Espacios vectoriales. Axiomas, combinaciones lineales

Á LGEBRA L INEAL : A PLICACIONES F ÍSICAS - 2011
T RABAJO P R ÁCTICO 2
Espacios vectoriales. Axiomas, combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal.
1. Demuestre que el conjunto de los números complejos sobre el cuerpo de los Reales constituye un
espacio vectorial.
2. Determine si constituyen espacios vectoriales (e.v.) (V es el conjunto de vectores, F es el cuerpo y
λ ∈ F):
a) V = {x/x ∈ R+ }, F = R; la suma es el producto usual y el producto externo es λ x = xλ ,
donde la potencia se define en la forma usual.
b) V = {x/x = (ξ, η) , ξ, η ∈ R}, F = C; la suma es la usual entre pares ordenados y el producto
externo es λ (ξ, η) = (λξ, 0).
c)V = {x/x ∈ R+ }, F = C; la suma es el producto usual y el producto externo es λ x = λ2 x (el
producto en esta última definición es el usual).
d) V = {x/x ∈ C}, F = C, con la suma usual entre complejos y λ x = <(λ)x.
e) V = {x/x ∈ R}, F = Q, con la suma usual y λ x = λx.
Explicite qué axiomas no se cumplen cuando no se trate de un e. v..
3. Demuestre que el conjunto de funciones sobre un dado cuerpo, con la suma y producto por un escalar
usuales forman un espacio vectorial sobre el cuerpo mencionado.
4. Demuestre que el conjunto de matrices reales de n × m con las operaciones usuales (suma entre matrices y producto por un escalar) forman un espacio vectorial sobre los reales. ¿Y sobre los complejos?
5. Demuestre que las soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales a coeficientes reales
forman un espacio vectorial.
6. Demuestre que las soluciones de una ecuación diferencial homogénea y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0 con p(x)
y q(x) reales forman un espacio vectorial sobre R con las operaciones usuales de suma y producto por
un escalar. Pasa lo mismo con las soluciones de y 00 +p(x)y 0 +q(x)y = f (x), si f (x) no es idénticamente
nula?
7. a) En R2 , es (1, 1) combinación lineal de (1, 1) y (1, 2)? Qué ocurre con (0, 0)?.
b) En R3 , exprese v = (1, −2, 5) como combinación lineal (c.l.) de u1 = (1, −3, 2),
u2 = (2, −4, −1) y u3 = (1, −5, 7).
c) En P (R), exprese v = t2 + 4t − 3 como c.l. de p1 (t) = t2 − 2t + 5, p2 (t) = 2t2 − 3t y p3 (t) = t + 3.
d) Encuentre una condición sobre a, b y c para que (a, b, c) se escriba como c.l. de u = (1, −3, 2) y
v = (2, −1, −1).
3 1
1 1
0 0
e) En R2x2 , escriba D =
como c.l. de A =
,B=
y
1 −1
1 0
1 1
0 2
C=
.
0 1
8. Indicar si son linealmente independientes (l.i.):
a) Los vectores z = 1 + i y z = 1 − i en C(C). Y en C(R)?
b) Los vectores (1, 0, 1), (1, 1, 0) y (1, 0, −1) en R3 .
c) Las funciones cos2 x, sin2 (x) y 8 cos 2x − 1 en RR .
d) las matrices
2 1
2 1
2 1
0 0
,
y
en R2x2 .
2 2
0 0
e) Los vectores v1 = e1 + e3 , v2 = e1 − e2 , v1 = e1 + e2 + e3 , si los vectores e1 , e2 y e3 , pertenecientes
a un cierto e.v. son linealmente independientes.
9. Determine si los cuatro puntos (1, 1, −1), (2, 1, 1), (3, −1, 2) y (0, 3, −2) de R3 son coplanarios.
2