Primer parcial

Apellido y Nombre:
Comisión:
1
2
3
4
Total
Nota
Análisis Matemático III. Parcial 1 (08/4/2016)
• En todos los ejercicios Justifique CLARAMENTE sus respuestas.
• No esta permitido el uso de calculadoras o celulares.
• Enumere todas las hojas.
1. (25 pts) Sea
{
f (x, y) =
x2 y
,
x2 +y 2
si (x, y) ̸= (0, 0);
0,
si (x, y) = (0, 0).
(a) Probar que la función f es continua sobre todo R2 .
(b) ¿Es f diferenciable en (0, 0)?
2. (25 pts) Sea f : Rn → R y a ∈ Rn .
(a) Dar la definición de derivada parcial de f en a.
(b) Enunciar un teorema que relacione la diferenciabilidad f en el punto a y la existencia de
derivadas parciales en ese punto a.
|g(b) − g(a)| ≤ |b − a|, para todo a, b ∈ R. Sea f : R2 → R
(c) Sea g : R → R una función
( 2 tal que
)
definida por f (x, y) = g x + y 2 . Mostrar que existen las derivadas parciales de la función f
en el punto (x, y) = (0, 0) y son iguales a cero.
3. (30 pts) Decidir si es Verdadero o Falso y justificar claramente su respuesta.
(a) Si f : R2 → R es tal que existen las derivadas parciales en (a1 , a2 ) entonces f es continua en
(a1 , a2 ).
(b) Si f : R2 → R es diferenciable en (1,2) y la
donde u = (1, 1).
(c) La función
g(x, y) =
∂f
∂x (1, 2)
=2y
∂f
∂y (1, 2)

sen(xy)
√
,
2
2
si (x, y) ̸= (0, 0);
0,
si (x, y) = (0, 0),
x +y
= −1 entonces
∂f
∂u (1, 2)
=1
es continua en (0, 0).
4. (20 pts) Sea S la superficie en R3 definida paramétricamente por g(u, v) = (u cos(v), u sen(v), u),
u ≥ 0 y 0 ≤ v < 2π.
(a) Graficar S (i.e.: graficar la imagen de g). ¿Puede describir a S de manera implı́cita?
(b) Determinar la recta tangente a la curva γ(t) = g(t, π2 ) en el punto p = (0, 1, 1). ¿Puede dar otra
curva contenida en S que pase por el punto p?
(c) Determinar el plano tangente a la superficie S en el punto p = (0, 1, 1).
1