Algebra Lineal: Espacios Generados

Algebra
Lineal:
Espacios
Generados
Departamento
de
Matemáticas
Intro
E. Generado
Operatividad
C(A)
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Introducción
Después del concepto de combinación lineal, el segundo
concepto clave en Algebra Lineal es el concepto de espacio
generado. En la introducción hemos visto que definir el
conjunto formado por todas las combinaciones lineales quen se
pueden formar con un conjunto de vectores contribuye a
entender los SEL. Daremos formalmente esta definición y
precisaremos alguna terminologı́a sobre este concepto.
Asimismo, veremos cómo se puede hacer operativa la pregunta
de si un cierto vector pertenece a un espacio generado.
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Lineal:
Espacios
Generados
Departamento
de
Matemáticas
Intro
E. Generado
Operatividad
C(A)
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Espacio Generado
El conjunto formado por todas las combinaciones lineales de
los vectores v1 , v2 ,. . . , vk en Rn se llama espacio generado por
los vectores v1 , v2 ,. . . , vk . Este conjunto se representa por
Gen {v1 , v2 , . . . , vk }
es decir, es el conjunto formado por todas las expresiones de la
forma
c1 · v1 + c2 · v2 + · · · + ck · vk
donde c1 ,c2 ,. . . ,ck son escalares. Si V = Gen {v1 , v2 , · · · , vk }
se dice que los vectores v1 , v2 ,. . . , vk generan a V y que
{v1 , v2 , . . . , vk } es un conjunto generador de V .
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Lineal:
Espacios
Generados
Departamento
de
Matemáticas
Intro
E. Generado
Operatividad
C(A)
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Operatividad
Tenemos que
• De acuerdo a nuestra definición: x es elemento de
Gen {v1 , v2 , . . . , vk } si y sólo si x es una combinación lineal
formada con los vectores v1 , v2 ,. . . , vk . Buscar en un
espacio generado, es buscar entre combinaciones lineales.
• Por nuestro resultado clave 1: x es una combinación lineal
entre los vectores v1 , v2 ,. . . , vk si y sólo si el sistema con
aumentada [v1 v2 · · · vk |x] es consistente.
Con estos dos hechos concluimos:
Resultado Clave 2:
x es elemento de Gen {v1 , v2 , . . . , vk } si y sólo si
[v1 v2 · · · vk |x] es consistente.
Algebra
Lineal:
Espacios
Generados
Departamento
de
Matemáticas
Intro
E. Generado
Espacio Columna
Para una matriz A, el espacio columna de A es el espacio
generado por las columnas de la matriz A. La simbologı́a es
Operatividad
C(A)
C(A) = el espacio generado por las columnas de A
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Y directamente de nuestra definición tenemos:
Teorema
b ∈ C(A) si y sólo si [A|b] es consistente.
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Lineal:
Espacios
Generados
Departamento
de
Matemáticas
Intro
E. Generado
Operatividad
C(A)
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo
Indique si:
b=
3
−2
∈ Gen a1 =
3
1
, a2 =
2
2
Algebra
Lineal:
Espacios
Generados
Departamento
de
Matemáticas
Ejemplo
Indique si:
b=
3
−2
∈ Gen a1 =
3
1
, a2 =
2
2
Intro
E. Generado
Operatividad
Ver si b es combinación lineal de a1 y de a2 equivale a buscar
las constantes c1 y c2 para que se cumpla
C(A)
Ejemplo 1
c1 · a1 + c2 · a2 = b
Ejemplo 2
lo cual equivale resolver [a1 a2 |b]:




c1 c2
c1 c2
c1 c2
rref
= 3 1
3  −−→  1 0
2 
a1 a2 b
2 2 −2
0 1 −3
Como el sistema tiene solución, el vector b sı́ es combinación
lineal de a1 y de a2 ; de hecho la solución es c1 = 2 y c2 = −3:
Por lo tanto, es cierto que b ∈ Gen {a1 , a2 }
Algebra
Lineal:
Espacios
Generados
Departamento
de
Matemáticas
Intro
E. Generado
Operatividad
C(A)
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Algebra
Lineal:
Espacios
Generados
Departamento
de
Matemáticas
Intro
E. Generado
Operatividad
C(A)
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Algebra
Lineal:
Espacios
Generados
Departamento
de
Matemáticas
Intro
E. Generado
Operatividad
C(A)
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Algebra
Lineal:
Espacios
Generados
3 · a2
Departamento
de
Matemáticas
2 · a2
2 · a1
Intro
E. Generado
1 · a2
Operatividad
C(A)
Ejemplo 1
Ejemplo 2
−1 · a1
−2 · a1
−1 · a2
−2 · a2
−3 · a2
1 · a1
Algebra
Lineal:
Espacios
Generados
3 · a2
Departamento
de
Matemáticas
2 · a2
2 · a1
Intro
E. Generado
1 · a2
Operatividad
C(A)
Ejemplo 1
Ejemplo 2
−1 · a1
−2 · a1
−1 · a2
−2 · a2
−3 · a2
1 · a1
Algebra
Lineal:
Espacios
Generados
3 · a2
Departamento
de
Matemáticas
2 · a2
2 · a1
Intro
E. Generado
1 · a2
Operatividad
1 · a1
C(A)
Ejemplo 1
Ejemplo 2
−1 · a1
−2 · a1
−1 · a2
−2 · a2
−3 · a2
b = 2 · a1 + −3 · a2
Algebra
Lineal:
Espacios
Generados
Departamento
de
Matemáticas
Ejemplo
Indique si
Intro
E. Generado
Operatividad
C(A)
Ejemplo 1
Ejemplo 2
y=
5
1
∈ Gen x1 =
5
20
, x2 =
4
16
Buscar la combinación lineal de x1 y de x2 que dé y equivale a
resolver el sistema cuya aumentada es:


c1 c2
c1 c2
1 4 0
rref


=
5 20 5 −−→
0 0 1
x1 x2 y
4 16 1
como tenemos pivote en la columna de las constantes, el
sistema es inconsistente y por tanto, concluimos que y no es
combinación lineal de x1 y de x2 . Por lo tanto, es cierto que
y∈
/ Gen {x1 , x2 }.