 

LIMITES
El resultado de un límite es un valor de y en una función cuando el valor de x se aproxima
mucho a un valor dado sin llegar a ser igual a él. Es acercarse mucho a un valor en x para
determinar el valor de y. En funciones continuas, se límite se puede resolver sustituyendo.
Por ejemplo, al buscar el límite Limx2 10x se quiere conocer el valor que tomará la
recta f x   10x cuando el valor de x se acerque mucho a 2.
x
1.5
1.8
1.9
1.99
1.999
1.9999
1.99999
f  x   10x
15
18
19
19.9
19.99
19.999
19.9999
Conforme el valor de x tiende a 2, el valor de y=f(x) tiende a 20. El resultado sería el
mismo si se aproximara desde valores mayores a 2.
x
2.5
2.1
2.01
2.001
2.0001
2.00001
2.000001
f  x   10x
25
21
20.1
20.01
20.001
20.0001
20.00001
El resultado es el mismo. Lo mismo se puede analizar utilizando la representación
gráfica de la función. Conforme el valor de x se acerca a 2, el valor de y se acerca a 20.
30
20
10
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-10
-20
-30
Limxa f x  L se lee como el límite cuando x tiende a a de f(x). L es el valor que toma
la función conforme el valor de x se acerca a a. En el ejemplo anterior, la función es
f x   10x , entonces, el límite que se calculó es Limx2 10x  20 y se lee como el límite
cuando x tiende a 2 de 10x.
El tomar un límite permite acercarse mucho a un valor en x en que la función puede o no
existir. L dice el valor que toma la función, esto es, el valor de y conforme nos
acercamos a un punto determinado en x.
Ejemplo 1.
Sea la función f x  3x 2  2 .
encontrar Limx0 3x 2  2 .

Utilizar las representaciones tabular y gráfica para

Se busca aproximarse mucho al valor de x=0 sin llegar exactamente a éste valor. Para la
representación tabular se aproximará tanto por la derecha como por la izquierda para
mostrar que el resultado es el mismo.
x
-1
-0.1
-0.01
-0.001
f x   3 x 2  2
5
2.03
2.0003
2.000003
x
1
0.1
0.01
0.001
f x   3 x 2  2
5
2.03
2.0003
2.000003
Tanto del lado de los positivos como del lado de los negativos, conforme el valor de x se
aproxima a 0, el valor de y=f(x) se acerca a 2.
En la representación gráfica de la función se puede observar que si se aproxima al valor
de x=0, el valor de y se aproxima, a su vez, a 2.
-3
-2
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
-1 -2 0
-4
-6
-8
-10
1
2
3
Ejemplo 2.
x 1
. Se quiere saber que cual es el valor de f  x 
2x  3
conforme x se acerca a un valor de 4.
Sea la función discontínua f  x  
x 1
. Es una función discontínua, pero el valor al que se
2x  3
quiere aproximar a x se encuentra lejos de la discontinuidad. El límite se podría resolver
sustituyendo el valor dado
Se quiere resolver el Limx  4
Limx4
x 1
4 1
5

  0.4545
2 x  3 2  4   3 11
Ahora, comprobaremos el resultado analizando las representaciones tabular y gráfica de
la función.
x 1
2x  3
0.45
0.453704
0.454463
0.454537
x
f  x 
3.5
3.9
3.99
3.999
x 1
2x  3
0.458333333
0.455357143
0.454627949
0.454553718
x
f  x 
4.5
4.1
4.01
4.001
Tanto por la derecha como por la izquierda, conforme el valor de x se acerca a 4, el valor
de la función se acerca a 0.4545. En la representación gráfica mostrada a continuación
también se observa dicha tendencia.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
2
3
4
5
6
7
8
Se dice que un límite existe cuando el resultado del límite por la derecha y el del límite
por la izquierda son números reales que coinciden, esto es, el límite por la derecha es
igual al límite por la izquierda.
Ejemplo 3.
 x2

Sea f  x   
2 x 2  1

x 1
. Encontrar el límite de la función cuando x tiende a 1.
x 1
La representación gráfica de la función es
50
40
30
20
10
0
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
2
3
4
5
6
7
8
-10
en donde se observa que aunque la función cambia de comportamiento en el punto x=1,
no se rompe. Para que el límite exista se requiere que el límite por la derecha sea igual al
límite por la izquierda: estos se llaman límites unilaterales.
Si se toma el límite por la izquierda, esto es, desde los números negativos hacia los
positivos, la función con la que se está trabajando es la recta dado que x  1
Limx1 f  x   Limx1  x  2  1  2  3
El signo menos como exponente en x  1 indica que se aproxima desde el lado
izquierdo. Ahora, por el lado derecho,


Limx1 f  x   Limx1 2 x 2  1  2  1  3
Dado que el límite por la derecha es igual al límite por la izquierda, se dice que el límite
de la función existe y vale 3: Limx1 f  x   3 . Este resultado se puede ver en la
representación gráfica puesto que conforme x se acera a 1, el valor de f(x) se acerca a 3.
Ejemplo 4.
3 x  2

Sea f  x   
 4x  1

x  2
. Encontrar el límite de la función cuando x tiende a -2.
x  2
Si se toma el límite por la izquierda, esto es, desde los números negativos hacia los
positivos, la función con la que se está trabajando es la recta, entonces,
Limx2 f  x   Limx2 3x  2  6  2  4
Ahora, por el lado derecho,
Limx2 f  x   Limx2  4x  1  8  1  7
El límite por la izquierda es diferente al límite por la derecha, por lo tanto, el límite de la
función no existe. Esto se puede ver en la representación gráfica, en la cual la función se
rompe en x=-2 y no hay un valor al que se acerque f(x) por ambos lados.
12
10
8
6
4
2
-5
-4
-3
-2
0
-1 -2 0
-4
-6
-8
-10
-12
1
2
3
4
5
Dada una función con una asíntota vertical, como se muestra en la figura, se busca el
Limxa f  x  . En x=a la función no existe, sin embargo, esto es lo importante en un
límite. Lo que importa es el valor que toma f  x  conforme x  a . Al acercarse
indefinidadmente a ciho valor, el valor de f  x  se va haciendo cada vez más grande, de
forma tal que Limxa f  x    .
f(x)
Limxa f  x   
x
a
La siguiente gráfica representa una función en la que exacatamente en el punto x=a la
función toma un valor negativo. Conforme el valor de x se acerca al de a, la función f(x)
se acerca al valor L. El límite es, entonces, L aunque la función evaluada en ese punto de
un valor distinto.
f(x)
L
Lim xa f  x   L
a
x
Para una recta y buscando, nuevamente, el límite cuando x  a , se puede ver que el
valor al que tiende la función coincide con el valor de la función evaluada en ese punto.
Por lo tanto, si f  a   L  Limxa f  x   L .
f(x)
L
Lim xa f  x   L
a
x
Dada una función con una asíntota vertical en la que alrededor de la asíntota cada rama
de la función se dirige hacia diferentes lados, el límite no existe ya que al aproximarse al
valor de a por la derecha el resultado será diferente que el obtenido acercándose por la
izquierda.
f(x)
a
Limxa f  x   No existe
x
En un límite se busca que para un espacio pequeño alredor de x=a haya un espacio
pequeño alrededor de f(x)=L. En la representación gráfica mostrada a continuación
existe un espacio alrededor de a y un espacio alrededor de L. Aunque la función en ese
punto no toma el valor L, el límite existe y vale L, porque se busca una aproximación.
En un límite existe un intervalo en x que contiene a a para el cual existe un intervalo en
f(x) que contiene a L .
f(x)
L+
L
L-
a-
a
a+
x
En el siguiente caso no existe dicho intervalo, no se puede encontrar un intervalo en x que
contenga a a para el cual haya un intervalo en f(x) que contenga a L.
f(x)
L+
L
L-
a-
a
a+
x
Sea a un punto dentro de un intervalo abierto, f(x) una función definida en todo el
intervalo, excepto posiblemente en a, sean L,  y  números reales, entonces,
Limxa f x  L
significa que para todo >0 existe un >0 tal que si 0  x  a  
entonces
f x   L   .
Se puede escribir la definición de límite como:
  0,    0 0  x  a    f x  L  
  para todo
  exsite
 tal que
 entonces