¿Para qué valor de b el siguiente conjunto de vectores es linealmente dependiente? 1 2 −1 1 −1 + b , a2 = 4 , a3 = A = a1 = −2 0 2 − 2 b + b2 1 4 −1 − 11 b + 3 b2 Indique su respuesta en las posibles: 1 Sólo para b = 0 y para b= 2 No existe valor de b. 3 Hay mas de dos valores de b. 4 Sólo para el valor b= Solución Nuestro resultado clave 3 es: Un conjunto de vectores A = {a1 , . . . , ak } es linealmente independiente (dependiente) si y sólo si [a1 · · · ak |0] tiene solución única (resp. infinitas soluciones). Formemos la aumentada 1 2 −1 0 1 4 −1 + b 0 [a1 a2 a3 |0] = −2 0 2 − 2 b + b2 0 1 4 −1 − 11 b + 3 b2 0 Como la matriz tiene variables; no es conveniente reducir. Escalonemos solamente mediante las operaciones: 1. 2. 3. 4. 5. R2 R3 R4 R3 R4 → R2 − 1 R1 → R3 + 2 R1 → R4 − 1 R1 → R3 − 2 R2 → R4 − 1 R2 y matriz queda: 1 2 −1 0 2 b 2 0 0 b − 4b 0 0 3 b2 − 12 b 0 0 0 0 Vemos que las columna 1 y 2 tiene pivote numérico, es decir, sin la variable b. Por tanto, no es posible escoger un valor de b que haga cero uno de estos pivotes. Ası́, el conjunto es linealmente dependiente si y sólo si la tercera columna no tiene pivote. Pero hay dos posiciones que pueden dar origen a pivote: tanto en el renglón 3 como en el 4. Para no tener pivote en esas localidades ambos tienen que ser cero: b2 − 4 b = 0 → b = 0 y b = 4 2 2 b − 12 b = 0 → b = 0 y b = 4 Por lo tanto, sólo hay dos valores de b para los cuales el conjunto es linealmente dependiente. Por el formato de la respuesta que se pide: indicamos primero 1 que corresponde a la opción y después 4, que es el número que llena el espacio que se da 1,4