1 Indique cuáles de los siguientes valores λ1 = -1, λ 2 = 1, λ3 =

Indique cuáles de los siguientes valores
λ1 = −1, λ2 = 1, λ3 = −2, λ4 = 2
son valores propios de la matriz A:
A=
−3
−4
5
6
Solución
Recordemos la definición de valor propio:
λ es valor propio de la matriz A si existe un vector x diferente de
cero tal que:
A · x = λx
Es decir, si
(A − λ I) x = A x − λI x = A x − λ x = 0
no tiene solución única (tiene soluciones infinitas).
Veamos si λ1 = −1 es valor propio de A: formamos la aumentada
#
"
5 − (−1)
−3
0
[A − λ1 , I|0] =
6
−4 − (−1) 0
y al reducir obtenemos
rref
[A − λ1 I|0] −−−→
1
0
−1/2
0
0
0
Como el sistema tiene una variable libre, el sistema tiene infinitas soluciones:
por tanto además de la solución x = 0, existen muchos vectores x diferentes del
vector cero tales que Ax = λ1 x. Por tanto, λ1 sı́ es valor propio de la matriz A.
De hecho, podemos encontrar la solución general al sistema anterior:
1 −1/2 0
x = 1/2 y
→ {x − 1/2y = 0 →
0
y = y
0
0
Por tanto, todos los vectores propios asociados a λ1 se obtienen:
1/2
x=y
, con y 6= 0
1
Veamos si λ2 es valor propio de A:
"
5 − (1)
[A − λ2 I|0] =
6
−3
−4 − (1)
0
0
#
→
1 0
0 1
0
0
Como el sistema tiene solución única x = 0, por tanto no existe un vector
diferente de cero x que cumpla A x = λ2 x. Por tanto, λ2 no es un vector propio
de A.
La regla es :
λ es valor propio de A si y sólo si al reducir [A − λ I|0] se tiene al
menos una variable libre.
Veamos si λ3 es valor propio de A:
"
−3
5 − (2)
[A − λ3 I|0] =
6
−4 − (2)
0
0
#
→
1
0
−1
0
1 0
0 1
0
0
Una variable libre; por tanto, λ3 sı́ es valor propio de A.
Veamos si λ4 es valor propio de A:
"
5 − (−2)
[A − λ4 I|0] =
6
−3
−4 − (−2)
0
0
#
→
0
0
Ninguna variable libre; por tanto, λ4 no es valor propio de A.
En la siguiente figura se ilustran algunos de los cálculos anteriores.