) limx→0 f (x); f (x) =
−2,
x irracional.
(
2x,
x racional
c) limx→1 f (x); f (x) =
2,
x irracional.
√
√
2
x +1− 2
d) limx→1
.
x−1
9. Calcular µlos lı́mites
¶ que existan:
1
.
a) limh→0 h 1 +
h ¶
µ
1
b) limh→0 h 1 + 2 .
h
µ
¶
2x
8
c) limx→−4
+
.
x + 4 ¶¸
·µx + 4 ¶ µ
1 1
1
−
d) limx→4
.
x 4
x−4
ANÁLISIS MATEMÁTICO I. HOJA 2
3
10. Demostrar, dando un ejemplo, que limx→c [f (x) + g(x)] puede
existir sin que existan ni limx→c f (x) ni limx→c g(x).
11. Decidir si los enunciados siguientes son verdaderos o falsos:
a) Si limx→c [f (x) + g(x)] existe, pero limx→c f (x) no existe, entonces
limx→c g(x) no existe.
b) Si f (x) ≤ g(x) para todo x 6= c, entonces limx→c f (x) ≤ limx→c g(x).
c) Si f (x) < g(x) para todo x 6= c, entonces limx→c f (x) < limx→c g(x).
12. Determinar el tipo de discontinuidad de h(x) en x = −1.
( 2
x −1
,
x 6= −1
h(x) = x+1
0,
x = −1
13. Definir, cuando sea posible, f (1) para que f sea continua en
x = 1:
x−1
a) f (x) =
.
|x − 1|
(x − 1)2
b) f (x) =
.
|x − 1|
14. Hallar los puntos donde las funciones siguientes son continuas:
a)
(
f (x) =
b)
(
2x,
g(x) =
x2 ,
2x,
x2 ,
si x es un entero
si no lo es.
si x es un número racional
si no lo es.
15. Demostrar que si
lim g(x) = 0,
x→0
entonces
µ ¶
1
lim g(x)sen
= 0.
x→0
x
16. Dar un ejemplo de una función f que no es continua en ningún
punto, pero tal que |f | sea continua en todos los puntos.