CONTINUIDAD. Se dice que una función es contínua cuando es posible... lápiz del papel. Esta definición coloquial de continuidad permite...

CONTINUIDAD.
Se dice que una función es contínua cuando es posible hacer su gráfica sin separar el
lápiz del papel. Esta definición coloquial de continuidad permite establecer una idea
intuitiva de su significado.
Al obtener el Limxa f  x  , se busca aproximarse al valor de x=a más no llegar a ese
punto, esto es, acercarcarse mucho pero manteniendo x  a . Puede ser que el límite de
una función exista aún cuando la función no está definida en ese punto.
Una función f  x  es contínua en un número a si se cumplen los siguientes requisitos:



f está definida en un intervalo abierto que contiene al número a
el Limxa f  x  existe, y
Limxa f  x   f  a 
Ejemplo 1.
Sea la función f  x  
1
. Determinar si es contínua.
x
La función no está definida en cero, por lo tanto, existe un intervalo abierto que contiene
a 0 en el cual la función NO está definida y, entonces, no es contínua, es discontínua.
Ejemplo 2.
Sea la función f  x   2x3  3x  2 . Determinar si es contínua.
Este polinomio está definido para todos los números reales, por lo tanto, lo está para un
intervalo abierto cualquiera, sin restringir a un valor particular de a. Se cumple el primer
requisito, entonces, hay que analizar el límite a un valor arbitrario a.


Limxa f  x   Limx a 2 x 3  3x  2  2a 3  3a  2
El límite cuando x  a existe y su valor es el mismo que la función f  x   2x3  3x  2
evaluada en el punto x=a. El polinomio es contínuo.
Ejemplo 3.
2 x  3

Sea la función f  x   
 x2  3

x0
. Determinar si es contínua.
x0
Esta es una función por partes que está definida para todo número real. Hay un cambio
de comportamiento en el punto x=0, por lo tanto, habrá que analizar lo que pasa en dicho
punto. Dado que el comportamiento a la izquierda y a la derecha de x=0 es diferente, se
utilizarán los límites unilaterales.
Limx0 f  x   Limx0  2 x  3  3


Limx0 f  x   Limx0 x 2  3  3
Dado que los límites unilaterales tienen el mismo resultado, se dice que Limx0 f  x   3 .
Por lo tanto, el límite cuando x  a existe y vale 3. Ahora, falta hallar el valor de la
función en el punto x=0, se evalúa y f  0  3  Limx0 f  x  . Se cumplen los tres
requisitos para la continuidad: la función es contínua.
Ejemplo 4.
2 x  3

Sea la función f  x    7
 x2  3

x0
x  0 . Determinar si es contínua.
x0
Al igual que en el caso anterior, la función por partes que está definida para todo número
real. Hay un cambio de comportamiento en el punto x=0, por lo tanto, habrá que analizar
lo que pasa en dicho punto. Dado que el comportamiento a la izquierda y a la derecha de
x=0 es diferente, se utilizarán los límites unilaterales.
Limx0 f  x   Limx0  2 x  3  3


Limx0 f  x   Limx0 x 2  3  3
Dado que los límites unilaterales tienen el mismo resultado, se dice que Limx0 f  x   3 .
Por lo tanto, el límite cuando x  a existe y vale 3. Ahora, falta hallar el valor de la
función en el punto x=0, se evalúa y f  0  7  Limx0 f  x  . No se cumple el tercer
requisito de la continuidad: la función es discontinua.
Ejemplo 5.
  x2

Sea la función f  x   
2 x  3

x 1
. Determinar si es contínua.
x 1
La función está definida para todos los reales: se cumple el primer requisito de la
continuidad. El cambio de comportamiento de la función es alrededor del punto x=1. Los
límites unilaterales dan como resultado
Limx1 f  x   Limx1  2 x  3  2  3  5


Limx1 f  x   Limx1  x 2  1
Los límites dan diferentes resultados. El límite x  1 no existe, por lo tanto, la función
es discontinua.
Existen diferentes tipos de discontinuidad. En la discontinuidad de salto los límites
unidireccionales existes pero son diferentes. Esto quiere decir que al acercarse al valor de
x=a por la derecha se llega a un valor de la función f diferente al que se llega al acercarse
por la izquierda. Esto se puede observar en la siguiente figura.
a
a
En la discontinuidad evitable el límite cuando x  a existe pero no coincide con el
valor de la función en el punto x=a. Puede ser que la función esté o no esté definida en
ese punto.
a
a
En la discontinuidad infinita se tiene que la función no está definida para un intervalo
abierto que contiene a a, el límite es infinito (como no llega a un número real, se dice que
no existe) y, por lo tanto, no se puede cumplir que Limxa f  x   f  a  .
a
Ejemplo 6.
Describir el tipo de discontinuidad de los ejemplos 1, 4 y 5.
Ejemplo
número
Función
Observaciones y conclusiones
1
1
f  x 
x
La función no está definida para
ningún intervalo abierto que contenga
al punto x=0. El límite cuando
x  0 no existe y la función no está
4
2 x  3

f  x   7
 x2  3

5
  x2

f  x  
2 x  3

x0
x0
x0
x 1
x 1
definida en ese punto. No se cumple
ningún requisito de la continuidad.
La discontinuidad es infinita.
La función está definida para todos
los reales; el límite cuando x  0
existe, pero no es igual al valor de la
función evaluada en x=0. Esta es una
discontinuidad evitable.
La función está definida para todos
los reales. Los límites unilaterales
son diferentes, por lo tanto, el límite
no existe. Dado que los límites por
derecha e izquierda dan diferentes
resultados, la discontinuidad es de
salto.