ACTIVIDADES DE ÁLGEBRA LINEAL

MÉTODOS MATEMÁTICOS I 1
ACTIVIDADES DE ÁLGEBRA LINEAL
Actividad 7: Espacios vectoriales
Objetivo: El estudiante determinará la dependencia e independencia lineal de conjuntos
de vectores, así como el espacio generado por ellos, para determinar bases para Rn,
utilizando un software matemático.
1. Dados los siguientes conjuntos, identifica cuáles son espacios vectoriales
comprobando las diez propiedades, si no es espacio vectorial indica cuáles
propiedades no se cumple.
a) El conjunto de vectores lineales en un plano de la forma 𝑢 = (𝑥1 , 𝑦1 ),
𝑣 = (𝑥2 , 𝑦2 ), con la suma de vectores definida como 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2 , 0) y la
multiplicación por un escalar usual.
b) El conjunto de matrices de 2 × 2 sobre ℝ, y sea la suma usual y la multiplicación
𝑎
por un escalar definida como: 𝑘 [
𝑐
𝑏
𝑘𝑎
]=[
𝑑
0
𝑘𝑏
]
𝑘𝑐
c) El conjunto de vectores 5-tuplas sobre ℝ con la suma y la multiplicación por un
escalar, de la forma 𝑢 = (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 ), 𝑣 = (𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 , 𝑦4 , 𝑦5 ). Se define como:
𝑢 + 𝑣 = (3𝑥1 + 2𝑦1 , 𝑥2 − 𝑦2 , 𝑥3 , 𝑦4 , 𝑥5 − 𝑦5 )
2. Determina si los siguientes conjuntos de vectores son bases para R3 : clasifica si los
vectores del conjunto son linealmente dependientes o linealmente independientes,
y escribe si generan o no al espacio vectorial R3 . Justifica tus respuestas.
Vectores
1 3
2
[0] , [1] , [−1]
0 0
1
−2 4
6
[ 1 ] , [3] , [−1]
0
5
2
−4 0
3
0
[−2] , [ 5 ] , [0] , [−3]
0
0
0
7
Linealmente
Generan a R3
Base para R3
MÉTODOS MATEMÁTICOS I 2
ACTIVIDADES DE ÁLGEBRA LINEAL
−10
8
[ 7 ] , [−1]
0
3
3. Encuentre una base en R3 y su dimensión para los siguientes subespacios
vectoriales:
Subespacio vectorial
Base
Dimensión
El espacio nulo de la matriz
1 0 5
[2 1 1
0 −1 9
−3
4 ]
2
El conjunto de vectores en la recta
𝑥
=
3
𝑦
𝑧
=2
4
El espacio nulo de la matriz
1 3 −2 5
[0 1 −1 2 ]
2 1 1 0
4. Tomando en cuenta el conjunto de vectores en R3 en el plano 2𝑥 + 4𝑦 − 6𝑧 = 0,
realiza lo que se pide a continuación.
a) Encuentra una base para este plano.
7
b) Escribe el vector (4) ∈ R3 como una combinación lineal en términos de la base
5
que encontraste.
c) Construye una base ortonormal para este subespacio vectorial, tomando la base
encontrada.
−23
−4
1
−6
3
15
5. Sean 𝐵1 = {(−4) , ( −8 ) , ( 23 )} y 𝐵2 = {(−4) , ( 2 ) , ( 5 )} ,
20
4
3
5
−1
2
a) Encuentre la matriz de transición de 𝐵1 a 𝐵2.
−2
b) Si (𝑥)𝐵1 = (−5), exprese 𝑥 en términos de los vectores de 𝐵2.
6
Entregables: Sube tus resultados e impresiones de pantalla, en un archivo de Word, al
buzón “Actividad 7” de la plataforma.