Capitulo X

Capı́tulo X
Campos tensoriales
1.
Campos tangentes
Definición 1.1 Se llama campo tangente (con más precisión, campo de vectores tangentes)
sobre una variedad diferenciable X a una familia de vectores tangentes D = {Dx ∈ Tx X :
x ∈ X}. Una tal familia asigna a cada punto x un vector tangente Dx en dicho punto.
Un campo tangente D = {Dx ∈ Tx X : x ∈ X} se dice diferenciable si para todo abierto U
de X y para toda función f ∈ C ∞ (U ) se cumple que la función
Df : U −→ R
x 7−→ Df (x) := Dx (f )
es diferenciable.
Propiedades 1.2 Sea D = {Dx ∈ Tx X : x ∈ X} un campo tangente sobre una variedad
diferenciable X.
(a) Un campo tangente diferenciable es localmente diferenciable : Dado un abierto U de
X, la restricción de D define sobre U el campo tangente DU = {Dx ∈ D : x ∈ U }, y si D
es un campo tangente diferenciable sobre X, entonces DU es un campo tangente diferenciable
sobre U .
(b) El recı́proco de la propiedad (a) también se cumple, es decir, si un campo tangente es
localmente diferenciable, entonces es diferenciable : Si existe un recubrimiento abierto {Ui }i∈I
de X tal que DUi es un campo tangente diferenciable sobre Ui para todo i ∈ I, entonces D es
un campo tangente diferenciable sobre X.
La demostración de estas propiedades son sencillas y se dejan como ejercicio.
1.3 Veamos cómo son los campos tangentes diferenciables sobre un abierto coordenado. Sea
(U ; u1 , . . . , un ) un abierto coordenado de una variedad diferenciable X y sea D = {Dx ∈ Tx X :
x ∈ U } un campo tangente sobre U . Para cada x ∈ U , recordemos
que las coordenadas
del
(
)
vector Dx en la base de Tx X que definen las parciales son Dx (u1 ), . . . , Dx (un ) . Para cada
i ∈ {1, . . . , n} denotemos por fi : U → R la función que asigna
∑ a cada vector Dx su coordenada
i-ésima Dx (ui ); nótese que por definición tenemos Dx = ni=1 fi (x)(∂ui )x para todo x ∈ U .
165
166
Capı́tulo X. Campos tensoriales
Proposición 1.4 Con la notación del punto 1.3 anterior tenemos: el campo tangente D es
diferenciable si y sólo si las funciones f1 , . . . , fn son diferenciables.
Demostración. Supongamos primero que D es diferenciable. Entonces para cada i ∈ {1, . . . , n}
tenemos la función diferenciable Dui definida como
Dui : U −→ R
x 7−→ Dui (x) := Dx (ui ) = fi (x) ;
es decir, fi = Dui es diferenciable.
Supongamos ahora que las funciones f1 , . . . , fn son diferenciables. Dados un abierto V
dentro de U y una función g ∈ C ∞ (V ) tenemos
Dg : V −→ R
x 7−→ Dg(x) := Dx (g) ,
donde
(
Dx (g) =
n
∑
)
fi (x) (∂ui )x
(g) =
i=1
=
por lo tango Dg =
∑n
n
∑
∂g
i=1 fi ∂ui
i=1
∂g
fi (x)
(x) =
∂ui
( n
∑
i=1
n
∑
fi (x) (∂ui )x (g)
i=1
∂g
fi
∂ui
)
(x);
es una función diferenciable sobre V .
Observación 1.5 Salvo que se diga expresamente lo contrario para un campo concreto, en
adelante todo campo tangente será diferenciable.
Definición 1.6 Sea X una variedad diferenciable. Una aplicación D : C ∞ (X) → C ∞ (X) se
llama derivación sobre X si cumple las tres siguientes propiedades:
(i) Dλ = 0 para todo λ ∈ R ;
(ii) D(f + g) = Df + Dg para cualesquiera f, g ∈ C ∞ (X) ;
(iii) (regla de Leibnitz) D(f · g) = Df · g + f · Dg para cualesquiera f, g ∈ C ∞ (X) .
Lema 1.7 En una variedad diferenciable X, fijemos un punto x ∈ X, una función f ∈ C ∞ (X)
y una derivación D : C ∞ (X) → C ∞ (X). Si f es constante en algún entorno de x, entonces su
“ derivada respecto de D ” se anula en x, esto es, Df (x) = 0.
Demostración. Supongamos que existe λ ∈ R tal que f = λ sobre un entorno abierto U de x
en X. Si consideramos h ∈ C ∞ (X) tal que h(x) = 1 y Sop(h) ⊆ U (sabemos que tal función
meseta h existe), entonces es (f − λ) · h = 0 y por lo tanto
(
)
0 = D (f − λ) · h = (Df − Dλ) · h + (f − λ) · Dh = Df · h + (f − λ) · Dh .
Valorando en x obtenemos
0 = Df (x) · h(x) + (f (x) − λ) · Dh(x) = Df (x) · 1 + 0 · Dh(x) ,
es decir, Df (x) = 0.
1. Campos tangentes
167
Definición 1.8 Cada campo tangente D = {Dx }x∈X sobre una variedad diferenciable X
define la aplicación (designada con la misma letra)
D : C ∞ (X) −→ C ∞ (X)
f 7−→ Df ,
que es trivialmente una derivación llamada derivación asociada al campo tangente D.
Proposición 1.9 La aplicación que a cada campo tangente sobre X le asigna su derivación
asociada establece una correspondencia biunı́voca:
{
}
(
)
campos tangentes sobre X = DerR C ∞ (X), C ∞ (X) .
Demostración. Describamos cómo es la inversa de la aplicación que a cada campo tangente sobre X le asigna su derivación asociada; como ejercicio quedará comprobar que ambas
aplicaciones son en efecto inversa una de la otra.
(
)
Dicha inversa consiste en asignar a cada derivación D ∈ DerR C ∞ (X), C ∞ (X) el campo
tangente {Dx }x∈X siguiente: Dado x ∈ X, el vector tangente Dx ∈ Tx X = DerR (Ox , R) es la
derivación definida como
Dx : Ox −→ R
fx 7−→ Dx (fx ) := Df (x) ,
siendo f ∈ C ∞ (X) un
representante del germen fx
(según la propiedad VIII.2.3 (b), todo germen en x está representado por funciones diferenciables globales). Para ver que Dx está bien definida debemos comprobar que no depende del
representante elegido del germen. Sean f, g ∈ C ∞ (X) funciones que representan el mismo germen en el punto x. Entonces f − g se anula en algún entorno de x y aplicando el lema 1.7
obtenemos D(f − g)(x) = 0, es decir, Df (x) = Dg(x).
Nota 1.10 La proposición anterior es fundamental. Gracias a ella, un campo tangente sobre una variedad diferenciable X se entenderá indistintamente como una familia de vectores
tangentes {Dx }x∈X ó como una derivación D : C ∞ (X) → C ∞ (X).
(
)
1.11 El conjunto D(X) := DerR C ∞ (X), C ∞ (X) de los campos tangentes sobre una variedad
diferenciable X es un C ∞ (X)-módulo de manera natural: dados D, D′ ∈ D(X) y h ∈ C ∞ (X),
las derivaciones D + D′ y h · D se definen como
D + D′ : C ∞ (X) −→ C ∞ (X)
f 7−→ (D + D′ )(f ) := Df + D′ f ,
h · D : C ∞ (X) −→ C ∞ (X)
f 7−→ (h · D)(f ) := h · Df .
En lo dicho anteriormente hemos entendido los campos tangentes como derivaciones. Entendidos
como familia de vectores tangentes, la definición (por supuesto equivalente) de la estructura de
C ∞ (X)-módulo de D(X) serı́a:
{Dx } + {Dx′ } := {Dx + Dx′ } ,
h · {Dx } := {h(x) · Dx } .
168
Capı́tulo X. Campos tensoriales
1.12 Si (U ; u1 , . . . , un ) es un abierto coordenado de una variedad diferenciable, entonces para
cada i ∈ {1, . . . , n} tenemos la derivación ∂ui = “ derivar parcialmente respecto de ui ”,
∂ui : C ∞ (U ) −→ C ∞ (U )
f
7−→
∂f
.
∂ui
Si entendemos la derivación como familia de vectores tangentes tenemos ∂ui = {(∂ui )x }x∈U .
Proposición 1.13 Sea (U ; u1 , . . . , un ) un abierto coordenado de una variedad diferenciable.
El C ∞ (U )-módulo D(U ) de los campos tangentes sobre U es libre de rango n, y una base suya
son las “ derivadas parciales ” {∂u1 , . . . , ∂un }.
Demostración. Sea D ∈ D(U ). Si ponemos D = {Dx }, entonces existen funciones diferenciables f1 , . . . , fn sobre U tales que
Dx =
n
∑
fi (x)(∂ui )x ,
x∈U;
i=1
concretamente, dado i ∈ {1, . . . , n} es fi = Dui (véanse la proposición 1.4 y su demostración),
de modo que las funciones f1 , . . . , fn están totalmente determinadas por el campo D.
Entendiendo los campos como derivaciones, lo anterior significa que para la derivación D
existen funciones únicas f1 , . . . , fn ∈ C ∞ (U ) que cumplen
D=
n
∑
fi ∂ui .
i=1
Por lo tanto la familia de derivaciones {∂u1 , . . . , ∂un } es base de D(U ).
1.14 En 1.13 se ha dado la expresión en coordenadas de un campo tangente D sobre el abierto
coordenado (U ; u1 , . . . , un ) :
n
∑
D=
D(ui ) ∂ui .
i=1
2.
Curvas integrales de un campo tangente
Definiciones 2.1 Dada una variedad diferenciable X, se llama curva (parametrizada) en X a
una aplicación diferenciable σ : I → X definida sobre un intervalo abierto I (no necesariamente
acotado) de R.
Si denotamos por t la coordenada cartesiana de I, se llama vector tangente de la curva σ
en t0 ∈ I al vector
(
)
Tt0 := σ∗ (∂t )t0 ∈ Tσ(t0 ) X .
También se dice que Tt0 es el vector tangente a la curva σ en el punto σ(t0 ).
2. Curvas integrales de un campo tangente
169
2.2 Supongamos que tenemos una curva σ : I → U que valora en un abierto coordenado
(U ; x1 , . . . , xn ) de una variedad diferenciable X, y calculemos la expresión de su vector tangente
en esas coordenadas. Para todo t ∈ I será σ(t) = (g1 (t), . . . , gn (t)), donde gi = xi ◦σ = σ ∗ (xi )
(i = 1, . . . , n) son funciones reales de variable real (las estudiadas en el bachillerato), esto es,
g1 , . . . , gn ∈ C ∞ (I). Dado t0 ∈ I tenemos
n
n
∑
(
)
(
) ∑
(∂t )t0 (σ ∗ (xi )) · (∂xi )σ(t0 )
σ∗ (∂t )t0 (xi ) · (∂xi )σ(t0 ) =
Tt0 = σ∗ (∂t )t0 =
i=1
i=1
=
n
∑
(∂t )t0 (gi ) · (∂xi )σ(t0 ) =
i=1
n
∑
i=1
∑
∂gi
(t0 ) · (∂xi )σ(t0 ) =
gi′ (t0 ) · (∂xi )σ(t0 ) ;
∂t
n
i=1
{
}
es decir, en la base (∂x1 )σ(t0 ) , . . . , (∂xn )σ(t0 ) del espacio vectorial Tσ(t0 ) X, la expresión de Tt0
en coordenadas es
(
)
Tt0 = g1′ (t0 ), . . . , gn′ (t0 ) .
Definición 2.3 Sea D un campo tangente sobre una variedad diferenciable X. Una curva
σ : I → X se dice que es curva integral del campo D si su vector tangente en cada punto σ(t0 )
(t0 ∈ I) coincide con Dσ(t0 ) , es decir, si
(
)
para todo t0 ∈ I .
Tt0 = σ∗ (∂t )t0 = Dσ(t0 )
2.4 Veamos que, en coordenadas, obtener las curvas integrales de un campo tangente es
equivalente a resolver un sistema de ecuaciones diferenciales (ordinarias de primer orden).
Sea (U ; x1 , . . . , xn ) un abierto coordenado de una variedad diferenciable y sea D un campo
tangente sobre U . Existen funciones diferenciables F1 , . . . , Fn sobre U tales que
D=
n
∑
Fi (x1 , . . . , xn ) ∂xi ;
i=1
concretamente, para cada i = 1, . . . , n es Fi = Dxi .
Para que una curva σ : I → U , σ(t) = (g1 (t), . . . , gn (t)), sea curva integral del campo D,
para todo t ∈ I debe ocurrir que σ∗ ((∂t )t ) = Dσ(t) , es decir,
n
∑
i=1
gi′ (t) (∂xi )σ(t)
=
n
∑
i=1
Fi (σ(t)) (∂xi )σ(t) =
n
∑
Fi (g1 (t), . . . , gn (t)) (∂xi )σ(t) .
i=1
Por lo tanto, σ(t) = (g1 (t), . . . , gn (t)) es una curva integral de D si y sólo si las funciones
g1 = g1 (t), . . . , gn = gn (t) son solución del sistema de ecuaciones diferenciales

g1′ = F1 (g1 , . . . , gn ) 

..
.
(2.1)
.


′
gn = Fn (g1 , . . . , gn )
Nota 2.5 Si partimos de un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma (2.1), donde
F1 = F1 (x1 , . . . , xn ), . . . , Fn = Fn (x1 , . . . , xn ) son funciones diferenciables sobre un abierto
170
Capı́tulo X. Campos tensoriales
coordenado (U ; x1 . . . , xn ) de una variedad diferenciable, entonces podemos definir sobre dicho
abierto la derivación
n
∑
D=
Fi (x1 , . . . , xn ) ∂xi ,
i=1
la cual se llama operador diferencial asociado al sistema de ecuaciones de partida.
Según lo dicho en el punto 2.4 anterior, las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales se corresponden con las curvas integrales de su operador diferencial asociado.
Teorema 2.6 Dados un campo tangente D sobre una variedad diferenciable X y un punto
p ∈ X, existe una curva integral σ : I → X del campo D tal que 0 ∈ I y σ(0) = p. Además,
dos de tales curvas integrales coinciden en el intervalo común de definición.
Demostración. Sea (U ; x1 , . . . , xn ) un
En tales coordenadas
∑nentorno abierto coordenado de p.
∞
escribimos p = (λ1 , . . . , λn ) y D = i=1 Fi ∂xi , siendo F1 , . . . , Fn ∈ C (U ). Una curva en el
abierto U , σ : I → U , σ(t) = (g1 (t), . . . , gn )), será curva integral de D cuando las funciones
g1 , . . . , gn sean solución del sistema de ecuaciones diferenciales

g1′ = F1 (g1 , . . . , gn ) 

..
,
.


′
gn = Fn (g1 , . . . , gn )
y la condición σ(0) = p nos proporciona para el sistema las condiciones iniciales g1 (0) = λ1 ,
. . . , gn (0) = λn . Aplicando el teorema de existencia y unicidad de las soluciones de un sistema
de ecuaciones diferenciales, obtenemos que existen curvas integrales σ : I → U de D tales
que σ(0) = p, y que dos de tales curvas valoradas en el abierto coordenado U coinciden en el
intervalo común de definición.
Falta probar la unicidad de las curvas integrales no contenidas en U . Veamos que dos curvas
integrales σ1 : I1 → X, σ2 : I2 → X que cumplen σ1 (0) = σ2 (0) = p coinciden sobre I = I1 ∩ I2 .
Nótese que I es un intervalo abierto de R, es decir, I es conexo. Sea J el conjunto de puntos de
I en los que coinciden σ1 y σ2 . Como J es no vacı́o (pues 0 ∈ J), si probamos que J es cerrado
y es abierto en I, entonces será J = I.
Es claro que J es cerrado, pues el conjunto de puntos donde coinciden dos aplicaciones
continuas entre espacios separados es un cerrado. Veamos que J es abierto. Sea t0 ∈ J y
denotemos q = σ1 (t0 ) = σ2 (t0 ); consideremos un abierto coordenado V de X tal que q ∈ V .
Como σ1−1 (V ) ∩ σ2−1 (V ) es un abierto de I1 ∩ I2 = I que contiene a t0 , existe un intervalo
abierto I ′ contenido en I y tal que t0 ∈ I ′ ⊆ σ1−1 (V ) ∩ σ2−1 (V ). Entonces σ1 : I ′ → V ,
σ2 : I ′ → V son curvas integrales de D definidas en el mismo intervalo abierto, valoradas en
un abierto coordenado y cumpliendo la misma condición inicial σ1 (t0 ) = q = σ2 (t0 ). Aplicando
como antes el teorema de existencia y unicidad de las soluciones de un sistema de ecuaciones
diferenciales obtenemos que σ1 = σ2 sobre I ′ . Es decir, existe un entorno abierto I ′ de t0 en I
tal que I ′ ⊂ J. Por tanto J es abierto de I.
Definición 2.7 Fijemos un punto p en una variedad diferenciable X y un campo tangente D
sobre X. Consideremos todas las curvas integrales de D que pasan por p para t = 0,
{
}
σα : Iα → X : σα (0) = p
.
α∈Λ
2. Curvas integrales de un campo tangente
171
Como 0 ∈ Iα para todo α ∈ Λ, es claro que I = ∪α∈Λ Iα es un intervalo de R, y el anterior
teorema nos dice que podemos definir la aplicación diferenciable σ : I → X del modo evidente:
dado t ∈ I existe α ∈ Λ tal que t ∈ Iα , y definimos σ(t) = σα (t). Ası́, σ es la curva integral de
D que pasa por p para t = 0 y que está definida sobre el mayor intervalo posible. Diremos que
σ es la trayectoria (o curva integral máxima) del campo D que pasa por p. Cuando I = R se
dice que dicha trayectoria es completa. El campo tangente D se dice que es completo si todas
sus trayectorias son completas.
Ejercicio 2.8 Sea D un campo tangente sobre una variedad diferenciable X. Un punto x ∈ X
se dice que es singular para D cuando Dx = 0.
Pruébese que un punto x ∈ X es singular para un campo D ∈ D(X) si y sólo si la trayectoria
de D que pasa por x es la curva contante x.
Ejemplo 2.9 Consideremos sobre R2 el campo D = x∂x −y∂y . Abreviadamente, identificando
el campo con sus funciones coordenadas respecto de la base {∂x , ∂y } que definen las parciales,
escribiremos también D = (x, −y). Aquı́ es D = F1 ∂x + F2 ∂y con F1 (x, y) = x y F2 (x, y) = −y.
Las curvas integrales de D serán de la forma σ(t) = (x(t), y(t)) donde x(t), y(t) son solución
del sistema de ecuaciones diferenciales
}
x′ (t) = F1 (x(t), y(t)) = x(t)
.
y ′ (t) = F2 (x(t), y(t)) = −y(t)
Por lo tanto x(t) = αet , y(t) = βe−t con α, β ∈ R. Fijado un punto p = (a, b) ∈ R2 , si a
la solución general σ(t) = (αet , βe−t ) le imponemos la condición inicial σ(0) = p, entonces
obtenemos α = a y β = b, es decir, σ(t) = (aet , be−t ). Es claro que el campo D de este ejemplo
es completo.
El único punto singular de D es el origen, y la trayectoria que pasa por él es la curva
constante σ(t) = (0, 0).
Supongamos que p = (a, b) ̸= (0, 0). Nótese que los punto de la trayectoria de D que pasa
por p cumplen la ecuación xy = ab. Si ab ̸= 0 (esto es, si p está fuera de los ejes coordenados),
entonces la trayectoria que pasa por p es una de las dos ramas de la hipérbola equilátera de
ecuación xy = ab. Si ab = 0 (esto es, p = (a, 0) con a ̸= 0 ó p = (0, b) con b ̸= 0), entonces
la trayecoria es una de las cuatro semirrectas que se obtienen al quitar el origen a los ejes
coordenados.
Definición 2.10 Sea D un campo tangente sobre una variedad diferenciable X. Se llama
integral primera de D a toda función f ∈ C ∞ (X) que cumpla Df = 0.
Proposición 2.11 Sea D un campo tangente sobre una variedad diferenciable X. Dada una
función f ∈ C ∞ (X) se cumple: f es integral primera de D si y sólo si f es constante a lo largo
de las trayectorias de D.
Demostración. Supongamos que Df = 0 y sea σ : I → X una curva integral de D. Para la
σ
f
composición I −−→ X −−→ R tenemos
(f ◦σ)′ (t0 ) =
(
)
(
)
∂(f ◦σ)
(t0 ) = (∂t )t0 σ ∗ f = σ∗ (∂t )t0 (f ) = Dσ(t0 ) (f ) = (Df )(σ(t0 )) = 0
∂t
172
Capı́tulo X. Campos tensoriales
para todo t0 ∈ I; por tanto f ◦σ es constante.
Recı́procamente, supongamos ahora que f es constante sobre las trayectorias de D. Dado
p ∈ X, sea σ : I → X curva integral de D tal que σ(0) = p. Como f ◦σ es constante tenemos
(
)
(Df )(p) = Dp (f ) = Dσ(0) (f ) = σ∗ (∂t )0 (f ) = (f ◦σ)′ (0) = 0 .
Como p es arbitrario concluimos que Df = 0.
2.12 Sea D un campo tangente sobre una variedad diferenciable X. Las integrales primeras
de D pueden servir para calcular las curvas integrales de D de “ modo implı́cito ” (esto es, sin
parametrizar).
En efecto, denotemos n = dim X y sean f1 , . . . , fn−1 ∈ C ∞ (X) integrales primeras de
D tales que para todo x ∈ X se cumple que las 1-formas dx f1 , . . . , dx fn−1 son linealmente
independientes. Fijemos un punto p ∈ X y denotemos αi = fi (p), i = 1, . . . , n − 1. Si para cada
ı́ndice i definimos hi = fi − αi ∈ C ∞ (X), entonces es claro que
Y = {x ∈ X : h1 (x) = · · · = hn−1 (x) = 0}
es una subvariedad diferenciable de X de dimensión 1 a la que pertenece p (nótese que para
todo x ∈ X es dx hi = dx fi , i = 1, . . . , n − 1). Veamos que Y “ es curva integral ” de D. Con
más precisión, probemos que la curva integral de D que pasa por p queda dentro de Y .
Dado un punto y ∈ Y , el vector Dy ∈ Ty X que el campo D define en ese punto pertenece
al subespacio Ty Y , pues para cada i ∈ {1, . . . , n} tenemos
dy fi (Dy ) = Dy (fi ) = (Dfi )(y) = 0
⟩◦
⟨
(Dfi = 0 porque fi es integral primera de D), y por lo tanto Dy ∈ dy f1 , . . . , dy fn−1 = Ty Y .
Esto significa que si se define D̄ como la restricción del campo D a los puntos de Y ,
D̄ = {D̄y }y∈Y
tal que D̄y := Dy para todo y ∈ Y ,
entonces D̄ es un campo tangente sobre Y . Para terminar, si σ : I → Y es la curva integral de
D̄ tal que σ(0) = p, entonces es claro que componiendo con la inclusión i : Y ,→ X obtenemos
i◦σ
que I −−−→ X es la curva integral de D que pasa por p para t = 0.
De otro modo, geométricamente tenemos: para cada i ∈ {1, . . . , n − 1}, como fi es constante sobre la trayectoria de D que pasa por p, dicha trayectoria debe estar contenida en la
subvariedad Yi ≡ fi = αi (dim Yi = n − 1). Por lo tanto, la trayectoria de D que pasa por p
está contenida en la subvariedad Y = Y1 ∩ · · · ∩ Yn−1 , que tiene dimensión 1.
Ejemplo 2.13 Consideremos sobre R2 el campo tangente D = (x, −y) del ejemplo 2.9. En
general es un problema difı́cil el encontrar integrales primeras de un campo, pero en este caso
es fácil ver que f (x, y) = xy es integral primera de D :
∂f
∂f
−y
= xy − yx = 0 .
∂x
∂y
)
(
∂f
(p),
(p)
= (x0 , y0 ),
Dado p = (x0 , y0 ), las coordenadas de dp f en la base {dp x, dp y} son ∂f
∂x
∂y
de modo que dp f ̸= 0 salvo cuando p = (0, 0). Por tanto la integral primera f nos puede dar
Df = (x∂x − y∂y )(f ) = x
2. Curvas integrales de un campo tangente
173
todas las trayectorias del campo D salvo la que pasa por el origen; esto último no es problema
porque el origen es el único punto singular de D y por tanto la trayectoria de D que pasa por
(0, 0) es la curva constantemente igual a (0, 0).
Si p = (a, b) ̸= (0, 0), entonces la trayectoria de D que pasa por p es una parte de la curva
de ecuación f (x, y) = f (a, b), esto es, xy = ab (véase el último párrafo del ejemplo 2.9).
Ejemplo 2.14 Sea (U ; u1 , . . . , un ) un abierto coordenado de una variedad diferenciable y
consideremos sobre U el campo tangente D = ∂u1 . Es claro que las funciones coordenadas
u2 , . . . , un son integrales primeras de D, y que para todo x ∈ U las 1-formas dx u2 , . . . , dx un
son linealmente independientes. Dado un punto p de coordenadas (α1 , . . . , αn ), la trayectoria
de D que pasa por p es “ la recta ” de ecuación

u2 = α2 

..
,
.


un = αn
parametrizada como σ : I → U , σ(t) = (α1 + t, α
{2 , . . . , αn ). En efecto,}para todo t ∈ I,
las coordenadas del vector tangente Tt en la base (∂u1 )σ(t) , . . . , (∂un )σ(t) son (1, 0, . . . , 0),
es decir, Tt = (∂u1 )σ(t) = Dσ(t) . (En la expresión anterior estamos abusando del lenguaje:
aunque posiblemente carezca de sentido hablar de rectas en U , es claro que la curva “ está
parametrizada como una recta ” respecto de las coordenadas que se están considerando).
Veamos unos casos particulares de lo dicho.
(a) Sean (r, θ) las coordenadas polares de R2 − {(0, 0)}. Las curvas integrales del campo
∂r son las de ecuación θ = cte., esto es, las semirrectas que parten del origen de R2 . Las curvas
integrales del campo ∂θ son las de ecuación r = cte., es decir, las circunferencias de R2 centradas
en el origen.
(b) Sean (r, θ, z) las coordenadas cilı́ndricas en R3 − {eje z} y fijemos un punto p =
(r0 , θ0 , z0 ). La curva integral del campo ∂r que pasa por p tiene ecuaciones
}
θ = θ0
;
z = z0
se trata de la semirrecta que pasa por p partiendo del eje z y es paralela al plano z = 0. La
curva integral del campo ∂θ que pasa por p tiene ecuaciones r = r0 , z = z0 ; es la circunferencia
centrada en el eje z que pasa por p y es paralela al plano z = 0. La curva integral de ∂z que
pasa por p es la recta paralela al eje z que pasa por p, cuyas ecuaciones son r = r0 , θ = θ0 .
(c) Sean (r, θ, φ) las coordenadas esféricas en R3 − {eje z}, fijemos un punto p = (r0 , θ0 , φ0 )
y consideremos la esfera S centrada en el origen de R3 y de radio r0 . La curva integral del
campo ∂r que pasa por p tiene ecuaciones
}
θ = θ0
;
φ = φ0
se trata de la semirrecta que pasa por p partiendo del origen de R3 . La curva integral del campo
∂θ que pasa por p tiene ecuaciones r = r0 , φ = φ0 ; es el paralelo de S que pasa por p. La curva
integral de ∂φ que pasa por p es el meridiano de S que pasa por p.
174
3.
Capı́tulo X. Campos tensoriales
Grupos uniparamétricos de transformaciones
Denotemos por Dif(X) el conjunto de todos los difeomorfismos de una variedad diferenciable
X en sı́ misma. Con la operación que define la composición, Dif(X) es de modo natural un
grupo.
Definición 3.1 Un grupo uniparamétrico sobre una variedad diferenciable X es una aplicación
τ̃
(R, +) −−→ Dif(X)
t 7−→ τt
que es “ morfismo de grupos ” y “ diferenciable ”. Esta última condición debe entenderse en el
sentido de que la aplicación
τ
R × X −−→ X
(t, x) 7−→ τt (x)
es diferenciable. Que τ̃ sea morfismo de grupos significa que para cualesquiera t, t′ ∈ R se
satisface
τt+t′ = τt ◦τt′ ,
y como consecuencia se cumplen además (IX el difeomorfismo identidad de X)
τ−t = (τt )−1 .
τ0 = I X ,
Ejercicio 3.2 Sea X una variedad diferenciable y consideremos una familia de aplicaciones
{τt : X → X}t∈R . Si se cumplen las propiedades
(a) la aplicación τ : R × X → X, (t, x) 7→ τt (x), es diferenciable,
(b) τt+t′ = τt ◦τt′ cualesquiera que sean t, t′ ∈ R ,
(c) τ0 = IX ,
entonces la aplicación R → Dif(X), t 7→ τt , es un grupo uniparamétrico sobre X.
Definición 3.3 Se llama generador infinitesimal de un grupo uniparamétrico {τt } sobre una
variedad diferenciable X, al campo tangente D sobre X definido por la fórmula
(Df )(p) := lı́m
t→0
f (τt (p)) − f (p)
t
(
)
f ∈ C ∞ (X) , p ∈ X .
Veamos que el anterior lı́mite existe y que D es una derivación de C ∞ (X). Tenemos
f (τt (p)) − f (p)
f (τ (t, p)) − f (τ (0, p))
∂(f ◦τ )
= lı́m
=
(0, p) ,
t→0
t
t
∂t
y haciendo abstracción del punto p resulta
(Df )(p) = lı́m
t→0
∂(f ◦τ )
(t = 0) .
(3.1)
∂t
La anterior igualdad dice que D : C ∞ (X) → C ∞ (X) es la composición de las aplicaciones
Df =
τ∗
i∗
C ∞ (X) −−→ C ∞ (R × X) −−t→ C ∞ (R × X) −−→ C ∞ (X) ,
∂
donde i : X → R × X, x 7→ (0, x); como τ ∗ e i∗ son morfismos de R-álgebras y ∂t es una
derivación, concluimos que D es una derivación.
3. Grupos uniparamétricos de transformaciones
175
3.4 Siguiendo con la notación de la anterior definición, aprovechemos la fórmula obtenida para
hallar la expresión en coordenadas del campo D. Fijemos un punto p ∈ X y consideremos un
abierto coordenado (V ; x1 . . . , xn ) entorno de p. Como τ0 = IX , existen un intervalo abierto I
en R entorno de cero y un entorno abierto U de p (dentro de V ) tales que τ (I × U ) ⊂ V . En
coordenadas tenemos
τ : I × U −→ V
(
)
(t, x1 , . . . , xn ) 7−→ f1 (t, x1 , . . . , xn ), . . . , fn (t, x1 , . . . , xn ) ,
y aplicando la fórmula (3.1) obtenemos
n
n
∑
∑
∂fi
D=
(Dxi ) ∂xi =
(t = 0) ∂xi .
∂t
i=1
i=1
Es decir, la expresión sobre U de D en coordenadas es
(
)
∂f1
∂fn
D=
(0, x1 , . . . , xn ), . . . ,
(0, x1 , . . . , xn ) .
∂t
∂t
Proposición 3.5 Sea D el generador infinitesimal de un grupo uniparamétrico {τt } sobre una
variedad diferenciable X. La curva integral máxima de D que pasa por un punto p ∈ X en el
instante t = 0 es
σp : R −→ X
t 7−→ σp (t) := τt (p) .
Demostración. Es claro que σp (0) = τ0 (p) = p, por lo que bastará probar que σp es una curva
integral de D (que automáticamente será máxima): dado t0 ∈ R, para toda función f ∈ C ∞ (X)
tenemos
(
)
∂(f ◦σp )
f (σp (t0 + t)) − f (σp (t0 ))
σp,∗ (∂t )t0 (f ) =
(t0 ) = lı́m
t→0
∂t
t
= lı́m
f (τ (t0 + t, p)) − f (σp (t0 ))
f (τt (τt0 (p))) − f (σp (t0 ))
= lı́m
t→0
t
t
= lı́m
f (τt (σp (t0 ))) − f (σp (t0 ))
= (Df )(σp (t0 )) = Dσp (t0 ) (f ) ,
t
t→0
t→0
(
)
luego σp,∗ (∂t )t0 = Dσp (t0 ) .
Corolario 3.6 El generador infinitesimal D del grupo uniparamétrico {τt } es un campo completo. Además, dicho generador infinitesimal hace honor a su nombre porque determina al
grupo uniparamétrico vı́a la igualdad τt (p) = σp (t).
3.7 (Grupos uniparamétricos en el plano euclı́deo) (a) Grupo uniparamétrico de las
traslaciones. Fijado un vector v = (v1 , v2 ) ∈ R2 , definimos el siguiente grupo uniparamétrico
τ : R × R2 −→ R2
(t, x1 , x2 ) 7−→ (x1 + tv1 , x2 + tv2 ) ;
176
Capı́tulo X. Campos tensoriales
es decir, fijado t ∈ R tenemos τt = “ traslación por el vector tv ”. De lo dicho en 3.4 para la
expresión en coordenadas del generador infinitesimal, en este caso se sigue la igualdad D =
v1 ∂x1 + v2 ∂x2 = (v1 , v2 ) = “ derivada direccional respecto del vector v ”. Las curvas integrales
de este campo D son: dado p ∈ R2 , σp (t) = τt (p) = p + tv = “ recta que pasa por p con la
dirección de v ”. (Este ejemplo se generaliza trivialmente a Rn .)
(b) Grupo uniparamétrico de las homotecias. Tomemos un escalar λ ̸= 0 y un punto
p0 ∈ R2 , que por comodidad supondremos que es p0 = (0, 0). Definimos entonces el grupo
uniparamétrico
τ : R × R2 −→ R2
(t, x1 , x2 ) = (t, p) 7−→ (x1 eλt , x2 eλt ) = eλt p .
Dado t ∈ R tenemos τt = “ homotecia de centro el origen p0 y razón eλt ”. En este caso el
generador infinitesimal es D = λx1 ∂x1 + λx2 ∂x2 . Dado p ̸= (0, 0), la trayectoria de D que pasa
por p es σp (t) = eλt p, esto es, la semirrecta abierta con extremo en el origen que pasa por p
(que se recorre en un sentido u otro dependiendo del signo de λ); la trayectoria que pasa por
el origen es la curva constante σp0 (t) = p0 . (Este ejemplo se generaliza trivialmente a Rn .)
(c) Grupo uniparamétrico de los giros. Fijemos un ángulo θ y un punto p0 ∈ R2 , que por
comodidad supondremos que es p0 = (0, 0). Definimos el grupo uniparamétrico
τ : R × R2 −→ R2
(t, x1 , x2 ) 7−→ (x1 cos tθ − x2 sen tθ, x1 sen tθ + x2 cos tθ) .
Para cada t ∈ R tenemos τt = “ giro centrado en p0 y de ángulo tθ ”. El generador infinitesimal
de este grupo uniparamétrico es D = −θx2 ∂x1 +θx1 ∂x2 . El origen es el único punto singular para
D, y dado p ∈ R2 , p ̸= (0, 0), la curva σp (t) = τt (p) es una parametrización de la circunferencia
centrada en el origen p0 que pasa por p.
3.8 (Grupos uniparamétricos de transformaciones lineales) Sea {τt } un grupo uniparamétrico sobre Rn tal que τt : Rn → Rn es isomorfismo lineal para todo t ∈ R, y sea D
su generador infinitesimal. Como τ : R × Rn → Rn , τ (t, x1 , . . . , xn ) = τt (x1 , . . . , xn ), es una
aplicación lineal de las coordenadas cartesianas x1 , . . . , xn , las funciones
Dxi =
∂(xi ◦τ )
(t = 0) ,
∂t
1 ≤ i ≤ n,
también serán lineales; es decir, existe una matriz cuadrada real A = (aij ) tal que
Dxi =
n
∑
aij xj ,
1 ≤ i ≤ n;
j=1
por lo tanto
D=
n
∑
Dxi ∂xi =
i=1
n (∑
n
∑
i=1
)
aij ∂xi .
j=1
Diremos que A = (aij ) es la matriz del campo D.
Ahora, una curva σ : R → Rn , σ(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)), es curva integral de D si se cumplen
x′i (t)
=
n
∑
j=1
aij xj (t) ,
i = 1, . . . , n ;
3. Grupos uniparamétricos de transformaciones
177
el anterior es un sistema de ecuaciones lineales (homogéneo con coeficientes constantes). Dado
p = (p1 , . . . , pn ) ∈ Rn , si σp es la solución de dicho sistema de ecuaciones con la condición
inicial σp (0) = p (es decir, σp es la trayectoria de D que pasa por p), entonces, por la Teorı́a
de Ecuaciones Diferenciales sabemos que


x1 (t)



σp (t) =  ...  = eAt 
xn (t)

Por lo tanto

p1
..  .
. 
pn


p1


τt (p1 , . . . , pn ) = eAt  ...  .
pn
Veamos, en el caso particular de R2 , cómo son estos grupos uniparamétricos dependiendo
de la forma de Jordan de A.
(
)
( λt
)
λ1 0
e 1
0
At
(a) A es diagonalizable: A =
, e =
. Si es λ1 = λ2 (̸= 0),
0 λ2
0 e λ2 t
entonces tenemos el grupo uniparamétrico de las traslaciones (ejemplo 3.7 (a)). Cuando λ1 y
λ2 son no nulos y de distinto signo, el generador infinitesimal del grupo uniparamétrico es una
generalización del campo del ejemplo 2.9.
(
)
λ 1
(b) A tiene un valor real doble pero no es diagonalizable: A =
, eAt =
0 λ
( λt
)
e
teλt
. No hemos visto ejemplos de este caso.
0 eλt
(c) Los autovalores de A son números
α = a + ib y ᾱ = a − ib con b ̸= 0; en
( complejos
)
a −b
este caso la forma de Jordan de A es
. Observemos que si identificamos R2 con C,
b a
entonces la aplicación lineal definida por A se convierte en la aplicación multiplicar por α,
A
R2 −−→ R2
||
||
·α
C −−→ C ,
de modo que también es conmutativo el cuadrado
eAt
R2 −−−→ R2
||
||
·eαt
C −−−→ C .
Teniendo en cuenta la igualdad eαt = eat · eibt , concluimos que τt = eαt es la composición del
giro eibt = cos(bt) + i sen(bt) con la traslación eat .
178
4.
Capı́tulo X. Campos tensoriales
Grupos uniparamétricos locales
No todo campo tangente es el generador infinitesimal de un grupo uniparamétrico, ya que
los generadores infinitesimales son campos completos. Sin embargo, con una adecuada generalización de la noción de grupo uniparamétrico podemos conseguir que todo campo sea generador
infinitesimal. Esta generalización consiste en considerar grupos uniparamétricos “ locales ”, donde cada aplicación τt será un difeomorfismo entre ciertos abiertos de la variedad.
Definición 4.1 Un grupo uniparamétrico local sobre una variedad diferenciable X es una
aplicación diferenciable τ : W → X definida en un abierto W de R × X tal que, denotando
τt (x) = τ (t, x), se cumplen:
(a) dom τ0 = X y τ0 = IX ;
(b) si x ∈ dom τt1 ( = dominio de τt1 ), entonces
τt1 (x) ∈ dom τt2
⇐⇒
x ∈ dom τt1 +t2 ,
en cuyo caso se satisface τt2 (τt1 (x)) = τt1 +t2 (x).
Ejercicio 4.2 Con la notación de la definición anterior, dado t ∈ R consideremos la aplicación
diferenciable φt : X → R × X, x 7→ (t, x). Se cumple dom τt = φ−1
t (W ) y por lo tanto dom τt es
un abierto de X. De las condiciones (a) y (b) de la definición se sigue que τt : dom τt → dom τ−t
es un difeomorfismo cuyo difeomorfismo inverso es τ−t : dom τ−t → dom τt .
Definición 4.3 Se llama generador infinitesimal de un grupo uniparamétrico local τ = {τt }
sobre una variedad diferenciable X, al campo tangente D sobre X definido por la fórmula
(
)
f (τt (p)) − f (p)
(Df )(p) := lı́m
f ∈ C ∞ (X) , p ∈ X .
t→0
t
Aunque τt (x) no está definido para todo t (fijado x), en la fórmula anterior no hay problema
porque sı́ está definido en un entorno de t = 0.
4.4 Lo dicho en el punto 3.4 y en la proposición 3.5 acerca de la expresión en coordenadas y
las curvas integrales del generador infinitesimal de un grupo uniparamétrico es también válido
para el generador infinitesimal de un grupo uniparamétrico local. La única diferencia estriba
en que el generador infinitesimal de un grupo uniparamétrico local puede no ser completo.
Podemos preguntarnos ahora, ¿es todo campo tangente el generador infinitesimal de un
grupo uniparamétrico local? La respuesta es afirmativa, y cuando dicho campo sea completo se
corresponderá con un grupo uniparamétrico (global). Este hecho es consecuencia del siguiente
“teorema de dependencia diferenciable de las soluciones de un sistema diferencial respecto de
las condiciones iniciales ” (que se prueba en el curso de Ecuaciones Diferenciales):
Teorema 4.5 Sea D un campo tangente sobre una variedad diferenciable X. Denotemos por
σp la curva integral máxima de D que pasa por p ∈ X en t = 0. La aplicación
τ : R × X 99K X
(t, x) 7−→ σx (t)
tiene como dominio de definición un abierto W de R × X, es diferenciable y define un grupo
uniparamétrico local cuyo generador infinitesimal es justamente D.
5. Fibrado tangente
5.
179
Fibrado tangente
Fijemos en esta sección una variedad diferenciable X de dimensión n.
5.1 Un campo tangente D = {Dx } sobre X es una “ familia diferenciable ” de vectores
tan⊔
gentes, uno en cada punto de X. En cierto sentido D es una aplicación: sea T X := x∈X Tx X
la unión disjunta de todos los espacios tangentes en los puntos de X dotado de la proyección
natural
π : T X −→ X
Dx 7−→ x ;
entonces el campo D pensado como la aplicación
D : X −→ T X
x 7−→ Dx
es una sección de la aplicación π. Vamos a dotar a T X de estructura de variedad diferenciable
para la cual π será una proyección (epiyectiva y proyección regular en todo punto), y tal
que los campos tangentes (diferenciables) sobre X serán las secciones (diferenciables) de la
proyección π.
⊔
Sea (U ; u1 , . . . , un ) un abierto coordenado de X. Denotemos T U = π −1 (U ) = x∈U Tx X ,
(u1 ,...,un )
y sea Ū el abierto de Rn tal que U −−−−−−−→ Ū es un difeomorfismo. Vamos a definir 2n
funciones coordenadas u1 , . . . , un , v1 , . . . , vn sobre T U : dado Dx ∈ T U (x ∈ U , Dx ∈ Tx X)
tenemos
ui (Dx ) := ui (x) , 1 ≤ i ≤ n
vi (Dx ) := Dx (ui ) , 1 ≤ i ≤ n
(coordenadas del punto x) ,
(coordenadas del vector Dx en la base {(∂ui )x }) .
Es claro que la aplicación
(u1 ,...,un ,v1 ,...,vn )
T U −−−−−−−−−−−−→ Ū × Rn
(5.1)
es una biyección, y consideraremos sobre T U la única estructura de variedad diferenciable para
la cual dicha biyección es un difeomorfismo.
Consideremos en T X la única topologı́a para la cual, dado (U ; u1 , . . . , un ) abierto coordenado de X, T U es un abierto de T X y la aplicación (5.1) es un homeomorfismo (esto es, un
subconjunto de T X es abierto si y sólo si su intersección con cada T U ≃ Ū × Rn es abierto).
Para dotar a T X de estructura de variedad diferenciable, veamos que dados sendos abiertos
coordenados topológicos de T X del tipo considerado, digamos (T U ; u1 , . . . , un , v1 , . . . , vn ) y
(T U ′ ; u′1 , . . . , u′n , v1′ , . . . , vn′ ), el cambio de coordenadas en T U ∩ T U ′ es diferenciable. Para los
abiertos coordenados (U ; u1 , . . . , un ) y (U ′ ; u′1 , . . . , u′n ) en X, los cambios de coordenadas en
U ∩ U ′ son diferenciables, de modo que para cada i ∈ {1, . . . , n} tenemos u′i = fi (u1 , . . . , un )
para cierta función diferenciable fi ; entonces, dado Dx ∈ T U ∩ T U ′ se cumple
u′i (Dx ) = u′i (x) = fi (u1 (x), . . . , un (x)) = fi (u1 (Dx ), . . . , un (Dx )) ,
180
Capı́tulo X. Campos tensoriales
y por lo tanto u′i = fi (u1 , . . . , un ) sobre T U ∩ T U ′ ; por otra parte


n
n
∑
∑
∂u′
vj (Dx )(∂uj )x  (u′i ) =
vi′ (Dx ) = Dx (u′i ) = 
vj (Dx ) i (x)
∂uj
j=1
=
n
∑
j=1
=
n
∑
j=1
∑
∂(fi ◦(u1 , . . . , un ))
∂fi
vj (Dx )
(x) =
vj (Dx )
(u1 (x), . . . , un (x))
∂uj
∂uj
n
j=1
vj (Dx )
j=1
∂fi
(u1 (Dx ), . . . , un (Dx )) ,
∂uj
∑
∂fi
y haciendo abstracción del vector Dx obtenemos vi′ = nj=1 vj ∂u
(u1 , . . . , un ), es decir, cada vi′
j
es función diferenciable de las coordenadas u1 , . . . , un , v1 , . . . , vn sobre T U ∩ T U ′ .
Definición 5.2 La variedad diferenciable T X construida en el anterior punto, dotada de la
aplicación π : T X → X, se denomina fibrado tangente de la variedad diferenciable X.
Es inmediato comprobar que π es una aplicación diferenciable epiyectiva que es proyección
regular en todo punto de T X.
Proposición 5.3 Existe una correspondencia biunı́voca entre el conjunto de los campos tangentes (arbitrarios) sobre X y el conjunto de las secciones del fibrado tangente π : T X → X.
Los campos tangentes diferenciables se corresponden con las secciones diferenciables.
Demostración. Sea D = {Dx } un campo tangente arbitrario sobre X y sea sD : X → T X,
x 7→ Dx , la sección de π que se corresponde con D. Si (U ; u1 , . . . , un ) es un∑
abierto coordenado
de X, entonces existen funciones gi : U → R, i = 1, . . . , n, tales que D = ni=1 gi ∂ui sobre U ,
es decir,
sD : U −→ T U
(
)
x = (λ1 , . . . , λn ) 7−→ Dx = λ1 , . . . , λn , g1 (λ1 , . . . , λn ), . . . , gn (λ1 , . . . , λn ) ;
es claro entonces que: D es diferenciable
diferenciable.
6.
⇐⇒
g1 , . . . , gn son diferenciables
⇐⇒
sD es
Uno-formas
Definición 6.1 Un campo de 1-formas (ó más brevemente, una 1-forma) sobre una variedad
diferenciable X es una familia ω = {ωx ∈ Tx∗ X : x ∈ X}.
Una 1-forma ω = {ωx }x∈X se dice que es diferenciable si para todo abierto U ⊆ X y todo
campo tangente diferenciable D sobre U se cumple que la función
ω(D) : U −→ R
x 7−→ ω(D)(x) := ωx (Dx )
es diferenciable.
6. Uno-formas
181
6.2 Las propiedades enunciadas en 1.2 para los campos tangentes son también válidas para
las 1-formas, es decir, una 1-forma sobre una variedad es diferenciable si y sólo si es localmente
diferenciable
Veamos cómo son las 1-formas diferenciables sobre un abierto coordenado (U ; u1 , . . . , un )
de una variedad diferenciable X. Sea ω = {ωx } una 1-forma sobre U . Para cada i ∈ {1, . . . , n}
denotemos por fi : U → R la función que asigna a cada x ∈ U la coordenada i-ésima de ωx en
la base {dx u1 , . . . , dx un } de Tx∗ X; recordemos que es fi (x) = ωx ((∂ui )x ).
Proposición 6.3 Con la notación del punto 6.2 anterior tenemos: la 1-forma ω es diferenciable si y sólo si las funciones f1 , . . . , fn son diferenciables.
Demostración. Nótese que haciendo abstracción del punto x es fi = ω(∂ui ).
Si la 1-forma ω es diferenciable, entonces para todo i ∈ {1, . . . , n} tenemos que fi = ω(∂ui )
es diferenciable.
Recı́procamente, supongamos que las ∑
funciones f1 , . . . , fn son diferenciables. Un campo
tangente
D sobre U es de la forma D = ni=1 gi ∂ui con g1 , . . . , gn ∈ C ∞ (U ), luego ω(D) =
∑n
i=1 gi fi (compruébese), es decir, ω(D) es una función diferenciable.
Nota 6.4 En adelante, toda 1-forma se supondrá diferenciable.
6.5 El conjunto de las 1-formas sobre una variedad diferenciable X lo denotaremos Ω(X). Es
claro que Ω(X) es un C ∞ (X)-módulo de manera natural: dadas 1-formas ω = {ωx } y ω ′ = {ωx′ }
y dada una función h ∈ C ∞ (X), tenemos
{ωx } + {ωx′ } := {ωx + ωx′ } ,
h · {ωx } := {h(x) · ωx } .
Lema 6.6 Sea ω : D(X) → C ∞ (X) una aplicación C ∞ (X)-lineal. Dado x ∈ X, si D̄ es un
campo tangente sobre X tal que D̄x = 0, entonces ω(D̄)(x) = 0.
Demostración. Sea (U ; u1 , . . . , un ) un abierto coordenado de X tal que x ∈ U , y consideremos
∞
una función
∑n h ∈ C (X) con soporte dentro de U y tal que h(x) = 1. Sobre el abierto U tenemos
D̄ = i=1 fi ∂ui con f1 , . . . , fn funciones diferenciables sobre U que se anulan en el punto x.
Las funciones hf1 , . . . , hfn , prolongadas por cero fuera de U , definen funciones diferenciables
globales; del mismo modo, los campos h∂u1 , . . . , h∂un , prolongados por cero fuera de U , definen
campos tangentes sobre X; se cumple
h2 D̄ =
n
∑
(hfi )(h∂ui ) .
i=1
Aplicando ω en la anterior igualdad resulta
h2 ω(D̄) =
n
∑
(hfi ) ω(h∂ui ) ,
i=1
y valorando en x obtenemos
1 · ω(D̄)(x) =
n
∑
i=1
que es lo que querı́amos probar.
(hfi )(x) ω(h∂ui )(x) =
n
∑
i=1
0 · ω(h∂ui )(x) = 0 ,
182
Capı́tulo X. Campos tensoriales
Proposición 6.7 Sobre una variedad diferenciable X, el módulo de las 1-formas es canónicamente isomorfo al módulo dual de los campos tangentes:
(
)
Ω(X) = HomC ∞ (X) D(X), C ∞ (X) .
Demostración. Cada 1-forma ω = {ωx } sobre X define la aplicación (que denotamos con la
misma letra ω)
ω : D(X) −→ C ∞ (X)
D 7−→ ω(D) ;
esta aplicación es C ∞ (X)-lineal porque ω(D)(x) := ωx (Dx ) para cada x ∈ X y ωx es R-lineal.
Recı́procamente, dada una aplicación ω : D(X) → C ∞ (X) que sea C ∞ (X)-lineal, se define
la 1-forma {ωx }x∈X como sigue: fijado x ∈ X, ωx es la forma lineal
ωx : Tx X −→ R
Dx 7−→ ωx (Dx ) := ω(D′ )(x) , donde D′ ∈ D(X) cuyo valor en x es Dx .
Debemos probar que un tal campo D′ existe y que la definición dada de ωx no depende del
campo D′ elegido. Para lo primero, tomemos un abierto coordenado (U ; u1 , . . . , un ) de X tal
que x ∈ U , y consideremos una función h ∈ C ∞ (X) con
∑n soporte dentro de U y tal que h(x) = 1.
Existen escalares λ1 , .∑
. . , λn ∈ R tales que Dx =
i=1 λi (∂ui )x ; si consideramos sobre U el
campo tangente D′ = ni=1 λi ∂ui , entonces el campo buscado es hD′ extendido por cero fuera
de U . Para lo segundo, sean D′ , D′′ ∈ D(X) tales que Dx′ = Dx = Dx′′ . Entonces D′ − D′′ es
un campo tangente sobre X tal que (D′ − D′′ )x = 0, y aplicando el lema 6.6 obtenemos que
ω(D′ − D′′ )(x) = 0, esto es, ω(D′ )(x) = ω(D′′ )(x).
Queda como ejercicio para el lector comprobar que las dos aplicaciones definidas son inversa
una de la otra.
Definición 6.8 Sea X una variedad diferenciable. Se llama diferencial de una función f ∈
C ∞ (X) a la 1-forma df := {dx f }x∈X . Entendida como elemento del dual de los campos tangentes tenemos
df : D(X) −→ C ∞ (X)
D 7−→ Df .
De las propiedades de la diferencial en un punto se deduce que la aplicación
d : C ∞ (X) −→ Ω(X)
f 7−→ df
es una derivación, es decir, se cumplen las propiedades:
(i) dλ = 0 para todo λ ∈ R ;
(ii) d(f + g) = df + dg para cualesquiera f, g ∈ C ∞ (X) ;
(iii) (regla de Leibnitz) d(f · g) = df · g + f · dg para cualesquiera f, g ∈ C ∞ (X) .
7. Tensores sobre una variedad
183
6.9 Sea (U ; u1 , . . . , un ) un abierto coordenado de una variedad diferenciable X. Toda 1-forma
ω sobre U se expresa de la forma
{
}
n
∑
ω = ωx =
fi (x)dx ui
i=1
x∈U
∞
para ciertas funciones diferenciables f1 , . . . , fn ∈ C (U ), es decir,
ω=
n
∑
fi dui .
i=1
además, las funciones {fi = ω(∂ui )} están unı́vocamente determinadas por la 1-forma ω (véase
la proposición 6.3 y su demostración).
De lo dicho en el anterior punto se sigue el siguiente resultado:
Proposición 6.10 Sea (U ; u1 , . . . , un ) un abierto coordenado de una variedad diferenciable.
El C ∞ (U )-módulo Ω(U ) de las 1-formas sobre U es libre de rango n, y una base suya es
{du1 , . . . , dun }, la cual es la base dual de la base {∂u1 , . . . , ∂un } de D(U ).
6.11 En el punto 6.9 se ha dado la expresión en coordenadas de una 1-forma ω sobre el abierto
coordenado (U ; u1 , . . . , un ) :
n
∑
ω=
ω(∂ui ) dui .
i=1
En particular, para la 1-forma df definida por una función f ∈ C ∞ (U ) tenemos
df =
n
∑
∂f
dui .
∂ui
i=1
7.
Tensores sobre una variedad
Recordemos la noción de tensor sobre un espacio vectorial y las operaciones básicas con
tensores. En lo que sigue E será un R-espacio vectorial de dimensión finita n y E ∗ denotará su
espacio vectorial dual.
7.1 Sean p y q enteros no negativos (y no simultáneamente nulos). Un tensor de tipo (p, q)
sobre E es una aplicación multilineal E p × (E ∗ )q → R. El producto tensorial de dos tensores
T y T ′ sobre E, de tipos respectivos (p, q) y (p′ , q ′ ), es el tensor T ⊗ T ′ de tipo (p + p′ , q + q ′ )
definido como
(T ⊗ T ′ )(e1 , . . . , ep+p′ , ω1 , . . . , ωq+q′ ) :=
T (e1 , . . . , ep , ω1 , . . . , ωq ) · T ′ (ep+1 , . . . , ep+p′ , ωq+1 , . . . , ωq+q′ ) .
El conjunto T (p,q) (E) de los tensores de tipo (p, q) sobre E es de modo natural un espacio
vectorial real.
Por definición, los tensores de tipo (0, 0) sobre E son los escalares: T (0,0) (E) = R.
184
Capı́tulo X. Campos tensoriales
Ejemplos 7.2 (a) Los tensores de tipo (1, 0) sobre E son las formas lineales: T (1,0) (E) = E ∗ .
(b) Cada vector e ∈ E define el siguiente tensor de tipo (0, 1):
e : E ∗ −→ R
ω 7−→ e(ω) := ω(e) .
Por ser E de dimensión finita, el conocido teorema de reflexividad del Álgebra Lineal afirma
que no hay más tensores de tipo (0, 1) sobre E que los definidos por sus vectores: T (0,1) (E) = E.
(c) Dadas p formas lineales ω1 , . . . , ωp ∈ E ∗ y dados q vectores e1 , . . . , eq ∈ E, tenemos el
tensor ω1 ⊗ · · · ⊗ ωp ⊗ e1 ⊗ · · · ⊗ eq ∈ T (p,q) (E). Por definición de producto tensorial es
ω1 ⊗ · · · ⊗ ωp ⊗ e1 ⊗ · · · ⊗ eq : E p × (E ∗ )q −→ R
(v1 , . . . , vp , ξ1 , . . . , ξq ) 7−→ ω1 (v1 ) · · · ωp (vp )ξ1 (e1 ) · · · ξq (eq ) .
7.3 Si {e1 , . . . , en } es una base de E y {ω1 , . . . , ωn } es su base dual, entonces la familia de
tensores
{
}
ωi1 ⊗ · · · ⊗ ωip ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejq i1 ,...,ip ,j1 ,...,jq ∈{1,...,n}
es una base del espacio de tensores T (p,q) (E). Las coordenadas de un tensor T ∈ T (p,q) (E) en
dicha base es la familia de escalares
{
}
T (ei1 , . . . , eip , ωj1 , . . . , ωjq ) i1 ,...,ip ,j1 ,...,jq ∈{1,...,n} ;
es decir, se cumple la igualdad
T =
n
∑
j ,...,j
λi11,...,ipq ωi1 ⊗ · · · ⊗ ωip ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejq ,
i1 ,...,ip ,j1 ,...,jq =1
j ,...,j
donde λi11,...,ipq = T (ei1 , . . . , eip , ωj1 , . . . , ωjq ).
Ejemplo 7.4 Los tensores de T 2 (E) := T (2,0) (E) se llaman métricas sobre E. Si {e1 , . . . , en } es
una base de E y {ω1 , . . . , ωn } es su base dual, entonces la familia de métricas {ωi ⊗ωj }i,j∈{1,...,n}
es una base de T 2 (E). Dada una métrica T2 sobre E tenemos
T2 =
n
∑
λij ωi ⊗ ωj
i,j=1
donde λij = T2 (ei , ej ). Se dice que (λij ) es la matriz de la métrica T2 en la base {e1 , . . . , en }.
7.5 Dados enteros positivos p y q, sea T un tensor de tipo (p, q) sobre E. Fijados un par de
ı́ndices i ∈ {1, . . . , p}, j ∈ {1, . . . , q} se define la contracción de T por lo ı́ndices (i, j) como el
tensor Cji T de tipo (p − 1, q − 1) definido como
Cji T : E p−1 × (E ∗ )q−1 −→ R
(v1 , . . . , vp−1 , ξ1 , . . . , ξq−1 ) 7−→
n
∑
k=1
i
↓
j
↓
T (v1 , . . . , ek , . . . , vp−1 , ξ1 , . . . , ωk , . . . , ξq−1 ) ,
7. Tensores sobre una variedad
185
donde {e1 , . . . , en } es una base de E y {ω1 , . . . , ωn } es su base dual (se prueba que la definición
de Cji T no depende de la base {e1 , . . . , en } elegida en E).
Es fácil comprobar que la aplicación Cji : T (p,q) (E) → T (p−1,q−1) (E) es lineal. Además, dadas
formas lineales ξ1 , . . . , ξp y vectores v1 , . . . , vq se cumple
i
j
Cji (ξ1 ⊗ · · · ⊗ ξp ⊗ v1 ⊗ · · · ⊗ vq ) = ξi (vj ) · ξ1 ⊗ . . . ⊗ ξp ⊗ v1 ⊗ . . . ⊗ vq ,
donde los superı́ndices i, j significan que los términos ξi , vj no aparecen.
Fijemos para lo que resta de sección una variedad diferenciable X de dimensión n.
Definición 7.6 Un campo tensorial (o más brevemente un tensor) de tipo (p, q) sobre X es
una familia T = {Tx }x∈X , donde para cada x ∈ X, Tx es un tensor de tipo (p, q) sobre el
espacio vectorial tangente Tx X.
Un campo tensorial T = {Tx } de tipo (p, q) se dice diferenciable si para todo abierto U de
X y para todo (D1 , . . . , Dp , ω 1 , . . . , ω q ) ∈ D(U )p × Ω(U )q la función
T (D1 , . . . , Dp , ω 1 , . . . , ω q ) : U −→ R
x 7−→ Tx (Dx1 , . . . , Dxp , ωx1 , . . . , ωxq )
es diferenciable.
7.7 Sea T = {Tx } un tensor de tipo (p, q) sobre X. Igual que ocurre para los campos tangentes
y para las 1-formas, la diferenciabilidad de T es una cuestión local, esto es, T es diferenciable
si y sólo si cada punto de X tiene un entorno abierto U tal que la restricción de T a U es un
tensor diferenciable sobre U .
Por otra parte, si (U ; u1 , . . . , un ) es un abierto coordenado de X, entonces sobre los puntos
de U la familia de tensores se expresará de la forma
∑
(
)
(
)
Tx =
fα (x) · dx ui1 ⊗ · · · ⊗ dx uip ⊗ ∂uj1 x ⊗ · · · ⊗ ∂ujq x
α
para ciertas funciones {fα }α sobre U (aquı́ es α = (i1 , . . . , ip , j1 , . . . , jq ) donde las componentes
de α toman todos los valores entre 1 y n). Del mismo modo que para las 1-formas, se prueba
que la diferenciabilidad del tensor T sobre U es equivalente a que las funciones {fα }α sean
diferenciables.
Nota 7.8 En adelante, todo campo de tensores será diferenciable.
7.9 Los tensores de tipo (p, 0) sobre X se llaman covariantes, y los de tipo (0, q) se denominan
contravariantes. Los tensores de tipo (1, 0) sin justamente las 1-formas, mientras que los de
tipo (0, 1) son los campos tangentes. Por definición, los tensores de tipo (0, 0) son las funciones
diferenciables sobre X.
El conjunto de los tensores de tipo (p, q) sobre X es un C ∞ (X)-módulo con las definiciones
naturales:
{Tx } + {Tx′ } := {Tx + Tx′ } ,
h · {Tx } := {h(x) · Tx } .
Las definiciones del producto tensorial y de la contracción de campos tensoriales son también
las evidentes
(
)
{
}
{Tx } ⊗ {Tx′ } := {Tx ⊗ Tx′ } ,
Cji {Tx } := Cji (Tx ) .
186
Capı́tulo X. Campos tensoriales
7.10 Denotemos por T (p,q) (X) el C ∞ (X)-módulo de las aplicaciones D(X)p ×Ω(X)q → C ∞ (X)
que son C ∞ (X)-multilineales. Un campo tensorial T = {Tx } sobre X de tipo (p, q) define una
de tales aplicaciones (que denotaremos con la misma letra):
T : D(X)p × Ω(X)q −→ C ∞ (X)
7−→ T (D1 , . . . , Dp , ω 1 , . . . , ω q ) ,
(D1 , . . . , Dp , ω 1 , . . . , ω q )
donde para cada x ∈ X es T (D1 , . . . , Dp , ω 1 , . . . , ω q )(x) := Tx (Dx1 , . . . , Dxp , ωx1 , . . . , ωxq ) (véase
la definición 7.6). Igual que en el caso de los campos tangentes y de las 1-formas, se demuestra
que existe un isomorfismo canónico
{
tensores de tipo (p, q) sobre X
}
= T (p,q) (X) .
7.11 Si (U ; u1 , . . . , un ) es un abierto coordenado de X, entonces el C ∞ (U )-módulo T (p,q) (U ) es
libre de base
}
{
dui1 ⊗ · · · ⊗ duip ⊗ ∂uj1 ⊗ · · · ⊗ ∂ujq i1 ,...,ip ,j1 ,...,jq ∈{1,...,n} .
Ejemplo 7.12 Una métrica riemanniana sobre X es un tensor T = {Tx } de tipo (2, 0) que
en cada punto es un “ producto escalar ” (una métrica simétrica definida positiva).
n
La métrica riemanniana estándar ∑
(o usual) sobre R∑
es la métrica g definida del siguiente
n
′
modo: dados campos tangentes D = i=1 fi ∂xi , D = ni=1 gi ∂xi sobre Rn ,
g(D, D′ ) =
n
∑
fi gi .
i=1
7.13 Del mismo modo
⊔ a como se construyó el fibrado tangente sobre X se construye el fibrado
cotangente : T ∗ X := x∈X Tx∗ X dotado de la proyección natural π ∗ : T ∗ X → X. Se satisface
que π ∗ es una aplicación diferenciable que es epiyectiva y proyección regular en todo punto,
y que las secciones (diferenciables) de π ∗ se corresponden con las 1-formas (diferenciables)
sobre X.
En general, se prueba que todo campo tensorial (diferenciable) sobre X es una sección
(diferenciable) de un “ fibrado vectorial ” sobre X.
8.
Problemas
8.1 Considérense en R3 los campos tangentes D1 = (2 + y 2 )ez ∂x , D2 = 2xy∂x + (2 + y 2 )∂y ,
D3 = −2xy∂x − y(2 + y 2 )∂y + (2 + y 2 )∂z .
(a) Pruébese que {D1 , D2 , D3 } es una base de D(R3 ).
(b) Calcúlese la base dual de {D1 , D2 , D3 }.
8.2 Dado sobre R2 el campo tangente D = x∂x , si R2 ⊆ P2 como abierto afı́n, ¿existe algún
campo D̄ sobre P2 tal que D̄| 2 = D?
R
8. Problemas
187
8.3 Sea D el generador infinitesimal de un grupo uniparamétrico {τt } sobre una variedad
diferenciable X. Pruébese que para la aplicación diferenciable τ : R × X → X, τ (t, p) = τt (p),
se cumple
(
)
τ∗ (∂t )(t0 ,p0 ) = Dτt0 (p0 )
para todo (t0 , p0 ) ∈ R × X.
8.4
Hállense coordenadas {u1 , u2 } en un entorno de (0, 0) ∈ R2 tal que ∂u1 = ∂x + y∂y .
Considérese en R2 el campo tangente D = 3∂x + 2∂y .
(a) Calcúlense las curvas integrales de D.
(b) Obténgase el grupo uniparamétrico local definido por D.
(c) Hállese un sistema de coordenadas {u1 , u2 } en un entorno del origen, de modo que sea
D = ∂u1 en dicho entorno.
8.5
8.6 Dado sobre R2 el campo D = y∂x − x∂y , hállense coordenadas {u1 , u2 } en un entorno de
un punto p ̸= (0, 0), de modo que ∂u1 = D.
8.7
Calcúlese el generador infinitesimal del grupo uniparamétrico
( τ : R × P)2 −→ P2
t, (x, y, z) 7−→ (x + tz, y + tz, z) .
8.8
Resuélvase la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales:
x
∂f
∂f
∂f
+y
+z
= 0.
∂x
∂y
∂z
8.9 Sea D un campo tangente sobre una variedad diferenciable. Pruébese que si las trayectorias de D están contenidas en compactos, entonces el campo D es completo. 1
8.10 Dados sobre R los campos D1 = x2 cos2 x∂x , D2 = x2 sen2 x∂x , pruébese que D1 y D2
son completos pero que D1 + D2 no es completo.
8.11 Pruébese que la esfera S2 “ no puede peinarse de modo que no queden remolinos ”, es
decir, que todo campo tangente sobre S2 tiene algún punto singular. [Indicación: Utilı́cese que
toda aplicación continua de la esfera en sı́ mismo tiene algún punto fijo.]
8.12 Sean {τt } y {τ̄t } grupos uniparamétricos sobre una variedad diferenciable X de generadores infinitesimal D y D̄, respectivamente.
(a) Dado λ ∈ R, pruébese que {τ̃t := τλt } también es un grupo uniparamétrico de generador
infinitesimal λD.
Supóngase en lo que sigue que ambos grupos conmutan (τt ◦τ̄s = τ̄s ◦τt para todos t, s ∈ R).
1
No es cierto que las trayectorias de un campo completo están contenidas en compactos, como se comprueba
con ejemplos triviales.
188
Capı́tulo X. Campos tensoriales
(b) Fijado un punto p ∈ X, estúdiese la aplicación lineal tangente de la aplicación diferenciable
φ : R × R −→ X
(t, s) 7−→ τt (τ̄s (p)) .
(c) Pruébese que {τt ◦τ̄t } es un grupo uniparamétrico de generador infinitesimal D + D̄.
8.13 Sean (r, θ) las coordenadas polares en X = R2 − {(0, 0)}. Obténganse las ecuaciones de
cambio entre las bases de campos {∂x , ∂y } y {∂r , ∂θ }. Obténganse también las relaciones entre
sus bases duales.
Exprésese en coordenadas polares el tensor T2 = dx ⊗ dx + dy ⊗ dy ∈ T (2,0) X (este tensor
es la restricción a X de la métrica estándar de R2 ).
8.14 Dado sobre R2 − {(0, 0)} el campo D = r∂r + cos θ∂θ , calcúlese el módulo de D respecto
de la métrica estándar.
8.15 Sean (r, θ, z) las coordenadas cilı́ndricas en R3 − {eje z}. Obténganse las ecuaciones de
cambio entre las bases de campos {∂x , ∂y , ∂z } y {∂r , ∂θ , ∂z }. Obténganse también las relaciones
entre sus bases duales.
Exprésese en coordenadas cilı́ndricas la métrica estándar T2 = dx ⊗ dx + dy ⊗ dy + dz ⊗ dz
sobre R3 − {eje z}.
8.16 Sean (r, θ, φ) las coordenadas esféricas en R3 − {eje z}. Obténganse las ecuaciones de
cambio entre las bases de campos {∂x , ∂y , ∂z } y {∂r , ∂θ , ∂φ }. Obténganse también las relaciones
entre sus bases duales.
Exprésese en coordenadas esféricas la métrica estandar T2 = dx ⊗ dx + dy ⊗ dy + dz ⊗ dz
sobre R3 − {eje z}.
8.17 Sea X una superficie de R3 (subvariedad diferenciable de R3 de dimensión 2).
(a) Pruébese que X admite localmente parametrizaciones regulares que son difeomorfismo
(y por tanto son parametrizaciones de clase C ∞ ).
(b) Consideremos un abierto de X, que seguimos denotando X, para el que existe una parametrización φ : U → X, (u, v) 7→ φ(u, v), que es difeomorfismo (U abierto de R2 ); en particular
φ−1 =(u,v)
los parámetros (u, v) son coordenadas sobre X en virtud del difeomorfismo X −−−−−−−→ U .
Calcúlese la base de campos tangentes {∂u , ∂v } sobre X y sus curvas integrales.