ANALISIS DE VARIAS VARIABLES II. TEMA IV. TEOREMAS DE

ANALISIS DE VARIAS VARIABLES II. TEMA IV.
TEOREMAS DE GREEN, STOKES Y GAUSS.
1 - Utilizar el teorema de Green para calcular el rea acotada por:
(a) Un arco de cicloide x(t) = a(t − sin t), y(t) = a(1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π, (a > 0)
y el eje OX.
SOL : 3πa2
(b) La curva r2 = 9 sin2 2θ, 0 ≤ θ ≤ 2π (rosa de cuatro ptalos).
SOL : 9π
2
2 - Comprobar el teorema de Green en los siguientes casos:
(i) F~ (x, y) = (2x − y 3 )~i − xy ~j, D = {(x, y)/1 ≤ x2 + y 2 ≤ 9}.
(SOL : 60π)
(ii) F~ (x, y) = (x −y , x −4), D = {(x, y)/2 ≤ x+y ≤ 4, x−y ≥ 0, x2 −y 2 ≤ 4}.
(SOL : 8)
4
SOL : πa2
(iii) F~ (x, y) = −x2 y ~i+xy 2 ~j, D es el crculo de centro (0, 0) y radio a.
2
2
2
2
(iv) F~ (x, y) = (x + y)~i − (x − y) ~j, D = {(x, y)/ xa2 +
y2
b2
≤ 1}.
(SOL : −2πab)
R
3 - Calcular C (ex sin y−my) dx + (ex cos y−m) dy, donde C es la semicircunferencia
superior de x2 + y 2 =ax recorrida desde A = (a, 0) hasta B = (0, 0) utilizando el
2
teorema de Green.
SOL : mπa
8
4 - Verificar el teorema de Stokes para la helicoide φ(r, θ) = (r cos θ, r sin θ, θ),
(r, θ) ∈ [0, 1] × [0, π2 ] y el campo vectorial F~ (x, y, z) = (z, x, y).
SOL : π4
5 - Calcular utilizando el teorema de Stokes las siguientes integrales:
H
(i) C zdx + xdy + ydz, donde C es la curva x2 + y 2 = 4,z = 0 recorrida en sentido
positivo.
(SOL : 4π)
H
(ii) C (y 2 + z 2 )dx + (z 2 + x2 )dy + (x2 + y 2 )dz, donde C es la curva dada por
x2 + y 2 + z 2 = 2Rx,
x2 + y 2 = 2rx, 0 < r < R, z ≥ 0, recorrida de forma que el recinto menor de la
esfera quede
a la izquierda.
SOL : 2πRr2
H
(iii) C 2zdx − xdy + 3ydz, donde C es la curva 1 − z = x2 + y 2 ,x, y, z ≥ 0 recorrida
en sentido
π
positivo.
SOL : 10
3 − 4
R
(iv) AmB (x2 − yz)dx + (y 2 − zx)dy + (z 2 − xy)dz, donde AmB es el arco de hlice
x(t) = a cos t,
ht
a sin t, z(t) = 2π
, que une el punto A = (a, 0, 0) con B = (a, 0, h).
y(t) = SOL :
h3
3
1
2
6 - Sean las superficies S1 dada por x2 + y 2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1 y S2 dada por x2 + y 2 +
(z − 1)2 = 1, z ≥ 1, y el campo vectorial F~ (x, y, z) = (zx + z 2 y + x, z 3 yx + y, x2 z 4 ).
Calcular la integral de superficie de ~rotF~ a lo largo de la superficie formada por la
unin de S1 y S2 . (SOL : 0)
7 - Comprobar
R que los siguientes campos vectoriales son conservativos y calcular
en cada caso C F~ · ds.
(a) F~ (x, y) = (xy 2 + 3x2 y, (x + y)x2 ), C es el tringulo de vrtices (1, 1), (0, 2), (3, 0).
(SOL : 0)
(b) F~ (x, y) = (cos xy 2 − xy 2 sin xy 2 , −2x2 y sin xy 2 ), C es la curva dada por ~σ (t) =
(et , et+1 ),
−1 ≤ t ≤ 0.
SOL : cos(e2 ) − e−1 cos(e−1 )
(c) F~ (x, y, z) = (x3 − 3xy 2 , y 3 − 3x2 y, z), C es la trayectoria que une los puntos
(0, 0, 0),
(0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1).
SOL : − 12
8 - (i) Comprobar que
H
xdy−ydx
x2 +y 2
= 2π, siendo C la circunferencia unidad.
−y
x
~
(ii) Es conservativo el campo F (x, y) = (P, Q) = x2 +y2 , x2 +y2 ? Por qu?
∂Q
~
(iii) Probar que ∂P
∂y = ∂x . Contradice esta igualdad el hecho de que F no sea
conservativo?
Explicar por qu.
C
9 - Sea F~ un campo vectorial C 1 en
~ = F~ .
que ~rotG
3
~ tal
con div F~ = 0. Dar un campo vectorial G
~ tal que ~rotG
~ = F~ , siendo
10 - Comprobar que div F~ = 0 y hallar G
(a) F~ (x, y, z) = (xz, −yz, y)
SOL : − 21 (yz 2 + y 2 , xz 2 , 0)
(b) F~ (x, y, z) = (x cos y, − sin y, sin x)
(SOL : −(z sin y + y sin x, xz cos y, 0))
3
11 - Sea F~ (x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 )− 2 (x, y, z). Probar que F~ es conservativo e
incompresible.
Calcular su potencial escalar y vectorial.
1
~ = (x2 + y 2 )−1 (x2 + y 2 + z 2 )− 21 (yz, −xz, 0)
SOL : f (x, y, z) = −(x2 + y 2 + z 2 )− 2 + C; G
12 - Calcular las siguientes integrales utilizando el teorema de Gauss:
R
(i) S (ax, by, cz) · dS, siendo S una superficie cerrada con orientacin exterior y que
encierra un
volumen V. (SOL : V (a + b + c))
R
(ii) S (xy, yz, xz) · dS, donde S es la cara exterior de x2 + y 2 + z 2 = 1, x, y, z ≥ 0.
SOL : 3π
16
3
R
(iii) S (x2 , y 2 , z 2 ) · dS, donde S es la cara exterior del cubo 0 ≤ x, y, z ≤ a.
SOL : 3a4
R
(iv) S (y, z, xz) · dS, siendo S la cara exterior de la frontera de x2 + y 2 ≤ z ≤ 1,
4
x ≥ 0.
SOL : 15
13 - (i) Sea S una superficie cerrada y F~ un campo vectorial C 2 . Calcular la integral
de superficie de ~rotF~ . (SOL : 0)
(ii) Supongamos que todas las superficies que hay en un dominio Ω de 3 son
R
tangentes a un campo vectorial F~ dado. Calcular Ω div F~ dV . (SOL : 0)
(iii) Sea S una superficie y F~ un campo vectorial que es perpendicular a la
R
tangente a la curva frontera de S.Calcular S ~rotF~ · dS. (SOL : 0)