COLEGIO BASE ASIGNATURA: Matemáticas II

COLEGIO BASE
CURSO: 2º BACH
ASIGNATURA: Matemáticas II
PRIMERA EVALUACIÓN
FECHA: 10/11/15
NOMBRE:
 1 1 0

1 0 1
1. (2 puntos) Estudiar el rango de la matriz: A  
0 1 1

 1 2 1
según los valores del parámetro a.
1 1 0
1 0 1  1  1  2  0  rg ( A)  3
0
1
1
1 0
1
0
0
1
1 2 0

1 2 0
1
1
1
1
1
2
1 a
1
1 a  2
2

2
2

a
a  
1
2
1 1 0
0
2
0
2
1 1
1
1
0
2
1 1 a  2
1 1
0
 0
2
2
0
0
a2
 2(a  2)
2(a  2)  0  a  2
Si a  2  A  0  rg ( A)  4
Si a  2  A  0  rg ( A)  3
1 2 
2. (2 puntos) Dada la matriz A = 
 , halla su inversa y úsala para encontrar la matriz X que
1 1 
cumple: AXA  I2
1 2
1 1
A1 
 1  2  1  0  A1
 1 2 
1
(Adj( A))t  

A
 1 1
 1 2   1 2   3 4 
AXA  I2  A1  AXA  A1  A1  I2  A1  X  ( A1 )2  



 1 1  1 1  2 3 
3. (2 puntos) Sea m un número real. Discútase, en función de m, el sistema de ecuaciones
1
1
1


m
m
lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es: A   1
2 m 1 2 


Por ser un sistema homogéneo los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada
son iguales, luego el sistema es compatible para cualquier valor de m.
A  2m  2m  m  1  2m  2  m(m 1)  1  2m  m2
1  2m  m2  0  m  1
Si m  1  A  0  rg ( A)  3  nº de incógnitas  sistema compatible determinado
Si m  1: A  0
 1 1 1


rg  1 1 1   1  rg ( A)  nº de incógnitas  sistema compatible indeterminado
 2 2 2


4. (2 puntos) Eva, Marta y Susana son tres jóvenes amigas que se comprometen a leer el
Quijote este verano. Cada una por separado y en función del tiempo de que dispone, decide
leer un mismo número de páginas cada día hasta terminar la obra. Eva leerá diariamente 5
páginas más que Marta y esta 6 páginas más que Susana. Por ello Eva terminará la obra dos
semanas antes que Marta y esta 30 días antes que Susana. Se pregunta cuál es el total de
páginas que tiene la versión de la inmortal obra cervantina que leen estas amigas.
Sea x el número de páginas del libro, y el número de páginas que lee Eva y z el número de
días que Eva tarda en leer el libro. Entonces:
x  yz
x  yz




x  ( y  5)(z  14)  x  yz  14y  5z  70 
x  ( y  11)(z  44) x  yz  44y  11z  484 
14y  5z  70 14y  5z  70 14y  5z  70 



44y  11z  484  4y  z  44  20y  5z  220 6y  150
y  25
z  56
x  25  56  1400 páginas

y w  1, a , 1  , se pide:

 
a) (1 punto) Determinar los valores de a para que los vectores u , v y w sean linealmente
dependientes.

 
b) (1 punto) Estudiar si el vector c  ( 3 , 3 , 0 ) depende linealmente de los vectores u , v y

w para el caso a = 2. Justificar la respuesta.

5. Dados los vectores u 
a , 1 
a, 2a
,

v 
 a , 1, a 
a)
a 1  a 2a
a
1
1
a
a  a  2a3  a(1  a)  2a  a3  a(1  a)  a3  a
1
a 0
Los vectores son linealmente dependientes si: a3  a  0  a(a2  1)  0  
a  1
b)


 
Si a = 2 entonces los vectores u , v y w son linealmente independientes, por tanto c
depende linealmente de ellos.