capitulo 5 - DSpace en ESPOL

CAPITULO 5
_______________________________
“La geometría es una ciencia del conocimiento
del ser, pero no de lo que esta sujeto a la
generación o a la muerte. La geometría es una
ciencia de lo que siempre es”
Platón.
TRAYECTORIAS EN R3
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
Interpretación de una curva como una función vectorial de
variable escalar.
Definiciones de velocidad, rapidez, aceleración y longitud de
curva.
Vectores unitarios elementales, curvatura y componentes de la
aceleración para una curva en R3.
Fórmulas prácticas para calcular las componentes tangencial,
normal de la aceleración y curvatura.
Funciones vectoriales de variable vectorial.
Rotacional y divergencia de un campo vectorial.
Campos vectoriales gradientes.
5.1 INTERPRETACION DE UNA CURVA
VECTORIAL DE VARIABLE ESCALAR.
COMO
UNA
FUNCION
Cuando estudiamos las ecuaciones paramétricas de una curva plana en el curso
de cálculo elemental para funciones de variable real, vimos que una forma de
parametrizar una función de variable real y = f (x ) es de la forma:
 x = g (t )
; esto es, expresar tanto la variable independiente x como la

 y = f ( g (t ))
variable dependiente y en función de un tercer parámetro t .
De igual forma, en el capítulo 2, estudiamos la forma paramétrica de expresar
una recta en R3. Sin temor a equivocarnos podemos expresar una curva cualquiera en
 x = x(t )

, este razonamiento lo
R en forma paramétrica de la forma:  y = y (t )
 z = f ( x(t ), y (t ))

3
podemos generalizar a la representación paramétrica de una curva en Rn, de la forma:
 x1 = x1 (t )
 x = x (t )
2
 2
 •
, estas parametrizaciones son funciones

 •
 x n = x n (t )

 z = f ( x1 (t ), x 2 (t ),......., x n (t ))
R → R 2 para una curva plana, de R → R 3 para una curva en el
n
espacio tridimensional y de R → R para una curva en el espacio n – dimensional;
vectoriales; de
estas parametrizaciones de trayectorias son funciones vectoriales de la forma:
σ (t ) = ( x1 (t ), x 2 (t ),........x n (t ))
Esta función, lo que hacen es transformar un número real del dominio en un
vector del espacio n – dimensional en el rango o imagen de la función; así:
t ∈ (a, b) ⊂ R → ( x1 (t ), x 2 (t ),........x n (t )) ∈ U ⊂ R n , a estas se las
conoce
como
trayectorias
σ (t ) : (a, b) ⊂ R → R
n
.
en
Rn
y
son
funciones
vectoriales
Entonces,
figura 5-1.
σ (t ) : (a, b) ⊂ R → R 3 , es una trayectoria en R3 como lo indica la
Z
σ (t )
σ (a)
)
b
(
a
Figura 5-1
σ (b)
Y
X
Definición:
Una trayectoria en Rn es una función vectorial de la forma:
σ (t ) : t ∈ (a, b) ⊂ R → ( x1 (t ), x 2 (t ),........x n (t )) ⊂ R n
Donde
x1 (t ), x 2 (t ),........, x n (t ) son sus componentes. Esta trayectoria es de
1
tipo C (diferenciable, hasta sus derivadas contínuas) en su dominio (a, b) si cada
una de sus componentes son también de tipo C1 en (a, b); σ ( a ), σ (b) son los
extremos de la trayectoria y su imagen es una curva en Rn
Entonces para una trayectoria en R3:
σ (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t )) ; x(t ) , y (t )
y z (t ) son las componentes de la trayectoria y esta es diferenciable en (a, b) si y sólo
si cada una de sus componentes son diferenciables en (a, b).
Ejemplo 5-1
Analizar el gráfico de la función: σ (t ) = (t − sent ,1 − cos t ) ,
que es una curva plana conocida como la cicloide, formada por la
trayectoria que describe un punto de un círculo rodante de radio 1.
Solución:
El círculo esta en el plano “X,Y” y rueda sobre el eje “X”, de tal
forma que su centro se mueve hacia la derecha sobre la recta
y = 1 con rapidez constante de 1 radián por unidad de tiempo. El
punto del círculo rodante tiene un movimiento más complicado y
es la imagen de σ (t ) , la curva que va describiendo se conoce
como la cicloide, la misma que se representa en la figura 5-2
1
Figura 5-2
Ejemplo 5-2
Representar una circunferencia de radio r como una trayectoria en
R2 y discutir su gráfico.
Solución:
El círculo de radio r es una trayectoria en R2 y esta dada por la
función vectorial:
σ (t ) = (r cos t , rsent ) que es la
parametrización de la circunferencia de radio r, usando
coordenadas polares, su gráfico se aprecia en la figura 5-3.
y
σ (t )
•
r
x
Figura 5-3
Ejemplo 5-3
Analizar el gráfico de la función: σ (t ) = ( a cos t , asent , bt ) ,
que es una curva en R3, conocida con el nombre de hélice circular
recta.
Solución:
Esta curva representa una espiral circular donde a es el radio de la
espira y b es el espaciamiento entre espiras, su gráfico se lo puede
z
apreciar en la figura 5-4.
σ (t )
b
a
y
(a ,0,0 )
Figura 5-4
x
5.2 DEFINICIONES DE VELOCIDAD,
LONGITUD DE CURVA.
RAPIDEZ,
ACELERACION
Y
Si consideramos una partícula de masa desplazándose por una trayectoria σ (t ) ,
la forma vectorial de la trayectoria representa el desplazamiento de la partícula en
función del tiempo t, si la trayectoria es diferenciable, su diferencial como lo vimos en
el capítulo 3 sección 3-5, tiene una singular importancia en el estudio del
desplazamiento de dicha partícula.
Definición:
Sea
de
σ (t ) : t ∈ (a, b) ⊂ R → ( x1 (t ), x 2 (t ),.......x n (t )) ∈ R n , una trayectoria
1
tipo C en (a, b) el diferencial de σ (t ) es la matriz columna
 x1 ' (t ) 
 x ' (t )
 2 
D[σ (t )] =  •  , que expresada como vector representa la velocidad de una


 • 
 x n ' (t )
partícula que se desplaza por la trayectoria en el tiempo t y es tangente a la misma
en cualquier punto.
Si la trayectoria esta en R3 es de la forma
σ (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t )) ,
su
velocidad es el vector σ ' (t ) = x ' (t )i + y ' (t ) j + z ' (t ) k , que expresado como
matriz columna es el diferencial de la función vectorial, y es tangente a la
trayectoria en cualquier punto.
Definición:
Sea
σ (t ) : t ∈ (a, b) ⊂ R → ( x1 (t ), x 2 (t ),.......x n (t )) ∈ R n ,
de tipo
una trayectoria
1
C en (a, b) la norma del vector velocidad es la rapidez; representada por:
S (t ) = σ ' (t )
Para una trayectoria en R3 la rapidez será:
S (t ) = ( x' (t )) 2 + ( y ' (t )) 2 + ( z ' (t )) 2
Definición:
σ (t ) : t ∈ (a, b) ⊂ R → ( x(t ), y (t ), z (t )) ∈ R 3 , una trayectoria de tipo
C 1 en R3, la recta tangente a la curva en σ (t 0 ) , en forma vectorial y en
función del parámetro λ esta dada por:
Sea
l (λ ) = σ (t 0 ) + λσ ' (t 0 )
La recta tangente a la curva
punto será:
x(λ ) = x(t 0 ) + λx' (t 0 )
y (λ ) = y (t 0 ) + λy ' (t 0 )
z (λ ) = z (t 0 ) + λz ' (t 0 )
σ (t )
en R3, en forma paramétrica y en cualquier
Ejemplo 5-4
Solución:
Calcular el vector velocidad y la rapidez de la hélice
σ (t ) = (cos t , sent , t ) en R3
− sent 
v = σ ' (t ) =  cos t  ; v' = (− sent )i + (cos t ) j + k
 1 
S (t ) = v = (− sent ) 2 + (cos t ) 2 + 1 = 2
Ejemplo 5-5
Considere una partícula
que se
mueve
sobre la hélice
3
σ (t ) = (cos t , sent , t ) en R ; inicia su movimiento en el punto
σ (0) . En el tiempo t = π la partícula deja la trayectoria y vuela
hacia
fuera
por
la
tangente, encontrar la
posición de la partícula en
el tiempo t = 2π
suponiendo que ninguna
fuerza externa actúa sobre
ella después de abandonar
la trayectoria.
Solución:
z
l (π )
y = σ ' (π )
σ (π )
σ (t ) = (cos t , sent , t )
l (λ )
y
σ ' (t ) = (− sent , cos t ,1)
σ (0) = (1,0,0)
σ (0) = (1,0,0)
σ (π ) = (−1,0, π =)
σ ' (t ) = (0,−1,1)
x
Figura 5-5
Como se aprecia en la figura 5-5 el recorrido total lo realiza la
partícula por dos trayectorias; la primera es sobre la hélice σ (t ) ,
durante un tiempo t = π y la segunda sobre la recta tangente a la
hélice en el punto σ (π ) y durante un tiempo t = π , también, por
cuanto el tiempo total del recorrido es 2π ; por lo tanto al cabo del
tiempo t = 2π la partícula estará sobre la recta tangente y para
esto es necesario encontrar la ecuación de la recta tangente a la
hélice en el punto σ (π ) :
l (λ ) = (−1,0, π ) + λ (0,−1,1)
Luego la posición final de la partícula será en el punto l (π )
l (π ) = (−1,−π ,2π ) ; por lo tanto en el tiempo t = 2π la
partícula se encuentra en el punto (−1,−π ,2π )
Como la rapidez, representa el tamaño del vector velocidad en un punto dado, es
razonable pensar que la longitud del recorrido de una partícula desde t = a , hasta
t = b sea el limite de la longitud total de la poligonal que se formaría por los vectores
entre cada dos puntos, hasta cubrir el total del recorrido, cuando se toman infinitos
vectores desde t = a hasta t = b . Esta observación se la resume en la siguiente
definición.
Definición:
Sea
1
σ (t ) : t ∈ (a, b) ⊂ R → ( x(t ), y (t ), z (t )) ∈ R 3 ,
una trayectoria de tipo
3
C en R , la longitud de curva desde t = a hasta t = b , esta dada por:
b
l (σ ) = ∫ σ ' (t ) dt
a
Otra forma de expresar la longitud de curva será:
l (σ ) = ∫
b
a
( x' (t )) 2 + ( y ' (t )) 2 + ( z ' (t )) 2 dt
Si la curva esta en R2, la longitud de curva será:
l (σ ) = ∫
b
a
( x' (t )) 2 + ( y ' (t )) 2 dt
Definición:
Sea
σ (t ) : t ∈ (a, b) ⊂ R → ( x1 (t ), x 2 (t ),.......x n (t )) ∈ R n ,
2
una trayectoria
de tipo C en (a, b) la aceleración de una partícula de masa que se desplaza por
la trayectoria esta dada por: a = σ ' ' (t ) = ( x ' ' (t ), y ' ' (t ), z ' ' (t ))
Entonces resumiendo las definiciones que hemos estudiado hasta este punto
para una curva en R3 son:
Definiciones:
σ (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ))
“Vector posición del punto”
v = σ ' (t ) = ( x' (t ), y ' (t ), z ' (t ))
“Vector velocidad del punto”
a = σ ' ' (t ) = ( x' ' (t ), y ' ' (t ), z ' ' (t ))
“Vector aceleración del punto”
S (t ) = σ ' (t ) =
l (σ ) = ∫
b
a
Ejemplo 5-6
[x' (t )]2 + [ y ' (t )]2 + [z' (t )]2
“Rapidez (escalar)”
[x' (t )]2 + [ y ' (t )]2 + [z ' (t )]2 dt
”Longitud de arco”
Encontrar la longitud de una circunferencia de radio r:
σ (θ ) = (r cos θ , rsenθ )
2π
Solución:
L=
∫
(− r Senθ ) 2 + (r Cosθ ) 2 dθ
0
2π
L=
∫
r 2 Sen2θ + r 2 Cos 2θ dθ
0
2π
L=
Ejemplo 5-7
2π
∫
r dθ = r dθ = 2πr
0
0
2
∫
Encontrar la longitud de curva de la hipocicloide:
σ (t ) = (cos 3 t , sen 3 t ) , de t = 0
Solución:
a t = 2π
Como podemos ver en la figura 5-6, la hipocicloide no es una
curva diferenciable en 0,2π ; por lo tanto, para encontrar su
longitud total lo podemos hacer calculando la longitud de una de
sus ramas; del punto (1,0) al punto (0,1) y por ser simétrica
esta longitud la multiplicamos por 4, así:
[
]
1
3
3
Imagen de σ (t ) = (cos t , sen t )
σ ' (t )
σ (t )
1
1
Figura 5-6
1
π
L = 4 ∫ 2 (−3 cos 2 t sent ) 2 + (3sen 2 t cos t ) 2dt
0
π
L = 12 ∫ 2 cos 4 t sen 2 t + sen 4 t cos 2t dt
0
π
 sen 2 t  2
L = 12 ∫ 2 sent cos t dt = 12 

0
 2 0
π
L=6
Ejemplo 5-8
Encontrar la longitud de trayectoria
σ (t ) = (| t |, | t − 12 |,0 )
de
[− 1,1] .
Solución:
Este recorrido se lo puede apreciar en la figura 5-7 y por tratarse de
una curva con la presencia de valor absoluto tampoco es
diferenciable de − 1,1 y la podemos tomar por fragmentos de la
siguiente manera:
[
]
σ 1 (t ) = (−t ,−t + 12 ,0) de [− 1,0]
σ 2 (t ) = (t ,−t + 12 ,0) de [0, 12 ]
σ 3 (t ) = (t , t − 12 ,0) de [12 ,1]
Y
σ (−1)
1
( )
σ 12
σ ( 0)
( )
σ 12 1
X
2
Figura 5-7
L = L1 + L2 + L3
L=∫
0
−1
1
1
1 + 1dt + ∫ 2 1 + 1dt + ∫1 1 + 1dt
0
L= 2+
2
2
+
2
2
2
=2 2
(
Ejemplo 5-9
Dada la hélice σ (t ) = cos 2t , sen 2t , 5t
calcular:
a.- La velocidad en t = 2π .
b.- La aceleración en t = 2π .
c.- La rapidez en t = 2π .
d.- la longitud de curva desde t = 0 a t = 4π .
Solución:
a.-
σ ' (t ) = (−2 sen 2t ,2 cos 2t , 5 )
v(2π ) = σ ' (2π ) = (0,2, 5)
b.-
σ ' ' (t ) = (−4 cos 2t ,−4 sen 2t ,0)
a (2π ) = σ ' ' (2π ) = (−4,0,0)
c.-
S (t ) = 4sen 2 2t + 4 cos 2 2t + 5 = 3
S (2π ) = 3 ; constante, independiente de t.
4π
d.-
L = ∫ 3dt = 12π
0
)
en
[0,4π ] ,
5.3 VECTORES
UNITARIOS
ELEMENTALES
CURVATURA
COMPONENTES DE LA ACELARACION PARA UNA CURVA EN R3.
Y
Ahora aplicaremos los conceptos básicos estudiados en la sección anterior al
movimiento de una partícula sobre la trayectoria y a la interpretación geométrica de la
misma. Cuando una partícula se desplaza sobre una trayectoria C, su velocidad puede
cambiar lenta o rápidamente dependiendo de si la curva se dobla en forma gradual o
brusca, respectivamente. Para medir la rapidez con que se encorva, o cambia de forma
una curva, se usa el concepto de curvatura, que en otras palabras seria la mediad de la
rapidez con que la curva se tuerce o se dobla en un punto dado.
Comencemos con los conceptos básicos que son; los de Vector Tangente
Unitario y Vector Normal Unitario.
Definición:
Sea
σ (t ) : t ∈ (a, b) ⊂ R → ( x1 (t ), x 2 (t ),.......x n (t )) ∈ R n ,
de tipo C
2
en (a, b), se conoce como vector tangente unitario, denotado por
T (t ) , a: T (t ) =
σ ' (t )
σ ' (t )
denotado por N (t ) , a:
; de igual forma se conoce como vector normal unitario,
N (t ) =
T ' (t )
.
T ' (t )
Como se puede apreciar en la
figura 5-8 T (t ) y N (t ) son vectores
ortogonales y el primero es tangente a la
curva y el segundo normal a la misma;
además es fácil demostrar que T (t ) y
N (t ) son ortogonales.
Ejemplo 5-10
una trayectoria
Demostrar que los
vectores tangente y
normal
unitarios
son perpendiculares
en cualquier punto
de la curva.
Z
P
C
T (t )
N (t )
σ (t )
Y
Figura 5-8
X
Solución:
T (t ) = 1 ; por ser un vector unitario
T (t ) • T (t ) = 1 ; propiedad del producto interno, sección 1-5
D[T (t ) • T (t )] = D[1] ; aplicando la regla de la cadena
T ' (t ) • T (t ) + T (t ) • T ' (t ) = 0
2T (t ) • T ' (t ) = 0 ⇒ lo que demuestra que T (t ) y T ' (t ) son
ortogonales.
Ejemplo 5-11
Dada la hélice
σ (t ) = (4 cos t ,4 sent ,3t )
para t ≥ 0 , encontrar
los vectores T (t ) y N (t ) en cualquier punto.
Solución:
σ ' (t ) = (−4 sent ,4 cos t ,3)
T (t ) =
(−4 sent ,4 cos t ,3)
= (− 45 sent , 54 cos t , 53 )
5
T ' (t ) = (− 45 cos t ,− 45 sent ,0)
(− 45 cos t ,− 45 sent ,0)
N (t ) =
= (− cos t ,− sent ,0)
4
5
A continuación; primero definamos curvatura para una curva plana, para luego
hacerlo para una curva en R3.
Como lo dijimos anteriormente,
una curva plana puede parametrizarce de
muchas maneras; supongamos que la
paramatrizamos en función de la longitud
de arco s , como lo vemos en la figura 59 cualquier punto de la curva plana C
estará dado por: r ( s ) = ( x ( s ), y ( s )) ,
donde s , en este caso, es la longitud de
curva de los puntos A a P, derivando con
respecto a s se obtiene el vector tangente
r ' ( s) =
dx
dy
i+
j
ds
ds
y su norma es:
Y
P
r ' ( s)
s
C
A
r (s )
X
Figura 5-9
2
2
2
 dx   dy 
 ds 
r ' ( s ) =   +   =   = 1 ; por cuanto, como se vio en el
 ds   ds 
 ds 
curso de cálculo elemental para funciones de variable real, el diferencial de longitud de
2
arco es:
2
 dx   dy 
ds = (dx) 2 + (dy ) 2 =   +   dt .
 dt   dt 
En base a lo anterior
punto P, como se aprecia en
la figura 5-9, a este vector lo
denotamos por T (s ) . En la
figura 5-10 observamos que
θ es el ángulo que forma
T (s ) con el vector unitario
i , la rapidez de variación de
θ con respecto a s esta
dθ
medida por
y en el
ds
r ' ( s ) es un vector unitario tangente a la curva C en el
R
Y
Y
V
Q
T (s )
C
P
θ
W
i
mismo gráfico podemos
X
apreciar que esta rapidez de
variación es pequeña en los
puntos Q y V, donde la
Figura 5-10
curva se dobla levemente;
mientras que en los puntos R
y W esta rapidez de
variación es grande y aquí la
curva se dobla en forma abrupta. Estas observaciones se concretan en la siguiente
definición.
Definición:
Sea C una curva plana regular, dada por:
r ( s ) = ( x( s ), y ( s )) , donde el parámetro
s es la longitud de curva y sea θ el ángulo que forma el vector tangente unitario
T (s ) con el vector unitario i , la curvatura k de la curva C en el punto P(x, y) esta
dada por:
k=
dθ
ds
Ejemplo 5-12
Demostrar que la curvatura de una recta es cero en todos sus
puntos.
Y
Solución:
Como se aprecia en la
figura 5-11, en todos los
puntos de la recta l el
ángulo θ es constante;
l
T (s )
dθ
=0 y
ds
por lo tanto k = 0 en
θ = cte
P
por lo tanto
i
X
todos sus puntos.
Figura 5-11
Ejemplo 5-13
Demostrar que la curvatura en todos los puntos de una
circunferencia de radio R es
Solución:
1
.
R
En la figura 5-12
hemos graficado una
circunferencia
de
radio R y con centro
en el origen; P es un
punto
de
la
circunferencia en el
primer cuadrante α
es el ángulo AOP
medido en radianes y
s es la longitud de
arco AP, por lo tanto:
Y
Y
T (s )
θ
P
α
0
A(k ,0)
Figura 5-12
s = Rα ; α =
s
;
R
en la figura 5-12 podemos ver:
θ =α +
π
2
=
s π
+ ; derivando con respecto a s:
R 2
X
dθ 1
dθ
1
= +0 ⇒ k =
=
ds R
ds
R
Como mensaje del ejemplo 5-13 podemos definir radio de curvatura, denotado
por ρ , como el radio de una circunferencia imaginaria a la que pertenecería el arco de
curva C; con esto es fácil interpretar que el radio de curvatura de un recta es infinito y
el de cualquier otra curva regular que no sea recta es un valor finito definido por:
ρ=
1
; el inverso de la curvatura.
k
Si la curva plana esta como
5-1
y = f (x) :
tan θ = y ' de donde, θ = tan −1 y '
Derivando
θ
con respecto a
5-2
x y aplicando la regla de la cadena se tiene:
dθ
dθ dθ ds
dθ
dx
=
, ⇒
=
ds
dx ds dx
ds
dx
Como la curvatura es el valor absoluto de la variación de
de la ecuación 5-3:
5-3
θ
con respecto a
s,
dθ
dx ; De la ecuación 5-2;
dx
dθ
1
=
y ' ' y por otro lado ds = 1 + ( y ' ) 2 ; entonces:
2
dx 1 + ( y ' )
k=
k=
ds
y' '
[1 + ( y' ) ]
2
3
2
5-4
La ecuación 5-4 serviría para calcular la curvatura de una curva plana cuando se
tiene a la curva de la forma normal de expresar una función de variable real
y = f ( x) .
Si la curva esta dada en forma paramétrica
σ (t ) = ( x(t ), y (t ))
tenemos:
y ' (t )
−1  y ' (t ) 
 , derivando esta última:
; θ = tan 
x' (t )
 x' (t ) 
dθ
1
x' (t ) y ' ' (t ) − x' ' (t ) y ' (t )
=
, además:
2
dt 1 + ( y ' (t ) x' (t ) )
( x' (t )) 2
ds
= ( x' (t )) 2 + ( y ' (t )) 2 , entonces:
dt
tan θ =
k=
x' (t ) y ' ' (t ) − x' ' (t ) y ' (t )
dθ dt
dθ
=
=
3
ds
ds dt
( x' (t )) 2 + ( y ' (t )) 2 2
[
]
5-5
La ecuación 5-5 sirve para calcular la curvatura de una curva plana cuando esta
está dada en forma paramétrica.
Sea C una curva regular en el espacio tridimensional, el análisis de la curvatura
no puede hacerse en forma análoga al que acabamos de hacer para una curva plana por
cuanto el ángulo θ no es único; por lo tanto el análisis lo vamos hacer desde otro
enfoque que es similar al usado para curvas en dos dimensiones.
En dos dimensiones, el vector tangente unitario
escribir:
T ( s ) se lo puede, también,
T ( s ) = cos θi + senθj , donde θ es el mismo ángulo del que hablamos
anteriormente, derivando esta última con respecto a s tenemos:
T ' ( s ) = − senθ
T ' (s) =
dθ
dθ
dθ
i + cos θ
j=
(− senθi + cos θj ) , su norma será:
ds
ds
ds
dθ
dθ
− senθi + cos θj =
=k.
ds
ds
Este es el enfoque que usaremos para analizar la curvatura en tres dimensiones,
escribiremos el vector tangente unitario T ( s ) sin hacer referencia al ángulo θ y luego
definiremos k como:
k = T ' ( s)
5-6
Dada la curva en R3 de la forma
anteriormente:
2
r ( s ) = ( x( s ), y ( s ), z ( s )) , como lo vimos
2
2
2
 dx   dy   dz 
 ds 
r ' (s) =   +   +   =   = 1
 ds   ds   ds 
 ds 
Lo que quiere decir que
T (s) = r ' (s ) .
Si la curva esta dada en función del parámetro t , de la forma:
σ (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t )) , el vector tangente unitario también lo podemos escribir de
la forma:
σ ' (t )
σ ' (t )
T (s) =
En la 5-7 como
y por tanto:
σ ' (t )
σ ' (t ) = T ( s ) σ ' (t )
es la velocidad
5-7
v(t ) y σ ' (t ) es la rapidez conocida
como la razón de cambio de la longitud de curva con respecto al tiempo, tenemos:
v(t ) =
ds
T ( s ) , derivando esta expresión con respecto al tiempo, tenemos:
dt
a (t ) = v' (t ) =
d 2s
ds d (T ( s )) d 2 s
ds
ds
T
(
s
)
+
= 2 T ( s ) + T `( s )
2
dt
dt
dt
dt
dt
dt
a (t ) = v' (t ) =
d 2s
 ds 
T ( s ) +   T `( s )
2
dt
 dt 
2
5-8
Como se demostró en el ejemplo 5-10, las vectores T (s ) y T ' ( s ) son
perpendiculares; entonces el normal unitario en función del parámetro s esta dado por:
N ( s) =
T ' (s)
, remplazando 5-6 en esta última tenemos:
T `( s )
N (s) =
T ' (s)
, o lo que es lo mismo: T ' ( s ) = kN ( s )
k
5-9
Remplazando 5-9 en 5-8, tenemos:
2
d 2s
 ds 
a (t ) = v' (t ) = 2 T ( s ) + k   N ( s )
dt
 dt 
5-10
Como la aceleración se puede escribir de la forma:
a (t ) = aT T ( s ) + a N N ( s )
Z
donde
d 2s
aT = 2
dt
la
componente
tangencial de la aceleración y
N ( s)
X
es
aN
la componente normal de la
aceleración; podemos deducir de la
ecuación 5-10, que:
T ( s)
 ds 
aN = K  
 dt 
aT
a (t )
aT =
Y
2
dv d 2 s
=
dt dt 2
5-11
2
 ds 
a N = kv = k   5-12
 dt 
Figura 5-13
2
La
figura
5-13
permite
apreciar cada una de estas componentes de la aceleración.
5.4 FÓRMULAS PRÁCTICAS PARA CALCULAR LAS COMPONENTES
TANGENCIAL, NORMAL DE LA ACELERACIÓN Y CURVATURA.
Dada una curva en R3 como una función vectorial de la forma
σ (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t )) , la componente tangencial de la aceleración es la
proyección escalar de la aceleración en la dirección del vector tangente unitario; por lo
tanto:
aT = a(t ) • T (t ) = σ ' ' (t ) •
aT =
σ ' (t )
σ ' (t )
, de aquí:
σ ' (t ) • σ ' ' (t )
σ ' (t )
5-13
a (t ) en función de T (s ) y N (s ) en la
ecuación 5-10, también podemos expresar v(t ) en función de T (s ) de la siguiente
De igual forma que calculamos la
forma:
v(t ) = vT ( s ) =
ds
T ( s ) , ahora hagamos el producto vectorial v(t ) × a (t ) :
dt
2
2

 ds
 d s
 ds 
v(t ) × a (t ) =  T ( s)  ×  2 T ( s) + k   N ( s)  , o lo que es lo mismo:

 dt
  dt
 dt 

3
2
 ds  d s 
 ds 
v(t ) × a(t ) =   2 (T ( s) × T ( s) ) + k   (T ( s ) × N ( s) ) , como:
 dt  dt 
 dt 
3
 ds 
T ( s ) × T ( s ) = 0 ⇒ v(t ) × a (t ) = k   (T ( s ) × N ( s ) , sacando la
 dt 
norma en esta última igualdad vectorial, y sabiendo que: T ( s ) × N ( s ) = 1 , tenemos:
 ds 
v(t ) × a (t ) = k  
 dt 
3
5-14
Viendo la ecuación 5-12, podemos decir que la componente normal de la
aceleración deducida de la ecuación 5-14, y sabiendo que
aN =
σ ' (t ) × σ ' ' (t )
σ ' (t )
ds
es la rapidez,es:
dt
5-15
De la 5-14 también podemos deducir una expresión práctica para la curvatura:
k=
σ ' (t ) × σ ' ' (t )
σ ' (t )
3
5-16
Ejemplo 5-14
Dada la trayectoria:
σ (t ) = (1 + cos t − sent , sent + cos t ) , encontrar:
a.- La velocidad y la rapidez.
b.- La aceleración tangencial, la aceleración normal, la curvatura y
el radio de curvatura
Solución:
a.-
σ (t ) = (1 + Cost − Sent )i + ( Sent + Cost ) j
v = D[σ (t )] = σ ' (t ) = (− Sent − Cost )i + (Cost − Sent ) j
rapidez = v = (−Cost − Sent ) 2 + (Cost − Sent ) 2
v = cos 2 t + 2 cos tsent + sen 2 t + cos 2 t − 2 cos tsent + sen 2 t
v = 2
b.- a = σ ' ' (t ) = (− cos t + sent )i + (− sent − cos t ) j
aT =
(− sent − cos t )(− cos t + sent ) + (cos t − sent )(− sent − cos t )
2
aT = 0
i
σ ' (t ) × σ ' ' (t ) = − sent − cos t
j
cos t − sent
− cos t + sent − sent − cos t
σ ' (t ) × σ ' ' (t ) = 2k
aN =
k
0
0
2
=2
2
2
2
a = aT + a N = 2
a = sen 2 t − 2 cos tsent + cos 2 t + sen 2 t + 2 sent cos t + cos 2 t
a = 2
k=
ρ=
Ejemplo 5-15
2
( 2)
3
=
1
2
=
2
2
1
= 2
k
Dada la trayectoria:
σ (t ) = (t , t 2 , t 3 ) ,
encontrar:
a.- La velocidad y la rapidez, para t = 1 .
b.- La aceleración tangencial, la aceleración normal, la curvatura y
el radio de curvatura, para t = 1 .
Solución:
a.-
σ (t ) = ti + t 2 j + t 3 k
v = D[σ (t )] = σ ' (t ) = i + 2tj + 3t 2 k
vt =1 = i + 2 j + 3k
rapidez = v = (1) 2 + (2t ) 2 + (3t 2 ) 2 = 1 + 4t 2 + 9t 4
v t =1 = 1 + 4 + 9 = 14
b.- a = σ ' ' (t ) = 2 j + 6tk
aT =
4t + 18t 3
1 + 4t 2 + 9t 4
aTt =1 =
22 11 14
=
7
14
i
j
k
σ ' (t ) × σ ' ' (t ) = 1 2t 3t 2
0
2
6t
σ ' (t ) × σ ' ' (t ) = 6t 2 i − 6tj + 2k
36t 4 + 36t 2 + 4
aN =
1 + 4t 2 + 9t 4
a N t =1 =
Para
38
7
t = 1:
2
2
a = aT + a N =
1960
= 40
49
a = 4 + 36 = 40
k t =1 =
ρ t =1 =
76
( 14 )
3
=
1 38
14 7
1
7
= 14
k
38
5.5 FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE VECTORIAL.
En el capitulo 2 sección 2-6, cuando hablamos de las funciones de varias
variables, mencionamos a las funciones vectoriales de variable vectorial como aquellas
que transforma un vector del dominio Rn en otro vector del rango Rm; esto es:
Podemos citar algunos ejemplos prácticos de este tipo de funciones como:
Imaginémonos un gas comprimido en una cámara; y en el, una función vectorial
que relaciona un punto cualquiera del interior de la cámara con la velocidad del gas de
una partícula del mismo situada en dicho punto del interior de la cámara; esta función
vectorial relaciona:
Como se puede ver es una función vectorial de R3 a R3
5.6 ROTACIONAL Y DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL.
Definición:
Dado un campo vectorial
F : U ⊆ R 3 → R 3 , F = (F1 , F2 , F3 ) diferenciable,
definido en el conjunto abierto
producto vectorial
(∇ × F )
∂ ∂ ∂
U en R 3 , ∇ el operador  , ,  ; al
 ∂x ∂y ∂z 
se lo llama rotacional del campo y se lo simboliza
rot F .
rot F = (∇ × F ) =
i
j
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
F1
F2
F3
 ∂F ∂F   ∂F ∂F   ∂F ∂F 
rot F =  3 − 2 i +  1 − 3  j +  2 − 1 k
∂z   ∂z
∂x   ∂x ∂y 
 ∂y
•
•
•
Observaciones
El rotor del campo es un vector
Es aplicable para verificar si un campo vectorial es gradiente o no.
Es aplicable para verificar si un campo vectorial es de fuerzas rotacionales o
no.
Ejemplo 5-16
Encontrar
(
el
)
rotacional
(
)
F ( x, y, z ) = x + y i + xyz j + z + x k
2
2
del
campo
Solución:
i
∂
rot F =
∂x
x2 + y
j
∂
∂y
xyz
k
∂
∂z
z2 + x
 ∂ 2
 ∂ 2
∂ 2
∂
= 
z + x − ( xyz )i + 
x +y −
z +x
∂z
∂x
 ∂y
  ∂z
(
)
(
)
(
∂

∂ 2
+  ( xyz ) −
x + y k
∂y
 ∂x

= (0 − xy )i + (0 − 1) j + ( yz − 1)k
rot F = − xy i − j + ( yz − 1)k (
)
Teorema 5-1
Sea
R3 .
f : U ⊂ R 3 → R ; una función de clase C2 definida el conjunto abierto U de
Su gradiente ∇f : U ⊆ R 3 → R 3 , ∇f =
(
∂f
∂x
)
, ∂∂fy , ∂∂fz . Entonces el rotacional
del gradiente es cero.
Demostración:
rot ∇f =
i
j
k
∂
∂x
∂f
∂x
∂
∂y
∂f
∂y
∂
∂z
∂f
∂z
 ∂2 f ∂2 f   ∂2 f ∂2 f   ∂2 f
∂2 f 
i + 
 j + 
k
= 
−
−
−
 ∂z∂y ∂y∂z   ∂x∂z ∂z∂x   ∂y∂x ∂x∂y 
= (0,0,0 )
∴ rot ∇f = 0
Definición:
) j

Dado un campo vectorial
F : U ⊆ R 3 → R 3 , F = (F1 , F2 , F3 ) diferenciable,
definido en el conjunto abierto
producto vectorial
∂ ∂ ∂
U en R 3 , ∇ el operador  , ,  ; al
 ∂x ∂y ∂z 
(∇ • F ) se lo llama divergencia del campo y se lo simboliza
div F .
∂ ∂ ∂
∂F ∂F ∂F
div F = (∇ • F ) =  , ,  • (F1 , F2 , F3 ) = 1 + 2 + 3
∂x ∂y
∂z
 ∂x ∂y ∂z 
•
•
Observaciones
La divergencia del campo es un escalar
La divergencia sólo se aplica para funciones vectoriales
Encontrar
Ejemplo 5-17
(
la
divergencia
F ( x, y, z ) = e , x + y + z , xyz
xyz
2
2
2
)
del
campo
Solución:
∂ ∂ ∂
div F =  , ,  • e xyz , x 2 + y 2 + z 2 , xyz
 ∂x ∂y ∂z 
∂ xyz
∂ 2
∂
=
e +
x + y 2 + z 2 + ( xyz )
∂x
∂y
∂z
(
( )
(
)
)
= yze xyz + 2 y + xy
div F = yze xyz + 2 y + xy Teorema 5-2
3
3
Sea F : U ⊆ R → R ; un campo de clase C2 definida el conjunto abierto U de
R3. Entonces la divergencia del rotacional del campo es cero.
Demostración:
 ∂F ∂F   ∂F ∂F   ∂F ∂F 
rot F =  3 − 2 i +  1 − 3  j +  2 − 1 k
∂z   ∂z
∂x   ∂x ∂y 
 ∂y
∂  ∂F ∂F  ∂  ∂F ∂F  ∂  ∂F ∂F 
div(rot F ) =  3 − 2  +  1 − 3  +  2 − 1 
∂x  ∂y
∂z  ∂y  ∂z
∂x  ∂z  ∂x ∂y 
∂ 2 F3 ∂ 2 F2 ∂ 2 F3 ∂ 2 F1 ∂ 2 F2 ∂ 2 F1
−
+
−
+
−
=0
∂y∂x ∂z∂x ∂z∂y ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z
∴ div(rot F ) = 0
=
5.7 CAMPOS VECTORIALES GRADIENTES.
Una
función
F ( x, y, z ) = ( f1 ( x, y, z ), f 2 ( x, y, z ),
vectorial
en
R3 ,
f 3 (x, y, z )) puede ser una función gradiente;
lo que quiere decir que puede tratarse del gradiente de una cierta función escalar (f) en
cuyo caso la función “f” se la llama función potencial del campo.
Las funciones gradientes constituyen campos conservativos (en los cuales el
trabajo es independiente de la trayectoria), las funciones que no son gradientes
constituyen campos disipativos o no conservativos (en los cuales el trabajo no es
independiente de la trayectoria).
Averiguamos si un campo vectorial F es o no gradiente con su rotor, si es igual a
cero es un campo gradiente, si distinto a cero no es gradiente. Cuando un campo es
gradiente podemos encontrar su función potencial.
rot F = 0
Campo Vectorial
Gradiente
rot F ≠ 0
Campo Vectorial
No gradiente
Campo
Vectorial
F
Ejemplo 5-18
Investigar si el campo vectorial
campo gradiente
Función
Potencial
No tiene
Función Potencial
F ( x, y, z ) = yi − xj es o no un
Solución:
rot F =
i
j
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
y
−x
0
= 0i + 0 j + ( −1 − 1)k = −2k ≠ 0
i
j
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
F1
F2
F3
rot F = (∇ × F ) =
 ∂F ∂F   ∂F ∂F   ∂F ∂F 
rot F =  3 − 2 i +  1 − 3  j +  2 − 1 k
∂z   ∂z
∂x   ∂x ∂y 
 ∂y
∴ F no es un campo gradiente
Ejemplo 5-19
Averiguar
si
(
F ( x, y, z ) = 2 xye
el
x2 y
campo
2 x2 y
3
, z +x e
, 3 yz
2
vectorial
)
es
o
no
conservativo, y en caso de serlo determinar su función potencial.
Solución:
i
rot F =
j
∂
∂x
2 xye x
k
∂
∂y
2
y
∂
∂z
z 3 + x 2e x
2
y
3 yz 2
= (3 z 2 − 3 z 2 )i + (0 − 0 ) j
2
2
2
2
+ ( 2 xe x y + 2 x 3 ye x y − 2 xe x y − 2 x 3 ye x y )k
=0
∴ F es un campo gradiente
2
2
2
∂f
= 2xyex y
f (x, y, z ) = ∫ 2xyex y ∂x =e x y + k ( y, z )
x
∂x
2
2
2
∂f
= z 3 + x 2e x y f (x, y, z ) = ∫ z 3 + x2e x y ∂y = z 3 y + e x y + k (x, z )
y
∂y
∂f
= 3 yz2
f (x, y, z ) = ∫ 3yz2∂z = z 3 y + k (x, y )
z
∂z
x2 y
3
f ( x, y , z ) = e + z y + k (
)