Transparencias

Lección 9
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con
coeficientes constantes
1
Sistemas lineales homogéneos
Estudiaremos los sistemas de la forma x0 (t) = Ax(t) + b(t).
Sistemas homogéneos: x0 = Ax.
 
0
0 
 
Solución de equilibrio: x =  . .
 .. 
0
Si n = 1: x 0 = ax, solución general: x(t) = ce at , c constante
arbitraria.
Para n = 1, e at matriz fundamental de soluciones
¿Será X(t) = e At una matriz fundamental de soluciones de x0 = Ax?
¿Qué es e At ?
2
Exponencial de una matriz
∞
X 1
1 3
1 2
ak .
e = 1 + a + a + a + ··· =
2!
3!
k!
a
k=0
Definición
∞
X 1
1 2
1 3
A
e = In + A + A + A + · · · =
Ak .
2!
3!
k!
k=0
A2 = AA, A3 = AAA, etc. y A0 = In .
2
3
a1 0
a
0
a
A=
⇒ A2 = 1
⇒ A3 = 1
2
0 a2
0 a2
0
0
a23
⇒ ···
A3
A2
+
+ ··· =
e =I +A+
2! 3!
1 a12 0
1 a13 0
1 0
a1 0
+
+
+
+ ··· =
0 1
0 a2
2! 0 a22
3! 0 a23!
a
a2
a3
0
e 1 0
1 + a1 + 2!1 + 3!1 + · · ·
=
=
a2 .
a22
a23
0
e
0
1 + a2 + 2! + 3! + · · ·
A
3
Una matriz fundamental de soluciones para x0 = Ax
e tA = In + tA +
1 2 2
1
t A + t 3 A3 + · · · .
2!
3!
Teorema
Sea A una matriz n × n. Entonces
d tA
1
e = Ae tA .
dt
2
X(t) = e tA es una matriz fundamental de soluciones de x0 = Ax.
3
La solución general del sistema x0 = Ax es x(t) = e tA c, siendo c, un
vector de constantes arbitrarias.
4
La función vectorial x(t) = e (t−t0 )A x0 es la (única) solución del
problema de condiciones iniciales
0
x = Ax
x(t0 ) = x0
4
Propiedades básicas de la exponencial de una matriz
El cálculo de e tA es difı́cil, en general.
Teorema
Sean A y B matrices n × n. Entonces
1
A conmuta con e A ; es decir, Ae A = e A A.
2
Si A y B conmutan (i.e., si AB = BA), entonces
e A+B = e A e B
3
e A es no singular y su inversa es e −A .
En particular
(e tA )−1 = e −tA .
y como (λIn )A = A(λIn ) = λA
e (λIn +A) = e λIn e A = e λ In e A = e λ e A
5
Exponencial de una matriz y Vectores propios
Como A = λIn − (λIn − A) y (λIn )(λIn − A) = (λIn − A)(λIn ):
e tA = e t(λIn −(λIn −A)) = e λtIn e t(A−λIn ) = e λt In e t(A−λIn ) = e λt e t(A−λIn )
Pero para un vector v:
2
3
t
t
e t(A−λIn ) v = In + t(A − λIn ) + (A − λIn )2 + (A − λIn )3 + · · · v =
2!
3!
2
t
= v + t(A − λIn )v + (A − λIn )2 v + · · ·
2!
Ası́ e t(A−λIn ) v =)v si y sólo si (A − λIn )v = 0.
Encontrar v 6= 0 para que (A − λIn )v = 0 (⇔ (λIn − A)v = 0)
Definición
v 6= 0 es un vector propio de A si (λIn − A)v = 0 para algún número λ.
λ= valor propio de A.
Conclusión
Si λ es valor propio de A y v un vector propio, entonces
e tA v = e λt v
6
Cálculo de valores y vectores propios
(λI
 n − A)v = 0 ⇔
(λ − a11 ) v1 −
a12 v2
− ···



 −a21 v1
+ (λ − a22 ) v2 − · · ·
..
..

.
.



−an1 v1
−
an2 v2
− ···
−
−
a1n vn
a2n vn
..
.
= 0
= 0
..
.
+ (λ − amn ) vn = 0
Teorema
λ valor propio de A si y sólo si det(λIn − A) = 0. Y v es vector
propio de A asociado a λ si es solución del sistema homogéneo de
ecuaciones lineales (λIn − A)v = 0.
det(λIn − A) polinomio de grado n: polinomio caracterı́stico de
A. Valores propios de A = sus raı́ces.
7
Método para calcular valores y vectores propios
Matrix Calculator: eigenvalues and eigenvectors en WIMS
1
Se calcula det(λIn − A).
2
Se calculan las raı́ces del polinomio caracerı́stico (Factoris
en WIMS)
3
Debe haber n raı́ces contando repeticiones. Puede haber
raı́ces complejas: Ejemplo:
0 −1
det λI2 −
= λ2 + 1 = (λ + i)(λ − i).
1 0
multiplicidad algebraica de un valor propio= número de
veces que aparece como raı́z del polinomio caracterı́stico.
4
Para cada valor propio λ0 , se resuelve el sistema lineal
homogéneo (λ0 In − A)v = 0.
8
Matrices con un único valor propio
Teorema de Hamilton-Cayley: Si en el polinomio caracterı́stico
de A, pA (λ), sustituı́mos λ por A obtenemos siempre la matriz
cero; es decir, pA (A) = 0.
1
4
A=
⇒ pA (λ) = λ2 + 2λ + 1.
−1 −3
Si A tiene un único valor propio λ1 :
pA (λ) = (λ − λ1 )n ⇒ (A − λ1 In )n = 0
Como
e tA = e λtIn e t(A−λIn ) = e λ e t(A−λIn ) .
Proposición
Si A tiene un único valor porpio λ1 , entonces hay un número
entero k ≤ n tal que
2
k
t
t
e tA = e λt In + t(A − λ1 In ) + 9(A − λ1 In )2 + · · · + (A − λ1 In )k .
2!
k!
Vectores propios linealmente independientes
Las soluciones del sistema (λ0 In − A)v = 0 forman un espacio vectorial de
dimensión n − rang(λ0 In − A): El número de vectores propios linealmente
independientes asociados al valor propio λ0 es n − rang(λ0 In − A).
Multiplicidad Geométrica
multiplicidad geométrica de λ0 = n − rang(λ0 In − A)
1
Se calcula rang(λ0 In − A) buscando una submatriz cuadrada de
máximo tamaño con determinante distinto de cero. Supongamos
rang(λ0 In − A) = r (dimensión del espacio de soluciones =
multiplicidad geométrica= n − r ).
2
Utilizando la submatriz encontrada, se despejan las correspondientes
r incógnitas en función de las restantes n − r .
3
Se resuelve el correspondiente sistema compatible determinado r × r
obteniendo la solución general del sistema que dependerá de n − r
incógnitas.
4
Se dan valores apropiados a las n − r incógnitas para obtener n − r
vectores linealmente independientes.
10
Vectores propios generalizados
Recordemos
t2
t2
2
e
v == v + t(A − λIn )v + (A − λIn ) v + (A − λIn )3 v · · ·
2!
3!
OBJETIVO: Para cada valor propio λ0 , encontrar vectores v (tantos
como la multiplicidad algebraica de λ0 ) tales que (A − λIn )v = 0 o
(A − λIn )2 v = 0 o (A − λIn )3 v = 0, etc.
Definición
Si λ es valor propio de A y v cumple
(A − λIn )p v = 0
con p > 1, v es un vector propio generalizado de A correspondiente a
λ.
t(A−λIn )
Teorema
Si q=multiplicidad algebraica de λ como valor propio de A, entonces hay
q vectores propios y vectores propios generalizados de A correspondientes
a λ que son linealmente independientes. Equivalentemente, existe un
entero 0 < p ≤ q tal que el sistema
(A − λIn )p v = 0
tiene q soluciones linealmente independientes. O, también, existe un
11
entero 0 < p ≤ q tal que
q = n − rang(A − λIn )p .
Vectores propios generalizados y matriz fundamental de
soluciones
Si λ1 , . . . , λs son los valores propios de A y q1 , . . . , qs sus multiplicidades
algebraicas, entonces q1 + · · · + qs = n.
Teorema
A valores propios diferentes corresponden vectores propios generalizados
linealmente independeintes
Si para i = 1, . . . , s, vi1 , . . . , viqi son vectores propios generalizados de λi
entonces la matriz
V = v11 · · · v1q1 v21 · · · v2q2 · · · vs1 · · · vsqs
es no singular (i.e. det V 6= 0; i.e., sus columnas son linealmente
independientes).
Conclusión
La matriz
X(t) = e tA V
es una matriz fundamental de soluciones del sistema x0 = Ax.
12
Solución general de un sistema lineal de coeficientes
constantes
Sean λ1 , . . . , λs los valores propios de A. Sean q1 , . . . , qs sus multiplicidades algebraicas. Para i = 1, . . . , s sean vi1 , . . . , viqi vectores
propios generalizados de λi , y sea xij (t) = e tA vij . Entonces, la solución general del sistema x0 = Ax es
x(t) = c11 x11 (t)+· · ·+c1q1 x1q1 (t)+· · ·+cs1 xs1 (t)+· · ·+csqs xsqs (t)
siendo las cij constantes arbitrarias.
13
Procedimiento para hallar la solución general de x0 = Ax
1
2
3
4
5
6
Hállense los valores propios de A.
Para cada valor propio λ realı́cense los pasos 3 a 6.
Calcúlese su multiplicidad algebraica. Digamos que es q.
Encuéntrese el número entero más pequeño p tal que
rang(λIn − A)p = n − q.
Hállense q vectores v1 , v2 ,. . . , vq , linealmente independientes
que sean solución del sistema (λIn − A)p v = 0.
Para cada vector vj , 1 ≤ j ≤ q tenemos la solución
xj (t)
= e tA vj =
t2
= e
vj + t(A − λIn )vj + (A − λIn )2 vj + · · ·
2! p−1
t
··· +
(A − λIn )p−1 vj .
(p − 1)!
λt
14
Desarrollo del Paso 5
Para hallar las q soluciones de (λIn − A)p v = 0 se procede ası́:
1
Se calculan tantas soluciones linealmente independientes de
(λIn − A)v = 0 como sea posible. Digamos que hay r1 ; i.e
r1 = n − rang(λIn − A).
2
Se calculan tantas soluciones linealmente independientes de
(λIn − A)2 v = 0 como sea posible y que sean linealmente
independientes de las r1 soluciones ya calculadas. Digamos
que hay r2 ; i.e. r1 + r2 = n − rang(λIn − A)2 .
3
Se calculan tantas soluciones linealmente independientes de
(λIn − A)3 v = 0 como sea posible y que sean linealmente
independientes de las r1 + r2 soluciones ya calculadas.
Digamos que hay r3 ; i.e. r1 + r2 + r3 = n − rang(λIn − A)3 .
4
etc. hasta obtener rp soluciones de (λIn − A)p v = 0 que sean
linealmente independientes de todas las ya calculadas.
15
Valores y vectores propios complejos
Observaciones sobre valores propios complejos no reales:
1
Si λ = α + iβ, con β 6= 0,es un valor propio de A entonces
también λ = α − iβ es valor propio de A.
2
Si v = a + ib es un vector propio asociado a λ entonces
v = a − ib es un vector propio asociado a λ.
3
El procedimiento en seis pasos proporciona soluciones
complejas.
4
Si zj (t) es la solución obtenida en el paso 6 para el valor
propio λ, entonces zj (t) es la solución obtenida en el paso 6
para el valor propio λ.
5
Si escribimos zj (t) = xj (t) + iyj (t) entonces
zj (t) = xj (t) − iyj (t).
6
Se sustituyen las soluciones zj (t) y zj (t) por xj (t) y yj (t) que
son reales y linealmente independientes.
16