Continuidad Ejemplo 1 Indicar en que puntos es discontinua la

Continuidad
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si
se cumplen las tres condiciones siguientes:
1. Que el punto x = a tenga imagen.
∃f (a).
2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.
∃limx→a f (x) ⇔ limx− →a f (x) ⇔ limx+ →a f (x)
3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el
punto.
f (a) = limx→a f (x)
Pero más que la continuidad, lo interesante es saber en qué puntos la
función es discontinua, y en cuales pueden aparecer asíntotas horizontales.
Ejemplo 1
Indicar en que puntos es discontinua la función
f (x) =
x2
(x−1)(x+2) .
La función es un cociente de polinomios y, por tanto, es continua en
todos los puntos en los que está denida, es decir, en los puntos del dominio,
Dom(f ) = R − {−2, 1}. En este caso, los únicos puntos de discontinuidad
son -2 y 1. Luego en estos puntos pueden aparecer discontinuidades de salto
innito y, por consiguiente, asíntotas verticales.
1
Puntos de corte
Para calcular los puntos de corte con el eje X, se debe imponer que y = 0.
Análogamente, para calcular los puntos de corte con el eje Y, se hará x = 0.
Ejemplo 2
Calcular los puntos de corte de
f (x) = (x2 − 1).
• Puntos de corte con el eje X:
Igualamos y = 0, es decir, f (x) = 0, obteniendo así x2 − 1 = 0. De aquí,
despejando x, obtenemos x = 1 y x = −1.
Ambos puntos son los puntos de corte con el eje X.
• Puntos de corte con el eje Y:
Igualamos x = 0, obteniendo así, y = 02 − 1, luego y=-1.
Luego dicho punto es el punto de corte con el eje Y.
2