Encontrar una base o..

En cada uno de los casos a continuación, encuentra una base ortonormal
para el subespacio de R4 generado por los vectores dados:
(a) x1 = (1; 1; 0; 0)
x2 = (0; 1; 1; 0)
x3 = (0; 0; 1; 1)
x4 =
(1; 0; 0; 1)
(b)
x1 = (1; 1; 0; 1)
x2 = (1; 0; 2; 1)
x3 = (1; 2; 2; 1)
Solución:
(a)
x1 = (1; 1; 0; 0)
x2 = (0; 1; 1; 0)
x3 = (0; 0; 1; 1)
x4 = (1; 0; 0; 1)
¿Cuál es el caracter de dependencia del conjunto de vectores? Calculemos
el determinante de la matriz formada con los vectores como columnas (el determinante0del sistema de1ecuaciones); tenemos
1 0 0 1
B 1 1 0 0 C
C
det B
@ 0 1 1 0 A=0
0 0 1 1
es decir, los vectores son linealmente dependientes.
Tomemos ahora los tres primeros y veamos si son linealmente independientes.
Hacemos
ax1 + bx2 + cx3 = 0
es decir
1
0
1
0
0
1
a
1 0 0
a
C
B
B 1 1 0 C
C@ b A = B a + b C = 0
B
@ b+c A
@ 0 1 1 A
c
c
0 0 1
La primera ecuación nos da a = 0, la cuarta c = 0 y cualquiera de las otros
dos b = 0.
Los tres primeros vectores son linealmente independientes y generan un subespacio de tres dimensiones
Para encontrar una base ortogonal utilizamos el procedimiento de GramSchmidt, que es
Pr (xr+1 ; yi )
y1 = x1
yr+1 = xr+1
yi
r = 1; 2; 3; :::; k 1
i=1
(yi ; yi )
Apliquemos estas formulas
y1 = x1 = (1; 1; 0; 0)
(x2 ; y1 )
y2 = x2
y1
(y1 ; y1 )
(0; 1; 1; 0) (1; 1; 0; 0)
1 1
y2 = (0; 1; 1; 0)
(1; 1; 0; 0) =
1 0
(1; 1; 0; 0) (1; 1; 0; 0)
2 2
(x3 ; y1 )
(x3 ; y2 )
y3 = x3
y1
y2
(y1 ; y1 )
(y2 ; y2 )
1 1
(0; 0; 1; 1)
1 0
(0; 0; 1; 1) (1; 1; 0; 0)
2 2
y3 = (0; 0; 1; 1)
(1; 1; 0; 0)
(1; 1; 0; 0) (1; 1; 0; 0)
1 1
1 1
1 0
1
2 2
2 2
1
0
1
2
1
2
1
=
1
3
1
3
1
1
3
(x4 ; y1 )
(x4 ; y2 )
(x4 ; y3 )
y4 = x4
y1
y2
y3
(y1 ; y1 )
(y2 ; y2 )
(y3 ; y3 )
En caso de seguir aplicando la formula al cuarto vector tenemos
(1; 0; 0; 1) (1; 1; 0; 0)
(1; 1; 0; 0)
y3 = (1; 0; 0; 1)
(1; 1; 0; 0) (1; 1; 0; 0)
(1; 0; 0; 1)
1
3
1
3
1
3
1
3
1
2
(1; 0; 0; 1)
1
2
1
2
1
0
1
2
1
1
2
0
1
2
1
1
1
1 1
= 0 0
1
1
1 1
1 1
3
3 3
1
1
3
3 3
3 3
como era de esperarse.
Normalizando
p
p
2
jy1 j = j(1; 1; 0; 0)j = 2 =) y^1 =
(1; 1; 0; 0)
2
p
6
1p p
1 1
( 1; 1; 2; 0)
jy2 j =
=
2 3 =) y^2 =
1 0
2
2 2
p 6
2p
3
1
1 1
jy3 j =
=
3 =) y^2 =
(1; 1; 1; 3)
1
3
6
3
3 3
Resumiendo la base ortonormal para el subespacio generado está formada
por los vectores
p
2
y^1 =
(1; 1; 0; 0)
2
y
p
3
y^2 =
(1; 1; 1; 3)
6
(b)
x1 = (1; 1; 0; 1)
x2 = (1; 0; 2; 1)
x3 = (1; 2; 2; 1)
Es claro que 2x1 x2 = x3 y los tres vectores son linealmente dependientes.
Veamos como son los dos primeros; tomamos
a (1; 1; 0; 1) + b (1; 0; 2; 1) = a + b a 2b a + b = 0
de donde claramente
a=0 y b=0
es decir, estos dos vectores son linealmente independientes.
El subespacio generado es de dos dimensiones.
Para encontrar una base ortogonal utilizamos el procedimiento de GramSchmidt, que es
Pr (xr+1 ; yi )
y1 = x1
yr+1 = xr+1
yi
r = 1; 2; 3; :::; k 1
i=1
(yi ; yi )
Apliquemos estas formulas
y1 = x1 = (1; 1; 0; 1)
(x2 ; y1 )
y2 = x2
y1
(y1 ; y1 )
2
0
0
0
1
2
1
2
1
(1; 0; 2; 1) (1; 1; 0; 1)
1
2
1
(1; 1; 0; 1) =
2
(1; 1; 0; 1) (1; 1; 0; 1)
3
3
3
Si se lo aplicamos al vector linealmente dependiente encontramos
(x3 ; y1 )
(x3 ; y2 )
y3 = x3
y1
y2
(y1 ; y1 )
(y2 ; y2 )
y2 = (1; 0; 2; 1)
(1; 2; 2; 1) (1; 1; 0; 1)
(1; 1; 0; 1)
y3 = (1; 2; 2; 1)
(1; 1; 0; 1) (1; 1; 0; 1)
0
0 0 0
como era de esperarse.
Normalizando
p
p
3
jy1 j = j(1; 1; 0; 1)j = 3 =) y^1 =
(1; 1; 0; 1)
3
p
p
1
1
2
1
1
=
jy2 j =
3 14 =) y^2 = p
2
3
3
3
3
42
1
3
(1; 2; 2; 1)
1
3
2
3
1
1
3
2
2
6
1
Resumiendo la base ortonormal para el subespacio generado está formada
por los vectores
p
3
(1; 1; 0; 1)
y^1 =
3
y
1
1
2 6 1
y^2 = p
42
3
2
3
1
3
2
2
3
1
3
2
1
3
1
3
2
3