AUTOEVALUA-EV-2013.docx

AUTOEVALUACION SOBRE ESPACIOS VECTORIALES. 2013
Coloque V o F; según considere sea Verdadero o Falso, respectivamente.
1) (𝑅 𝑛 , +, . , 𝑅) es un espacio vectorial.--2) Todo subconjunto de un espacio vectorial , es un subespacio vectorial.---3) Si tomamos “r” vectores de un espacio y con ellos formamos el conjunto W con sus
combinaciones lineales, entonces W es un S.E.V de V.---3.1) Los “r” vectores son un conjunto generador de W.----3.2) W es el espacio generado por los “r” vectores.--3.3) Los “r” vectores, forman una base de W.---4) Un conjunto de vectores es Linealmente Dependiente, si al expresar como C.L de
ellos el vector nulo, lo podemos hacer de dos o mas formas.---5) Si 𝑆𝑖 𝑎1 𝑣1 + 𝑎2 𝑣2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑣𝑟 = 𝟎 , entonces los “r” vectores son L.I.---6) Si en R4, tomo tres vectores entonces este conjunto de vectores es L.I.--7) Si en R4, tomo tres vectores linealmente independientes, entonces estos vectores
generan R4.-----8) Un subconjunto de vectores linealmente independiente puede contener dos
vectores proporcionales. ---9)Todo subconjunto de un conjunto de vectores linealmente independiente es a su vez
linealmente independiente. ---10) Un sistema generador de un espacio vectorial no puede contener el mismo número
de vectores que una base del espacio. ----11) El rango de una base de un espacio vect. coincide con la dimensión de dicho
espacio. ---12) Si {u, v, w} son vectores de R2, entonces w deber ser necesariamente
combinación lineal de los vectores u y v. ----13) Si el vector u es combinación lineal de los vectores v y w, entonces w es
combinación lineal de u y v. ----14) Si un subespacio vectorial V de Rn no contiene a ninguno de los vectores de la


base canónica de Rn, entonces V = 0 . -----15) La dimensión del espacio vectorial real Mm×n(R) es m + n.---


16) El conjunto S  AM 2 x 2 / A  AT es un subespacio vectorial de M2×2(R) de
dimensión 3.---17) No existen sistemas generadores de R4 formados por 6 vectores.----18) Si {u1, u2, . . . , un} y {v1, v2, . . . , vm } son dos sistemas generadores distintos de
un mismo subespacio vectorial real S, entonces n = m.---19) Si B = {u1, u2, u3, u4} es una base de un cierto espacio vectorial real V, entonces
{u1, u1 + u2, u2 + u3, u3 + u4} es también base de V. ---20). Todo sistema libre de un espacio vectorial real V, es base de V.___
21) Si S = {(a + c, a − b, b + c, 0)/a, b, c " R}, entonces dim S = 3.____
21. Si {u1, u2, . . . , un} y {v1, v2, . . . , vm} son dos bases distintas de un mismo
espacio vectorial real V , entonces n = m.___
22) Los vectores de R4 siguientes: (1, 2, 1, 0); (1, 3, 3, 1); (1, 4, 6, 4); (1, 5, 10, 5); (1,
6, 15, 15)
son linealmente independientes.___
23) El conjunto


S  x, y, z  / x 2  y 2  0 es un subespacio vectorial de R3.____
24) Un conjunto de vectores {u1, u2, u3, u4} es linealmente independiente si para
a = b = c = d = 0 se tiene: a · u1 + b · u2 + c · u3 + d · u4 = 0 . _____
25) Sea S  a, b, c, d  / a  d  0; b  c  a Entonces dim S = 2.
26) Si en R5, tomo 4 vectores linealmente independientes, entonces estos generan un
Hiperplano de R5.----27) Una recta que pasa por el origen en R3, es un subespacio de dimensión uno.---28) Si en R3, tomamos los vectores u y v linealmente independientes, entonces estos
generan un plano (o hiperplano) en R3. ---11.1) Los vectores u y v forman una base del subespacio que generan.---29) Las coordenadas de cada vector del espacio V, respecto de cada base del espacio
V, son únicas.---30) El vector coincide con el vector de coordenadas en Rn, si en Rn tomamos como
base la canónica.--31) Los subespacios se definen por medio de ecuaciones implícitas o por medio de
ecuaciones paramétricas.---
32) Transformar un SEV, definido en forma paramétrica, a su forma implícita consiste
básicamente en eliminar los parámetros.--32.1) Para eliminar los parámetros y llevar a la implícita, puedo utilizar gauss o
determinante.--32.2) La idea central de esta transformación es que el rango no varia.---33) Si ⟨𝑢, 𝑣⟩ Generan un plano, entonces son L.I.---34) Si ⟨𝑢, 𝑣⟩ generan un plano, entonces la matriz que tiene por columnas los
vectores u , v, y x( vector genérico de R3) , tiene rango 3. ----35) Si S1 y S2 son subespacios vectoriales de un mismo espacio vectorial real V ,
entonces
S1  S 2 es también subespacio vectorial de V .
36) Si F y G son subespacios de un EV, entonces 𝐹 ∩ 𝐺; 𝐹 + 𝐺; son SEV de V.----37) En F+G, sus vectores se forman con un sumando de F y otro de G.----38) En la suma directa entre𝐹 + 𝐺 , cada vector tiene al menos dos sumas para un
mismo vector.---39) Sea 𝑉 = 𝑃2 [𝑅], entonces los vectores {𝑥 − 1, 𝑥 2 } forman una base para dicho
espacio vectorial.----1
40) La base estandar de M2x2, es C= {[
0
2
41) [
7
0 0 1 0
],[
],[
0 0 0 1
0 0 0
],[
]}.-------0 0 1
2
3 5
]=[ ] .------5 3
7 𝐶
𝑥 = 2𝛼 − 𝛽
42) Si 𝐹 ≡ { 𝑦 = −3𝛽 , entonces 𝐹 ≡ 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0. ------𝑧 = −𝛼 + 2𝛽
42.1) Como F está definida por una sola ecuación implícita , su dimensión es uno.--𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 𝑡 − 𝑢 = 0
43) Si 𝐺 ≡ {
, entonces G está generado por 3 vectores
𝑦 + 𝑡 + 2𝑢 = 0
linealmente independientes.----𝑥 = 3𝛼 − 𝛽
𝑦 = −2𝛼 + 𝛽
43.1) La forma paramétrica de G es
.---------v
𝑧=𝛾
𝑡=𝛽
{
𝑢=𝛼
𝑥+𝑦 =0
44) Si 𝜋 ≡ ⟨(−1,0,2), (2,1,1)⟩ y 𝜎 ≡ {
, entonces la intersección de estos dos
𝑧=0
𝑥+𝑦 = 0
𝑧=0
subespacios son las ternas que satisfacen: 𝜋 ∩ 𝜎 = {
.--------v
2𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = 0
45)Si A= {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} y B={𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4, 𝑣5}, entonces espacio generado por A es un
subconjunto del espacio generado por B. --------46) Si dos espacios son generados por distinta cantidad de vectores, entonces no
pueden tener la misma dimensión.---47) Un conjunto de vectores generan V, entonces al colocarlos como filas de una
matriz a dichos vectores y llevarlos a la forma escalonada, los vectores no nulos
forman una base de V.-----48) Si A= {𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑟} son vectores de Rn. Entonces el espacio generado tiene
dimensión igual o menor a r. ----49) Si 𝐴 = {𝑣1, 𝑣2, . . . . , 𝑣𝑟} son Linealmente dependiente, entonces v1, se puede
expresar como combinación lineal de los demás.----50) Un subconjunto de un espacio vectorial V, es un SEV , si es cerrado para la suma
de vectores de V.---51) Dos subespacios forman una suma directa, si su intersección tiene dimensión
“cero”.---52) ⟨(1,1,2,1), (0,1, −1,1)⟩ y ⟨(1,2,1,2), (0,1, −1,1), (3,4,5,4), (1,1,2,1)⟩ genera el mismo
subespacio de R4. ----53)
RV>
S  x, y  / x  0; y  0 es un subespacio vectorial de R2.