Trabajo Práctico N° 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 1

Facultad Regional Mendoza. UTN
Álgebra y Geometría Analítica
2013
Trabajo Práctico N° 5: ESPACIOS VECTORIALES
Ejercicio 1:
Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no
espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique al menos uno de los axiomas que
no se cumplen:
a) V = M2x2 con las operaciones usuales entre matrices: suma y producto por un
escalar real.
b) V=G el conjunto de los polinomios de grado = 3 (exactamente 3) con coeficientes
reales. Con las operaciones usuales de suma entre polinomios y multiplicación por
un escalar real.
c) V =R2 con las operaciones:
( x, y ) + ( x’, y’) = ( y + y´, x + x’) y
k.( x, y) = ( ky; kx ) con kR
d) V= R+ – {0} y las operaciones:
x + y = x.y y k. x = xk con kR
Ejercicio 2:
Demuestre que en un conjunto V que tiene estructura de espacio vectorial real, se cumple:
e) λ . 0 = 0, para todo λ de R, siendo 0 el elemento neutro de la adición usual en V.
f) u + v = u + w, entonces v = w para todo u, v y w en V
g) El elemento neutro respecto de la adición en V, es único.
Ejercicio 3:
Sea V un espacio vectorial real en el cual se han definido la suma y el producto por un
escalar real usual y sea S un subconjunto del mismo. Determine utilizando la condición
necesaria y suficiente, si S es un subespacio vectorial de V.
a) V =M2x2 y S = {AM2x2 y A es inversible}
b) V = M3x3 y S = { A M3x3 / A es matriz antisimétrica }
c) V =R2 y S el conjunto de los puntos de la recta x=y
d) V = R3 y S={ (x,y,z)  R3 , z=0}
e) V = R2 y S = { (x,y)  R2 , y=1)}
f) V=P2 (Siendo Pn el conjuntos de polinomios de grado ≤ n) y S = P1
g) V = R3 y S el conjunto de los vectores del plano de ecuación vectorial
(x,y,z)= α(1,0,1) + β(0,1,-1); α,β  R
h) V = R3, S el conjunto de vectores de la recta de ecuación vectorial (x,y,z)= λ(1,1,3);
λ R
i) Sea F(R) el espacio vectorial de las funciones reales y S el conjunto de las funciones
reales derivables
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Ejercicio 4:
Pruebe que el conjunto solución del sistema homogéneo AX= 0, A Mmxn, es un
subespacio vectorial de Rn.
Ejercicio 5 :
Halle en caso de existir:
a) Una combinación lineal de los vectores u y v que exprese a w ,siendo u = (1, 2,–3);
v = (–1, –3, 2) y w = (3, 7, –8)
b) Una combinación lineal de h en función de f y g, siendo f, g, y h funciones reales
1
continuas, f ( x )  2 x  3 , g( x )   x  1 y h( x )  x
3
1 0 1 
c) Una combinación lineal de vectores fila de A2x3= 
 que exprese al vector
 2 2 2
v=(3,4,3)
1 0 1 
d) Una combinación lineal de los vectores columna de A2x3= 
 que exprese el
 2 2 2
vector nulo de R2
Ejercicio 6 :
Dados los vectores u = ( 2, -3 ) ; v = ( 1, 0 ) ; w = ( -3 , -1 )
a) Represente gráficamente en IR²,
b) Encuentre los escalares a y b que verifican que w = a u + b v.
c) Grafique los vectores a u y b v y súmelos gráficamente.
d) Determine la dependencia lineal de los vectores u, v, w.
Ejercicio 7:
Determine si los siguientes conjuntos de vectores generan el espacio vectorial V, en caso
contrario, encuentre el subespacio generado por ellos.
a) V =IR3
i. { ( 2, 2, 3 ) ; ( - 1, - 2, 1 ) ; ( 0, - 2, 5 ) }
ii. { ( 1, 2, - 1 ) ; ( 6, 3, 0 ) ; ( 4, - 1, 2 ) , ( 2, - 5, 4 ) }
iii. { ( - 1, - 2, 1 ) ; ( 0, - 2, 5 ) }
b) V = M2x2
1 0 1 0 1 1 
i. 
,
,

  2 0   0 1  0 0  
1 0 1 0 1 1 1 0 
ii. 
,
,
,

  2 0   0 1   0 0  0 0  
c) V = P2
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i. { x² + x ; x - 1 ; 1 + x² }
ii. { 4 + x + x² ; 1 - x + 2 x² ; x² + 2 ; x + 2 }
Ejercicio 8:
Halle el conjunto generador de los siguientes espacios vectoriales con las operaciones
usuales en cada caso y escalares reales, siendo V:
a) V el plano de ecuación 2x+3y-z = 0 en R3 ,
b) V la recta de ecuación (x,y,z)=λ(2,3,2) en R3
c) V el conjunto de matrices triangulares superior de orden tres
Ejercicio 9:
Sea el espacio vectorial R2 y H un conjunto de vectores:
I) H={(-1, 2)}
II) H={(-1, 1); (0,1)}
Sobre cada conjunto:
a) Halle el conjunto S de los vectores de todas las combinaciones lineales de los
vectores de H
b) Grafique S en un sistema de ejes cartesianos.
c) Considere un elemento cualquiera de S y grafíquelo expresado como combinación
lineal de los vectores de H
d) Verifique que el conjunto S es un subespacio vectorial de R2
Ejercicio 10 :

  1

 
Complete si es posible, el conjunto de vectores H   0 ;........ tal que el espacio S

 1 

 
generado por los vectores del conjunto H responda, en cada caso, a las características
dadas:
 x  t

a) S es la recta de ecuaciones paramétricas  y  0 ; t  R
 z t

b) S es el plano de ecuación
c) S=R3
d) S={0}
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e) S es un plano con vector normal n=(0,1,0) y que contiene al origen.
f) S es el conjunto generado por las columnas de una matriz A de orden 3, tal que el
sistema AX = 0 tiene solución única y H es el conjunto de las columnas de A.
Ejercicio 11:
Determine si los siguientes vectores son linealmente independientes. En caso de no serlo,
exprese uno de ellos como combinación lineal de los otros.
a) {( 0, 2, - 1 ) ; ( 1, 0, 4 ); ( 1, 2, 0)} en R3
b) {( 3, 2 ) ; ( - 1, 4); ( 4, - 2)} en R2
c) {( 3, 2, - 1 ); ( 1, - 5, 4 ); ( 5, 9, - 6 )} en R3
d) {(0, 0, 4); (0, 2, 0); ( 0, 1, -2)} en R3
e) { 1–x² ; 1+x ; x²–x ; x²+x } en P2
Ejercicio 12:
Dados los vectores ( 0, 0, k ) ; ( k, 1, 1 ) y ( 4, k, 0 ) en R3, determine para qué valores de k
los vectores son linealmente independientes y para cuáles son linealmente dependientes.
¿Qué interpretación geométrica puede hacer de los vectores si son linealmente
independientes?,¿ y de los vectores si son linealmente dependientes?
Ejercicio 13:
Explique por qué los siguientes conjuntos de vectores no son base de los espacios
vectoriales que se indican (resuelva por simple inspección)
a) { ( 1, 0 ) ; ( 0, 3 ) ; ( 1, 1 ) } para R2
b) { ( - 1, - 2 ) ; ( 1, 2 ) } para R2
c) { ( 1, 1, 1 ) ; ( 1, 2, 3 ) para R3
d) { 3 + x + x² ; 3 + x ; x2 } para P2
Ejercicio 14:
¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son base del espacio vectorial P3?
a) {1; x² ; 1 + x ; x³ + x² }
b) {1; x + x² ; x³ }
Ejercicio 15:
Determine una base y la dimensión del subespacio W del espacio vectorial V dado en cada
caso.
a) V = P2; W es el subespacio de P2 generado por: { x2+ 2 ; x2}
b) V = R4; W = {( x, y, z, t ) / x = z – t ; y = z + t }
c) V = R3; W es el plano de ecuación x + y + z = 0
d) V = M 2x2 ; W = { AM2x2 / A es matriz antisimétrica }
Ejercicio 16:
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Para V =R3x2 y W = R3 . De un ejemplo de:
a) Un subconjunto de vectores de V, que lo genere pero que no sea base
b) Un subconjunto de vectores de V linealmente independientes pero que no sea base.
c) Una base no canónica de V
d) Un subespacio de V de dimensión 1
e) Un subespacio de V de dimensión 2
f) Un subespacio de V de dimensión 3.
g) Un subconjunto de vectores de W, que lo genere pero que no sea base
h) Un subconjunto de vectores de W linealmente independientes pero que no sea base.
i) Una base no canónica de W
j) Un subespacio de W de dimensión 1
k) Un subespacio de W de dimensión 2
l) Un subespacio de W de dimensión 3.
Ejercicio 17:
Sea el vector u = (- 1; 1), represéntelo en R2, teniendo en cuenta la base canónica, dibuje
en el mismo plano la base B = {(2, 1) ; (1, 2)} y determine las coordenadas del vector u en
esta nueva base.
Ejercicio 18:
Encuentre el vector de coordenadas del vector v en la base B del espacio vectorial
indicado:
a) v = ( 3, - 1); B = { ( 1, 0 ) ; ( -2, 4 ) } de R2
b) v = ( 3, - 2 , 1); B = { ( 1, 2, 3 ) ; ( 1, 2, 0 ) ; ( 1, 0, 0 ) } de R3
Ejercicio 19 :
a) Sean B = {(1, 0, -1) ; (-1, 1, 0) ; (1, 1, 1)} una base ordenada de IR³ y sea
uB=(6,−3,2) un vector de R³. Encuentre las coordenadas del vector u en la base
canónica
b) Halle las coordenadas de los vectores uC= (2,- 5) de R² en la base B={ (-1, 0) ; (3,2) }
c) Halle las coordenadas del vector uC=(-3,2,5) de R³ en la base B = { (1,2,3) ; (1,1,0) ;
(0,1,2 )}
Ejercicio 20 :
Argumente o refute cada una de las siguientes afirmaciones indicando si son verdaderas o
falsas justificando cada una de sus respuestas:
a) G = {(1, 0, -1) (1, 1, 1)} genera a R².
b) El conjunto {(0,0)} en R2 es un conjunto linealmente dependiente.
c) El conjunto M = {A M2x2/ det(A) = 0} es un subespacio vectorial de M2x2.
d) Si u y v son vectores linealmente independiente de R³, el conjunto { u, v, u x v } es
una base de R³.
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e) e) El conjunto M = {A M2x2/ A es matriz diagonal} es un subespacio vectorial de
M2x2.
f) S = {(1, 0, -1) (1, 1, 1)} es un subespacio de R3 de dimensión 2.
g) El conjunto solución del sistema homogéneo AX= B, A Mmxn, es un subespacio
vectorial de Rn.