1 ¿Para qué valor de k el siguiente conjunto de vectores es

¿Para qué valor de k el siguiente conjunto de vectores es linealmente dependiente?







1
−2
−1 





 −2 



2−k 
 , a2 =  3  , a3 = 

A = a1 = 
 −2 
 2 
 2 − 4 k + k 2 





2
−5
1 − 3k
Indique su respuesta en las posibles:
1 Hay mas de dos valores de k.
2 No existe valor de k.
3 Sólo para el valor k=
4 Sólo para k = 0 y para k=
Solución
Nuestro resultado clave 3 es:
Un conjunto de vectores A = {a1 , . . . , ak } es linealmente independiente (dependiente) si y sólo si [a1 · · · ak |0] tiene solución única
(resp. infinitas soluciones).


Formemos la aumentada
1 −2
−1 0
 −2
3
2−k 0 

[a1 a2 a3 |0] = 
 −2
2 2 − 4 k + k2 0 
2 −5
1 − 3k 0
Como la matriz tiene variables; no es conveniente reducir. Escalonemos solamente mediante las operaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
R2
R3
R4
R3
R4
→ R2 + 2 R1
→ R3 + 2 R1
→ R4 − 2 R1
→ R3 − 2 R2
→ R4 − 1 R2
y matriz queda:
1
 0

 0
0

−2
−1
0
0
−1
−k
k2 − 4 k
3 − 2k

0
0 

0 
0
Vemos que las columna 1 y 2 tiene pivote numérico, es decir, sin la variable k. Por
tanto, no es posible escoger un valor de b que haga cero uno de estos pivotes.
Ası́, el conjunto es linealmente dependiente si y sólo si la tercera columna no
tiene pivote. Pero hay dos posiciones que pueden dar origen a pivote: tanto en el
renglón 3 como en el 4. Para no tener pivote en esas localidades ambos tienen
que ser cero:
k2 − 4 k = 0 → k = 0 y b = 4
3 − 2 k = 0 → k = 3/2
Observamos que como las raı́ces de la primera ecuación son diferentes de las
raı́ces de la segunda; no hay un mismo valor de k que haga a esas dos cantidades
cero simultáneamente. Por lo tanto, el pivote está garantizado en la columna
3, independientemente del valor de k: No existe un valor de k para el cual el
conjunto de vectores sea linealmente dependiente. La opción correcta es la 2