5_magnetismo

5. FUENTES DEL CAMPO MAGNÉTICO
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Campo magnético creado por una carga.
Fuerza magnética entre dos conductores paralelos.
Ley de Gauss para el magnetismo.
Ley de Ampere
Materiales magnéticos
5.1 Campo magnético creado por una carga y un elemento de corriente eléctrica:
Ley de Biot y Savart.
Campo magnético creado por una carga
µ0 = 4π × 10−7 Tm / A = 4π × 10−7 N / A2
 µ0 qv × r
B=
4π r 3

v
q>0
µ0 Permeabilidad en el vacío
Expresiones similares útiles para el B creado por …
 µ0 dqv × r
dq → dB =

4π r 3

d
l


×
dq
r

 µ dqv × r µ0
dt
=
Idl → dB = 0
3
4π r
4π
r3

r
µ0ε 0 = 1 / c

 µ0 Idl × r
dB =
4π r 3
Ley de Biot y Savart
Efecto magnético mutuo de dos cargas con v paralelas y perpendiculares a B.

B2
q1 > 0

v1

F21

 
F12 = q2 v2 × B1

 
F21 = q1v1 × B2

F12

B1

v1

v2
q2 > 0
q1 > 0

 
F12 = q2 v2 × B1

F21 = 0

F12

B1

v2
q2 > 0
En el instante siguiente las direcciones han cambiado y el problema se complica. Entonces ¿para
qué puede ser útil de forma inmediata? Corrientes a lo largo de conductores.
Campo magnético creado por un hilo: se aplica la ley de Biot y Savart a cada tramo del hilo
Por simetría cada elemento dl del hilo contribuye al campo en un punto P que dista R del hilo con:

r

dl
P
ϕ
θ
R
I

dB
x

 µ 0 Idl × r
dB =
4π r 3
x = R tan θ
cosθ =
R
r
µ0 Idl sin ϕ µ0 Idx sin ϕ
=
4π
r2
4π
r2
Los distintos elementos del hilo contribuyen
en mayor o menor medida pero siempre en la
misma dirección (ver abajo), así sólo hay que
integrar el módulo:
B = ∫ dB =
dθ
→ dx = R
cos 2 θ
1 cos 2 θ
→ 2 =
r
R2
⇒ dB =
µ0 I dx
µ0 I dx
sin
cosθ
ϕ
=
4π ∫ r 2
4π ∫ r 2
π /2
µI
µI
µ0 I cos 2 θ R
= 0 ∫ cosθdθ = 0
cos
d
θ
θ
=−
4πR −π / 2
2πR
4π ∫ R 2 cos 2 θ
LAS LINEAS DE CAMPO MAGNÉTICO SON
CERRADAS, NO HAY FUENTES NI SUMIDEROS
COMO EN EL CAMPO ELÉCTRICO
Resultado relativista encontrado al principio de este tema:
Iε 0 µ0
Iµ 0
=
=
B=
2
2πε 0 Rc
2πε 0 R 2πR
I
Campo magnético creado por una espira circular (dipolo magnético)
En el centro de la espira: por simetría cada elemento dl de la espira contribuye con:

dl
 
 µ 0 Idl × R µ 0 IdlR 
=
dB =
ux
4π R 3
4π R 3
z

R
R
z
θ
I↓ ↑I
x
y
µ0 I
µ0 I
µ0 I µ0 IA µ0 µ
dl
R
2
=
=
=
=
π
4π R 2 ∫
4π R 2
2 R 2πR 3 2πR 3

B = ( Bx ,0,0)
En el eje de la espira: por simetría cada elemento dl de la espira contribuye
con un campo cuya componente “y” se cancela con la misma componente del
elemento diametral opuesto de la espira. Por tanto sólo contribuyen la
componentes “x”. Como en el caso anterior basta integrar el módulo:
I↓ ↑I

dl
B = Bx = ∫ dB =
x
µ0 Idl
4π R 2
Como todas las contribuciones son iguales en módulo y dirección,
OX, basta integrar el módulo:
y

dB
⇒ dBx =

r

dB y

 µ 0 Idl × r µ 0 Idl 
=
dB =
u
4π r 3
4π r 2
µ I
B = ∫ dBx = 0 2 cosθ ∫ dl
4π r

dB
θ

dBx
LAS LINEAS DE CAMPO
MAGNÉTICO SON CERRADAS
x
µ0 I R
2πR
4π r 2 r
=
=
µ0 IR 2
2r 3

→
x→∞
=
⇒ dBx = dB cosθ =
SUR
µ0 Idl
cosθ
4π r 2
NORTE
µ0 IR 2
2( R 2 + x 2 )3 / 2
µ0 IR 2
2x3
=
µ0 2 µ
4πx 3
Fuera del eje es algo más complicado, B ya no tiene dirección OX
B creado en el centro de la “espira” (dipolo magnético) cuya corriente es la de una única carga

v
z
 µ0 qv × r
µ0 qvR
B=
B
→
=
4π r 3
4π R 3

R
y
⇒B=
q

B
x
 
µ0 1 q
L
3
4π R m
Bespira _ usual =
µq , L
µ0 1
2µ
4π R 3



L = − R × mv
L = Rmv ←
q 
⇒ µq =
L
2m

Momento
magnético asociado
a una carga que
sigue una
trayectoria circular
cerrada
Caso del electrón: momento magnético orbital y momento magnético espín (q=-e)
e 
⇒ µe = −
L
2me


L

S

e
µS

µL
e 
µs = − g s
S
2me

g s ≈ 2.0024


p ≡ qr
Dipolo eléctrico
  

E p = − pE
M = p×E
+


µ ≡ NIA
Dipolo magnético

  
E
B
=
−
µ
p
M = µ ×B

µ

p

E
−
Equilibrio del dipolo; campo externo uniforme y campo creado por el dipolo

B
Campo magnético creado por una bobina infinita de radio R y n espiras por unidad de longitud
Cada elemento dx de la espira genera un campo dB en un punto P del eje de la espira cuya
dirección es la mostrada en la figura y el módulo:
2
R
P
x
dx
B = Bx =

B
I
↓
I × n × dx
dB =
µ0 IR
2( R 2 + x 2 )3 / 2
↓
µ0 IndxR 2
2( R 2 + x 2 )3 / 2
Campo creado por UNA
espira en un punto x de
su propio eje
Campo creado por las
espiras localizadas en
dx en un punto x de su
propio eje
Todos los elementos generan un campo con la misma dirección, basta entonces integrar el módulo:
B = Bx = ∫ dBx =
µ0 InR 2
2
+∞
x
µ0 InR 2
dx
=
∫ ( R 2 + x 2 )3 / 2
2 R2 R2 + x 2
−∞
+∞
=
−∞
µ0 In
2
2 = µ0 In
Fuera de la bobina: B=0. Las líneas de campo se cierran en el infinito.
Dentro de la bobina el campo es uniforme (lo demostraremos más
adelante). La regla de la mano derecha da la dirección de B.
Detalles de campos creados por bobinas finitas:
S
S
N
N
5.2 Fuerza magnética entre dos conductores paralelos.

F12

L1

B
R

B
I2
La corriente I1 (extendida por el hilo infinito) genera un
campo magnético B1 que ve la corriente I2 produciendo
una fuerza F12 sobre una longitud L2 de ella que
sabemos es:

 
F12 = I 2 L2 × B1
I1
Por la disposición de las corrientes la fuerza es atractiva
entre las corrientes y de módulo:
F12 = I 2 L2 B1

 
Análogamente: F21 = I1L1 × B2
F21 = I1L1B2
El campo creado por cada hilo es:
⇒ F12 = I 2 L2
µ0 I1
2πR
Bi =
µ0 I i
2πR
F21 = I1L1
µ0 I 2
2πR
Que por unidad de longitud es:
⇒ f12 =
µ0 I1I 2
= f 21
2πR
5.3 Ley de Gauss para el magnetismo.
Ley de Gauss:
El flujo magnético a través de una superficie cerrada es nulo
 
Φ = ∫ EdA = Q / ε 0
 
Φ m = ∫ BdA = 0
5.4 Ley de Ampere
Ley de Ampere:
La integral del campo magnético a lo largo de un camino
cerrado es proporcional a la corriente neta que lo encierra:
 
∫ Bdl = µ0 ∑ I i
C
Se considera I positiva si
sigue la regla de la mano
derecha, en caso contrario es
negativa:
Ejemplo de cómo se cumple la ley de ampere con el campo creado por una corriente cuyo resultado
ya conocemos:
Camino a:
a
 
µ0 I
µ0 I
B
d
l
Bdl
dl
=
=
=
∫
∫
∫ 2πr 2πr ∫ dl = µ0 I
b
c
I
Camino b:
 
µ0 ( − I )
µ0 I
B
d
l
=
−
Bdl
=
−
dl
=
dl = µ0 I
∫
∫
∫ 2πr
∫
2πr
Camino c: (en los tramos rectos B ⊥ dl)
 
∫ Bdl = ... = µ0 I
Ejemplo, con el mismo sistema, de cómo usar la ley de ampere para obtener el campo magnético
(compare la simplicidad del método con el cálculo directo que hice más arriba).
Por simetría B en módulo debe ser el mismo en todos los puntos que estén a la misma distancia del
hilo; por otra parte su dirección y sentido lo determina la ley de Biot y Savart tal como indica la
figura; queda entonces buscar el módulo que lo hacemos con la ley de Ampere:
Tomamos el camino cerrado más simple, en el que B (módulo) sea
I
siempre el mismo, es decir el camino a del ejemplo anterior:

B
 
∫ B dl = µ 0 ∑ I i

r
C
R
µ0 ∑ I i = µ0 I
 
∫ Bdl = ∫ Bdl = B ∫ dl = B 2πr
µ0 I
B=
2πr
Volvemos a encontrar lo que sabíamos. Este resultado es independiente de lo grueso que sea el
hilo siempre que r sea mayor que el radio del hilo. ¿Qué pasa dentro del hilo? La ley de Ampere
nos da la solución fácilmente. Supongamos que a través del hilo circula una densidad de corriente j
uniforme, es decir j=I/A (A=πR2 sección del hilo).
R
Volvemos ha proceder como antes, la
única diferencia es que la corriente
encerrada depende del radio r:
r

B
↑I
µ0 I
2πR
B=
µ0
µ
µI
I ( r ) = 0 jπr 2 = 0 2 r
2πr
2πr
2πR
B
j=
~r
~ 1/ r
r
R
I (r)
I
=
πr 2 πR 2
Otro ejemplo: Campo magnético creado por una bobina infinita de radio R y n espiras por unidad
de longitud
 
∫ B dl = µ 0 ∑ I i
C
d
c
a
b
Por simetría, con B→0
lejos de la bobina
µ0 ∑ I i = 0
  a  
∫ Bdl = ∫ Bdl = 0,
c
b
d
  d  
∫ Bdl + ∫ Bdl = (− B(a) + B(c))h = 0
b
a
c

⇒ B fuera = constante
¡no puede ser salvo que la constante sea CERO!

⇒ B fuera ≡ 0
µ0 ∑ I i = µ0 Inh
  b   c   d   a  
∫ Bdl = ∫ Bdl + ∫ Bdl + ∫ Bdl + ∫ Bdl
c
a
a
b
c
 
 
∫ Bdl + ∫ Bdl = 0,
d
 
∫ Bdl = 0
db
b
d
c
a
 
∫ Bdl = Bh
 
∫ Bdl = Bh
B = µ0 In
¡UNIFORME!
5.5 Materiales magnéticos
La materiales no conductores en presencia de un campo eléctrico se polariza: las cargas de
distinto signo de las moléculas son atraídas, en sentido contrario generando dipolos eléctricos
y/o orientándolos en el campo eléctrico. Este efecto modifica el campo final resultante en estos
materiales. La constante dieléctrica ε (o χ o κ) caracteriza este fenómeno.
En cierta forma algo similar ocurre en con el campo magnético, este magnetiza a los materiales
y el resultado es un campo magnético final distinto. Sin embargo la magnetización es un
fenómeno más complejo que la polarización a causa de distintos factores: la existencia de un
momento magnético intrínseco de los electrones, el momento magnético de los átomos
originado por las órbitas de sus electrones y las posibles magnéticas interacciones magnéticas
entre electrones. El resultado final depende del tipo de materiales dando lugar a un campo
magnético final más débil o más fuerte que el impuesto, a favor o en contra. Incluso sin un
campo magnético hay materiales ya magnetizados.

L

S

µS
e

µL
Descripción del magnetismo con el vector H

P = np
P polarización por unidad de volumen
p polarización molecular inducida
n densidad de moléculas


P = ε 0 χ E E, χ E > 0
 



E = E0 − P / ε 0 = D / ε 0 − P / ε 0




D = ε 0 (1 + χ E ) E = εE = ε 0κE


M = nm
M momento magnético por unidad de volumen
m momento magnético molecular
n densidad de moléculas


¿ χm ?
M = χmH

1  
H=
B+M
 

B = B0 + χ m B0
µ0




B = µ0 (1 + χ m ) H = µH = µ0κ m H
χm >0: Paramagnetismo
χm<0: diamagnetismo.
→ χE>0: dieléctricos
Ferromagnetismo M≠0, H=0
Variantes: Antiferromagnetismo
Ferrimagnetismo
Campo B generado por una bobina con corriente en el vacío
χm = 0


E0
E=
1 + χE
Lo mismo pero con núcleos de diferentes materiales

L
e
µL
 

B = B0 + χ m B0
Puramente
Diamagnético

S

µS
Paramagnético

S

µS
Ferromagnético
Las figuras muestran sólo el comportamiento cualitativo materiales magnéticos
χm < 0
χm > 0
χ m >>> 0

¡B ≠ 0 !
¿Existen monopolos magnéticos?
S
S
N
N
S
N
N
S
N
S
N S
N S