Ejercicios de algebra lineal

Ejercicios de algebra
lineal
Espacios vectoriales-matriz de cambio
Sea 𝑉 = 𝑅2 , 𝐹 = 𝑅, con las operaciones definidas por
𝑥1 , 𝑦1 + 𝑥2 , 𝑦2 = 𝑥1 + 𝑥2 + 1, 𝑦1 + 𝑦2 + 1
𝑟 𝑥, 𝑦 = 𝑟 + 𝑟𝑥 − 1, 𝑟 + 𝑟𝑦 − 1
Analizar si V es un espacio vectorial.
Veamos si se verifican los 08 axiomas
A1. 𝑥1 , 𝑦1 + 𝑥2 , 𝑦2 = 𝑥1 + 𝑥2 + 1, 𝑦1 + 𝑦2 + 1
= 𝑥2 + 𝑥1 + 1, 𝑦2 + 𝑦1 + 1 = 𝑥2 , 𝑦2 + 𝑥1 , 𝑦1
A2.
𝑥1 , 𝑦1 + 𝑥2 , 𝑦2
+ 𝑥3 , 𝑦3 = 𝑥1 , 𝑦1 + 𝑥2 , 𝑦2 + 𝑥3 , 𝑦3
Por un lado
𝑥1 , 𝑦1 + 𝑥2 , 𝑦2 + 𝑥3 , 𝑦3 = 𝑥1 + 𝑥2 + 1, 𝑦1 + 𝑦2 + 1 + 𝑥3 , 𝑦3
= 𝑥1 + 𝑥2 + 1 + 𝑥3 + 1, 𝑦1 + 𝑦2 + 1 + 𝑦3 + 1
= 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 2, 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + 2
(1)
Por otro lado
𝑥1 , 𝑦1 + 𝑥2 , 𝑦2 + 𝑥3 , 𝑦3 = 𝑥1 , 𝑦1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 1, 𝑦2 + 𝑦3 + 1
= 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 1 + 1, 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + 1 + 1
= 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 2, 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + 2
(2)
Comparando (1) y (2) se prueba la asociatividad.
A3. Existencia del elemento neutro. Sea 𝑎, 𝑏 el elemento
neutro, se debe verificar que
𝑥, 𝑦 + 𝑎, 𝑏 = 𝑥, 𝑦
𝑥 + 𝑎 + 1, 𝑦 + 𝑏 + 1 = 𝑥, 𝑦 ⟹ 𝑎, 𝑏 = (−1, −1)
A4. Existencia del elemento opuesto. Sea 𝑚, 𝑛 el elemento
opuesto, se debe verificar que
𝑥, 𝑦 + 𝑚, 𝑛 = −1, −1
𝑥 + 𝑚 + 1, 𝑦 + 𝑛 + 1 = −1, −1 ⟹ 𝑚, 𝑛 = −𝑥 − 2, −𝑦 − 2
A5. 1. 𝑥, 𝑦 = (𝑥, 𝑦)
1. 𝑥, 𝑦 = 1 + 𝑥 − 1,1 + 𝑦 − 1 = 𝑥, 𝑦
A6. 𝑟1 . 𝑟2 . 𝑥, 𝑦
𝑟1 . 𝑟2 . 𝑥, 𝑦
= 𝑟1 . 𝑟2 . 𝑥, 𝑦
= 𝑟1 . 𝑟2 + 𝑟2 𝑥 − 1, 𝑟2 + 𝑟2 𝑦 − 1
= 𝑟1 + 𝑟1 𝑟2 + 𝑟2 𝑥 − 1 − 1, 𝑟1 + 𝑟1 𝑟2 + 𝑟2 𝑦 − 1 − 1
= 𝑟1 + 𝑟1 𝑟2 + 𝑟1 𝑟2 𝑥 − 𝑟1 − 1, 𝑟1 + 𝑟1 𝑟2 + 𝑟1 𝑟2 𝑦 − 𝑟1 − 1
= 𝑟1 𝑟2 + 𝑟1 𝑟2 𝑥 − 1, 𝑟1 𝑟2 + 𝑟1 𝑟2 𝑦 − 1
= 𝑟1 . 𝑟2 . 𝑥, 𝑦
A7. 𝑟1 + 𝑟2 . 𝑥, 𝑦 = 𝑟1 𝑥, 𝑦 + 𝑟2 𝑥, 𝑦
Por un lado
𝑟1 + 𝑟2 . 𝑥, 𝑦 = 𝑟1 + 𝑟2 + 𝑟1 + 𝑟2 𝑥 − 1, 𝑟1 + 𝑟2 + 𝑟1 + 𝑟2 𝑦 − 1
(∗)
Por otro lado
𝑟1 𝑥, 𝑦 + 𝑟2 𝑥, 𝑦 =
= 𝑟1 + 𝑟1 𝑥 − 1, 𝑟1 + 𝑟1 𝑦 − 1 + 𝑟2 + 𝑟2 𝑥 − 1, 𝑟2 + 𝑟2 𝑦 − 1
= 𝑟1 + 𝑟1 𝑥 − 1 + 𝑟2 + 𝑟2 𝑥 − 1 + 1, 𝑟1 + 𝑟1 𝑦 − 1 + 𝑟2 + 𝑟2 𝑦 − 1 + 1
= 𝑟1 + 𝑟2 + 𝑟1 𝑥 + 𝑟2 𝑥 − 1, 𝑟1 + 𝑟2 + 𝑟1 𝑦 + 𝑟2 𝑦 − 1
Comparando (*) y (**) se ve que se cumple A7.
(∗∗)
A8. 𝑟 𝑥1 , 𝑦1 + 𝑥2 , 𝑦2
= 𝑟. 𝑥1 , 𝑦1 + 𝑟. 𝑥2 , 𝑦2
Por un lado
𝑟 𝑥1 , 𝑦1 + 𝑥2 , 𝑦2
= 𝑟 𝑥1 + 𝑥2 + 1, +𝑦1 + 𝑦2 + 1
= 𝑟 + 𝑟 𝑥1 + 𝑥2 + 1 − 1, 𝑟 + 𝑟 𝑦1 + 𝑦2 + 1 − 1
= 2𝑟 + 𝑟𝑥1 + 𝑟𝑥2 − 1,2𝑟 + 𝑟𝑦1 + 𝑟𝑦2 − 1
Por otro lado
𝑟. 𝑥1 , 𝑦1 + 𝑟. 𝑥2 , 𝑦2 = 𝑟 + 𝑟𝑥1 − 1, 𝑟 + 𝑟𝑦1 − 1 + 𝑟 + 𝑟𝑥2 − 1, 𝑟 + 𝑟𝑦2 − 1
= 𝑟 + 𝑟𝑥1 − 1 + 𝑟 + 𝑟𝑥2 − 1 + 1, 𝑟 + 𝑟𝑦1 − 1 + 𝑟 + 𝑟𝑦2 − 1 + 1
= 2𝑟 + 𝑟𝑥1 + 𝑟𝑥2 − 1,2𝑟 + 𝑟𝑦1 + 𝑟𝑦2 − 1
Se cumplen los 08 axiomas.
Ejemplo 2
𝑥 𝑦
Sea 𝑉 = 𝑀2×2 , 𝐹 = 𝑅, 𝑊 = −𝑦 𝑧 ; 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅
a)Analizar si W es un subespacio de V.
b)Calcular la dimensión de W.
Veamos si W es cerrado con respecto a la operación +
𝑥 𝑦
𝑎 𝑏
Sean −𝑦 𝑧 ,
∈𝑊
−𝑏 𝑐
𝑥 𝑦
𝑥+𝑎
𝑦+𝑏
𝑎 𝑏
−𝑦 𝑧 + −𝑏 𝑐 = −(𝑦 + 𝑏) 𝑧 + 𝑐 ∈ 𝑊
Veamos si W es cerrado con respecto a la operación “.”
𝑥 𝑦
𝑥 𝑦
𝑟𝑥 𝑟𝑦
Sea 𝑟 ∈ 𝑅, −𝑦 𝑧 ∈ 𝑊 ⟹ 𝑟. −𝑦 𝑧 = −𝑟𝑦 𝑟𝑧 ∈ 𝑊
Luego W es un subespacio de 𝑀2×2
Hallemos la dimensión de W
𝑥
−𝑦
𝑥
−𝑦
𝑦
𝑥
𝑧 = 0
𝑦
1
𝑧 =𝑥 0
0
0
+
−𝑦
0
0
0
+𝑦
0
−1
𝑦
0 0
+
0
0 𝑧
1
0 0
+𝑧
0
0 1
Una base para W es
𝐵=
1 0
0 1
0
,
,
0 0
−1 0
0
Luego
dim 𝑊 = 3
0
1
Que 𝐻1 𝑦 𝐻2 son sub espacios se procede como el ejemplo
anterior
Calculemos 𝐻 = 𝐻1 ∩ 𝐻2
0 𝑦
−𝑏 𝑎
𝐻1 :
,
𝐻2 :
𝑧 𝑤
𝑎 𝑏
Las matrices de H son de la forma
−0 𝑎
0 1
=𝑎
𝑎 0
1 0
Una base para H es
0 1
𝐵=
1 0
La dim 𝐻 = 1
Ejercicios
1. ¿Cuál es la dimensión del subespacio de 𝑹𝟑 generado por los vectores
a) Los vectores 𝟐, 𝟏, −𝟏 , 𝟑, 𝟐, 𝟏 , 𝟏, 𝟎, −𝟑 ?
b) Los vectores 𝟏, −𝟏, 𝟐 , 𝟎, 𝟐, 𝟏 , −𝟏, 𝟎, 𝟏 ?
2. ¿Cuál es la dimensión del subespacio de 𝑹𝟒 generado por los vectores
a) Los vectores 𝟏, 𝟎, 𝟐, −𝟏 , 𝟑, −𝟏, −𝟐, 𝟎 , 𝟏, −𝟏, −𝟔, 𝟐 , 𝟎, 𝟏, 𝟖. −𝟑 ?
𝟏 𝟏
𝟐 𝟐
b) Los vectores − , , 𝟑, −𝟏 ,
𝟏
𝟏
, 𝟎, 𝟏, −
𝟐
𝟐
, 𝟏, 𝟏, 𝟏𝟎, −𝟒 ?
3. Sea W el conjunto de todos los polinomios 𝑷𝒏 cuya segunda derivada es
cero; probar que W es un subespacio de 𝑷𝒏 y encontrar una base para
W.
4. Sea W el conjunto de todos los polinomios 𝑷𝒏 tales que 𝒑 𝟏 = 𝒑′ 𝟏 = 𝟎;
probar que W es un subespacio de 𝑷𝒏 y encontrar una base para W.
5. Encontrar la dimensión del sub espacio de 𝑪 −𝝅, 𝝅 generado por los
vectores
𝟏, 𝐬𝐢𝐧 𝒙 , 𝐜𝐨𝐬 𝒙 , 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙, 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙
𝟑
𝟐
𝟏 𝟓
𝟐 𝟐
𝟑
𝟐
6. Sea 𝑩 = 𝟏, 𝒙. 𝒙𝟐 − , 𝒙𝟑 − 𝒙
a) Demostrar que B es una base de 𝑷𝟑
b) Hallar las coordenadas de 𝒙𝟐 y𝒙𝟑 .
7. Encontrar una base de 𝑹𝟒 con respecto a la cual el vector −𝟑, 𝟏, 𝟐 − 𝟏
𝟏
𝟏
tenga las coordenadas
.
𝟏
𝟏
8. Suponiendo que los vectores 𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , 𝜶𝟑 son linealmente independientes
en el espacio vectorial V, demostrar que 𝜶𝟏 , +𝜶𝟐 , 𝜶𝟏 , +𝜶𝟑 , 𝜶𝟐 +𝜶𝟑 son
linealmente independientes.