Algebra Lineal: Combinación Lineal y Espacios Generados

Algebra
Lineal:
Combinación
Lineal y
Espacios
Generados
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Comb. Lineal
Algebra Lineal:
Combinación Lineal y Espacios Generados
Ejemplo
Notas 1
E. Generado
Departamento de Matemáticas
Ejemplos
Comparativa
Ejemplo
Nota 2
MA1019
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Intro
Comb. Lineal
Ejemplo
Notas 1
E. Generado
Ejemplos
Comparativa
Ejemplo
Nota 2
Introducción
Uno de los conceptos clave en Algebra Lineal es el concepto de
combinación lineal: Una combinación lineal es una
superposición de objetos: imagine que usted tiene dos señales
(discretas o continuas). Cuando usted las amplifica y/o atenua
para después mezclarlas, está haciendo una combinación lineal.
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Combinación Lineal
Si x1 , x2 ,. . . ,xk con vectores con n componentes, una
combinación lineal con ellos es una expresión de la forma:
c1 x1 + c2 x2 + · · · + ck xk
Comb. Lineal
Ejemplo
Notas 1
E. Generado
Ejemplos
Comparativa
Ejemplo
Nota 2
donde los coeficientes c1 ,c2 ,. . . ,ck son escalares.
Este concepto no es del todo desconocido. En ecuaciones
diferenciales lineales y homogéneas, teniendo la solución general
y (t) = c1 y1 (t) + · · · + cn yn (t)
para obtener soluciones particulares se deben determinar los
valores de las constantes ci . Es decir, se escogen los
coeficientes de una combinación lineal.
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Comb. Lineal
Ejemplo
Problema 1
Dados los vectores x1 , x2 ,. . . ,xk , y el vector y, todos ellos
vectores con n componentes, ¿cómo saber si el vector y es una
combinación lineal de los vectores x1 , x2 ,. . . ,xk ?. Sencillo:
viendo si existen c1 ,. . . ,ck escalares que cumplan
Notas 1
E. Generado
y = c 1 x1 + c 2 x2 + · · · + c k xk
Ejemplos
Comparativa
Ejemplo
Nota 2
Para ello se debe resolver un sistema de ecuaciones lineales.
Esto es semejante a lo que se hacı́a en Ecuaciones Diferenciales
Lineales y se buscaba una solución particular.
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Si


 
 


2
4
2
2
x1 =  3 , x2 =  6 , x3 =  4 , y =  1 
2
4
6
−6
Intro
Comb. Lineal
Ejemplo
diga si el vector y es combinación lineal de x1 , x2 , y de x3 .
Buscamos constantes c1 , c2 y c3 que cumplan:
Notas 1
E. Generado
c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 = y
Ejemplos
Comparativa
Ejemplo
Nota 2
Sustituyendo y desarrollando productos:

 

2 c1 + 4 c2 + 2 c3
2
 3 c1 + 6 c2 + 4 c3  =  1 
2 c1 + 4 c2 + 6 c3
−6
Ahora, para que dos vectores sean iguales, deben ser iguales
componente a componente, es decir:
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Comb. Lineal
Ejemplo
Notas 1
E. Generado
Ejemplos
Comparativa
Ejemplo
Nota 2
2 c1 + 4 c2 + 2 c3 =
2
3 c1 + 6 c2 + 4 c3 =
1
2 c1 + 4 c2 + 6 c3 = −6
Para resolver este sistema formamos la



2 4 2
1
2
 3 6 4
1 → 0
2 4 6 −6
0
aumentada y reducimos:

2 0
3
0 1 −2 
0
0 0
Viendo la posición de los pivotes, concluimos que el sistema es
consistente; y por tanto, sı́ existen constantes c1 , c2 y c3 que
cumplan el sistema de ecuaciones planteado. De hecho,
haciendo cero las variables libres que aparecen en la reducida
(c2 = 0) obtenemos una solución particular:
c1 = 3 y c3 = −2
con la cual es fácil verificar que
3 x1 + 0 x2 − 2 x3 = y
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Observación
Es importante observar cómo se forma la matriz aumentada
directamente de los datos:
Para buscar constantes c1 , c2 , c3 que cumplan:
c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 = y
se debe resolver el sistema cuya aumentada es
Ejemplo
Notas 1
[x1 x2 x3 |y ]
E. Generado
Ejemplos
Comparativa
Ejemplo
Nota 2
Es decir, la aumentada se forma con los vectores que
se quieren combinar a la izquierda y el vector que se
desea ver si es combinación lineal a la derecha. Todos
los vectores son colocados como columnas.
Nuestro hecho principal es que: resolver un sistema de
ecuaciones lineales [x1 x2 · · · xk |y] equivale a buscar la
combinación lineal entre un conjunto de vectores x1 , x2 ,. . . , xk
para obtener el vector y.
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Ejemplo
Nota 2
Espacio Generado
El conjunto formado por todas las combinaciones lineales de
los vectores v1 , v2 ,. . . , vk en Rn se llama espacio generado por
los vectores v1 , v2 ,. . . , vk . Este conjunto se representa por
Gen {v1 , v2 , . . . , vk } .
Es decir, es el conjunto formado por todas las combinaciones
lineales
c1 v1 + c2 v2 + · · · + ck vk
donde c1 ,c2 ,. . . ,ck son escalares libres. Si
V = Gen {v1 , v2 , · · · , vk } se dice que los vectores v1 , v2 ,. . . ,
vk generan a V y que {v1 , v2 , . . . , vk } es un conjunto
generador de V .
Observe que x es elemento de Gen {v1 , v2 , . . . , vk } si y sólo si x
es una combinación lineal de entre los vectores v1 , v2 ,. . . , vk .
Buscar en el generado, es buscar en las combinaciones lineales.
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Indique si el vector x =< 2, 3, 1 > pertenece al espacio
V = Gen {y1 =< 1, 2, 1 >, y2 =< 3, 5, 0 >}.
Solución
El vector x pertence a V si y sólo si x es una combinación
lineal de los vectores y1 y y2 ; es decir, si y sólo si existen
escalares c1 y c2 para los cuales:
Comb. Lineal
Ejemplo
Notas 1
E. Generado
Ejemplos
Comparativa
Ejemplo
Nota 2
x = c1 y1 + c2 y2
Esto se convierte en un sistema con matriz aumentada y que
reduciéndola:




1 3 2
1 0 0
 2 5 3 → 0 1 0 
1 0 1
0 0 1
Como el sistema es inconsistente, no pueden existir c1 y c2 que
cumplan la relación, y por tanto, x no es combinación lineal de
y1 y y2 ; y por tanto, x no pertence al espacio generado V .
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Comb. Lineal
Ejemplo
Indique para qué valor del parámetro a el vector
x1 =< 2, 3, a > pertenece al espacio
V = Gen {y1 =< 1, 2, 1 >, y2 =< 3, 5, 0 >}
Solución
El vector x pertence a V si y sólo si x es una combinación
lineal de los vectores y1 y y2 , es decir, si y sólo si existen
escalares c1 y c2 para los cuales:
Notas 1
E. Generado
x = c1 y1 + c2 y2
Ejemplos
Comparativa
Ejemplo
Nota 2
Al formar la matriz aumentada del sistema y escalonarla queda




1 3 2
2
1
3
 2 5 3  →  0 −1
−1 
1 0 a
0
0 a+1
Recuerde que cuando una matriz tiene variables, no conviene
usar rref porque se pueden hacer divisiones entre expresiones
que pueden ser cero: se debe escalonar paso a paso.
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Notas 1
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Ejemplo
Nota 2
De aquı́ vemos que la única posibilidad para que el sistema sea
consistente es que en el último renglón no exista pivote; por
tanto,
a + 1 = 0 =⇒ a = −1
Nuestra conclusión es que
   
 
2
3 
 1
 3  ∈ Gen  2  ,  5  ←→ a = −1


a
1
0
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Si los espacios generados son en general infinitos, ¿cómo
compararlos?
Teorema
Si V = Gen {x1 , · · · , xm }, y W = Gen {y1 , · · · , yk }
son conjuntos de vectores en Rn .
Todo vector xi (i = 1, 2, . . . , m) pertence a W si y
sólo si V ⊆ W .
Comb. Lineal
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Notas 1
E. Generado
Los elementos de un conjunto generador de un espacio
generado son como sus anclas: para que otro espacio generado
W lo contenga, basta y sobra que contenga todas sus anclas.
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Nota 2
Rn
W
x3
x1 V
x2
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Ejemplo
Nota 2
Diga si U ⊆ V , V ⊆ U, U = V , o no son comparables entre si,
donde







1
3
−2 

U = Gen u1 =  2  , u2 =  6  , u3 =  −4 


−1
−3
2



V = Gen v1 = 


 
4
1 
8  , v2 =  0 

−4
1
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Intro
Veamos si U ⊆ V : De acuerdo al resultado previo debemos ver
si todo ui ∈ V . Para ello construimos




4 1
1
1 0 1/4
2 → 0 1
0 
[v1 , v2 |u1 ] =  8 0
−4 1 −1
0 0
0
Comb. Lineal
Ejemplo
Notas 1
E. Generado
Ejemplos
Comparativa
Ejemplo
Nota 2


1
4 1
3
6 → 0
[v1 , v2 |u2 ] =  8 0
−4 1 −3
0



4 1 −2
1
[v1 , v2 |u3 ] =  8 0 −4  →  0
−4 1
2
0


0 3/4
0 
1
0
0

0 −1/2
1
0 
0
0
Como cada sistema es consistente ui ∈ V y ası́
U = Gen {u1 , u2 , u3 } ⊆ V .
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Intro
Veamos si V ⊆ U: De acuerdo al resultado previo
si todo vi ∈ U. Para ello construimos



1
3 −2
4
1



2
6 −4
8 → 0
[u1 , u2 , u3 |v1 ] =
−1 −3
2 −4
0
debemos ver

3 −2 4
0
0 0 
0
0 0
Comb. Lineal
Ejemplo
Notas 1
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Comparativa
Ejemplo
Nota 2




1
3 −2 1
1 3 −2 0
6 −4 0  →  0 0
0 1 
[u1 , u2 , u3 |v2 ] =  2
−1 −3
2 1
0 0
0 0
Ası́ al ser consistente el primer sistema se verifica que v1 ∈ U,
pero al ser inconsistente el segundo sistema v2 ∈
/ U. Por lo
tanto, V = Gen {v1 , v2 } * U.
Al haber probado las dos contenciones, concluimos que sólo se
cumple U ⊆ V .
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Ejemplo
Nota 2
Nota 2
• Note que para verificar que U ⊆ V , en lugar de revisar la
consistencia de [v1 v2 |u1 ], [v1 v2 |u2 ], y de [v1 v2 |u3 ] basta
• formar la aumentada [v1 v2 |u1 u2 u3 ];
• reducir y
• ubicar los pivotes:
• si todos los pivotes están a la izquierda, entonces la
contención se cumple:
• si hay al menos un pivote a la derecha, entonces la
contención no se cumple.
• Para que se cumpla la igualdad V = U debe verifica rque
se cumplen simultáneamente U ⊆ V y V ⊆ U.