1 Indique en cuáles de las siguientes opciones el el primer vector sı
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Indique en cuáles de combinación lineal de los 6 1) b = 1 , a1 = 1 las siguientes opciones el el primer vector restantes: 5 1 −11 5 , a2 = 3 , a3 = −13 , a4 = 1 1 −3 sı́ es una 42 56 14 40 6 2 4 2) d = 44 , e1 = 1 , e2 = 1 , e3 = 6 4 4 38 5 −1 1 1 −4 11 3) f = −4 , g1 = 4 , g2 = 4 , g3 = −16 , g4 = 44 −7 6 5 −21 62 5 2 4 15 4) 35 , 6 , 4 , 3 4 3 1 21 3 6 1 5) 4 , 4 , 2 4 6 4 Solución El resultado fundamental 1 en Álgebra Lineal dice que: Siendo b,a1 ,a2 ,. . . ,ak vectores en Rn : El vector b es combinación lineal de los vectores a1 ,a2 ,. . . , ak si y sólo si es consistente el sistema [a1 a2 · · · ak |b]. Observe que sólo requiere la consistencia, no importa si la solución es única o infinitas. Esto sólo hace referencia si la manera de obtener b es única o existen infinitas maneras de obtenerlo. Apliquemos el resultado a cada inciso; en cada caso formamos la aumentada y reducimos. 1) Tenemos que c1 c2 c3 c4 5 1 −11 42 6 3 −13 56 1 5 1 1 −3 14 1 a1 a2 a3 a4 b c1 rref 1 −−−→ 0 0 c2 0 1 0 c3 2 −1 0 c4 7 0 7 0 0 1 Como el sistema es inconsistente, concluimos que no existen escalares c1 , c2 , c3 y c4 que cumplan c1 · a1 + c2 · a2 + c3 · a3 + c4 · a4 = b Ası́ b no es combinación lineal de a1 , a2 , a3 , y de a4 . 2) Tenemos que c1 6 1 5 e1 c2 c3 2 4 1 6 4 4 e2 e3 c1 6 rref 1 1 −−−→ 0 1 0 d c2 0 1 0 c3 0 2 0 0 1 7 Como el sistema tiene solución, de hecho es única; el vector d sı́ es combinación lineal de e1 , e2 y de e3 . Se puede comprobar que d = 2 · e1 + 0 · e2 + 7 · e3 3) Tenemos que c1 c2 c3 c4 1 1 −4 11 −1 rref 4 −16 44 −4 −−−→ 4 6 5 −21 62 −7 g1 g2 g3 g4 f c1 1 0 0 c2 0 1 0 c3 −1 −3 0 c4 7 −2 1 4 0 0 Como el sistema es consistente, el vector f sı́ es combinación lineal de g1 , g2 , g3 y de g4 . De hecho, si hacemos las variables libres cero (c3 = 0, c4 = 0) podemos verificar f = −2 · g1 + 1 · g2 + 0 · e3 + 0 · e4
![1 Considere una matriz n × 3 descrita en columnas A = [c, d, a] para](http://s2.studylib.es/store/data/007384371_1-ed8eedfce97cb2d3533515e767897869-300x300.png)
![1 Si v = [ 36 -12 ] , w = [ 9 -3 ] , y S = 1wl. Indique cuáles opciones](http://s2.studylib.es/store/data/004950498_1-7f0b4c506a631255d680bd90dfa0a3e5-300x300.png)
