Teorema de Green en el plano

1.7. Teorema de Green en el Plano.
Sea C una curva cerrada, simple, suave a trozos y positivamente orientada en el
plano, y sea D la región limitada por la curva C, e incluyendo a C. Si F1 ( x, y ) y
F2 ( x, y ) son continuas y tiene primeras derivadas parciales continuas en alguna
región abierta R que contenga a D, con D ⊆ R , entonces
 ∂F2
v∫ F ( x, y ) dx + F ( x, y ) dy = ∫∫  ∂x
1
2
C
D
−
∂F1 
 dA
∂y 
Demostración: Se demostrará el Teorema de Green para un caso particular, para ello
se debe probar que
∂F1
v∫ F dx = −∫∫ ∂y dA
1
C
D
y
v∫ F dy = ∫∫
2
C
D
∂F2
dA
∂x
Para demostrar la primera igualdad, se supondrá que la región D puede ser definida
de la siguiente manera
D = {( x, y ) / a ≤ x ≤ b, g1 ( x ) ≤ y ≤ g 2 ( x )}
una región Tipo I, Figura 39, donde g1 y g 2 son funciones continuas. Puede
observarse entonces, que la curva C puede ser dividida en dos partes:
C = C1 ∪ C2
donde C1 es la parte inferior de la curva, definida por
C1 = {( x, y ) / a ≤ x ≤ b, y = g1 ( x )}
y C2 es la parte superior de la curva, definida por
C2 = {( x, y ) / a ≤ x ≤ b, y = g 2 ( x )}
y = g1(x)
y
d
D
R
c
y = g1(x)
a
b
Figura 39. Región Tipo I.
Tomando la orientación positiva de la curva dada, y empleando la definición de la
integral de línea, y su evaluación, se tiene entonces
v∫ F ( x, y ) dx = ∫ F ( x, y ) dx + ∫ F ( x, y ) dx
1
1
C
(1)
1
C1
C2
b
b
a
a
= ∫ F1 ( x, g1 ( x ) ) dx − ∫ F1 ( x, g 2 ( x ) ) dx
b
= ∫  F1 ( x, g1 ( x ) ) − F1 ( x, g 2 ( x ) )  dx
a
Recordando que el signo negativo de la segunda integral es debido a que se esta
recorriendo la curva en el sentido contrario a la orientación positiva de la curva.
También se observa que se puede escribir
b g ( x)
2
∂F1
∂F
∫∫D ∂y dA = ∫a g ∫x ∂y1 dydx
1( )
b
g2 ( x )
= ∫ F1 ( x, y ) g
1
a
( x)
(2)
dx
b
= ∫  F1 ( x, g 2 ( x ) ) − F1 ( x, g1 ( x ) )  dx
a
donde la igualdad que se obtiene se debe a la aplicación del teorema fundamental del
cálculo. Al igualar las ecuaciones (1) y (2) resulta
∂F1
v∫ F dx = −∫∫ ∂y dA
1
C
D
(3)
La primera igualdad que se quería demostrar. Ahora se supondrá que la región D
también puede ser definida de la siguiente manera
D = {( x, y ) / c ≤ y ≤ d , h1 ( y ) ≤ x ≤ h2 ( y )}
una región Tipo II, Figura 40, donde h1 y h2 son funciones continuas. Puede
observarse entonces, que la curva C puede ser dividida en dos partes:
C = C3 ∪ C4
donde C3 es la parte izquierda de la curva, definida por
C3 = {( x, y ) / c ≤ x ≤ d , x = h1 ( y )}
y C4 es la parte derecha de la curva, definida por
C4 = {( x, y ) / c ≤ x ≤ d , x = h2 ( y )}
y
x = h2(y)
d
D
R
c
x = h2(y)
a
b
Figura 40. Región Tipo II.
Tomando la orientación positiva de la curva dada. De la definición de la integral de
línea y su evaluación se tiene entonces
v∫ F ( x, y ) dy = ∫ F ( x, y ) dy + ∫ F ( x, y ) dy
2
C
2
C3
2
C4
d
d
c
c
= − ∫ F2 ( h1 ( y ) , y ) dy + ∫ F2 ( h2 ( y ) , y ) dy
d
= ∫  F2 ( h2 ( y ) , y ) − F2 ( h1 ( y ) , y )  dy
c
(4)
Como se observó anteriormente el signo negativo de la primera integral se debe a que
se esta recorriendo la curva en el sentido contrario a la orientación positiva de la
curva. Ahora bien, se puede escribir que
d h ( y)
2
∂F2
∂F
∫∫D ∂x dA = ∫c h ∫y ∂x2 dxdy
1( )
d
h2 ( y )
= ∫ F2 ( x, y ) h
1
c
( y)
dy
(5)
d
= ∫  F2 ( h2 ( y ) , y ) − F2 ( h1 ( y ) , y )  dy
c
donde la igualdad que se obtiene se debe a la aplicación del teorema fundamental del
cálculo. Al igualar las ecuaciones (4) y (5) resulta
v∫ F2 dy = ∫∫
C
D
(6)
∂F2
dA
∂x
Sumando las igualdades (3) y (6), se tiene que
 ∂F2
v∫ F ( x, y ) dx + F ( x, y ) dy = ∫∫  ∂x
1
2
C
−
D
∂F1 
 dA
∂y 
que es lo que se quería demostrar.
EJEMPLO 40. Evalúe la integral de línea
v∫ xydx + x
2
y 3dy , siendo la curva C el
C
triángulo cuyos vértices son los puntos (1,1) , ( 2, 2 ) y ( 3, 0 ) , aplicando el Teorema
de Green.
Solución. En la Figura 41 se observa la región D sobre la cual se desea aplicar el
Teorema de Green, vemos que la variable y se va desplazar entre las fronteras de las
regiones definidas por las funciones y = x , recta que pasa por los puntos (1,1) y
( 2, 2 ) , y la recta
y = 3−
1
x , recta que pasa por los puntos ( 3, 0 ) y ( 2, 2 ) . Al aplicar
2
el Teorema de Green para esta región se obtiene la siguiente integral de línea
Figura 41. Región D del ejemplo 40.
v∫ xydx + x
C
2
 ∂

∂
y 3 dy = ∫∫  ( x 2 y 3 ) − ( xy )  dA
∂x
∂y

D 
=∫
2
0
1
3− x
2
x
∫
2
( 2 xy
3
− x )dydx
1
3− x
2
= ∫  2 xy 4 − xy 
0
x
dx
4

2 
1 
1 

= ∫  x  3 − x  − x  3 − x  − 2 x5 + x 2 dx
0 

2 
2 

 

2
27 3 3 4 1 5
1

x − x + x − 3x + x 2 − 2 x5 + x 2 dx
= ∫  81x − 54 x 2 +
0
2
2
16
2


2
35
27 4 3 5 31 6 

x − x − x 
= 39 x 2 − x3 +
10
96  0
2
8

596
=
15
EJEMPLO 41. Evalúe la integral de línea
v∫ y dx − x dy ,
3
3
siendo la curva C la
C
circunferencia x 2 + y 2 = 4 , orientada de manera positiva, aplicando el Teorema de
Green.
Solución. Aplicamos el Teorema de Green sobre la curva C observada en la Figura
42, recorrida positivamente.
Figura 42. Región D del ejemplo 41.
Al plantear la integral de línea, se observa que la integral doble equivalente obtenida
mediante el Teorema de Green, con un cambio de coordenadas polares, se determina
el valor de la integral que se está estudiando.
 ∂
∂

v∫ y dx − x dy = ∫∫  ∂x ( − x ) − ∂y ( y )  dA
3
C
3
3
3
D
= ∫∫ ( −3x 2 − 3 y 2 ) dA
D
= −3∫
2π
0
∫ ( ( r cos θ ) + ( r s enθ )
2
2
0
2π
2
)rdrdθ
2
= −3∫  r 4  dθ
0
0
2π
= −3∫ 16dθ
0
2π
= −3[16θ ] 0
= −96π
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.7.
1) Evalúe la integral de línea
∫( y + e
C
x
) dx + ( 2 x + cos y ) dy , siendo la curva C la
2
frontera de la región delimitada por las parábolas y = x 2 y x + y 2 = 4 , orientada de
manera positiva, aplicando el Teorema de Green.
2) Evalúe la integral de línea ∫ arctg ( x ) dx + 3 xdy , siendo la curva C la frontera de la
C
región delimitada por el rectángulo cuyos vértices están ubicados en los puntos
(1, 0 ) , ( 0,1) , ( 2,3)
y ( 3, 2 ) , orientada de manera positiva, aplicando el Teorema de
Green.
3) Evalúe la integral de línea
∫ e senydx + e
x
x
cos ydy , siendo la curva C la elipse
C
3 x 2 + 8 y 2 = 24 , orientada de manera positiva, aplicando el Teorema de Green.
4) Evalúe la integral de línea
∫(x
2
+ y 2 ) dx + 2 xydy , siendo la curva C la frontera de
C
la región acotada por las gráficas de y = x , y = 0 , x = 4 , orientada de manera
positiva, aplicando el Teorema de Green.
5) Evalúe la integral de línea
∫ ( x + y ) dx + ( y + x ) dy , siendo la curva C la frontera
2
C
de la región acotada por las gráficas de
x 2 + y 2 = 1 y x 2 + y 2 = 4 , orientada de
manera positiva, aplicando el Teorema de Green.
1.7.2. Teorema de Green para el cálculo de área de regiones planas.
Sea C una curva cerrada, simple, suave a trozos, que delimita a una región D, el área
de la región D puede ser determinada mediante la siguiente integral:
1
∫∫ dA = 2 v∫ xdy − ydx
D
C
Demostración: Sea C una curva cerrada, simple, suave a trozos, que limita a una
región D, tomando a F1 ( x, y ) = 0 y F2 ( x, y ) = x , se obtiene
 ∂F2
v∫ xdy = ∫∫  ∂x
C
D
−
∂F1 
 dA = ∫∫ dA
∂y 
D
De igual forma al tomar F1 ( x, y ) = − y y F2 ( x, y ) = 0 , se obtiene
 ∂F2
v∫ − ydx = ∫∫  ∂x
C
−
D
∂F1 
 dA = ∫∫ dA
∂y 
D
Al sumar estas dos expresiones miembro a miembro se obtiene la expresión que
permite a través del Teorema de Green, calcular el área de una región plana
1
∫∫ dA = 2 v∫ xdy − ydx
D
C
que es lo que se quería demostrar.
EJEMPLO 42. Determine el área de la región acotada por la curva C, donde C es la
hipocicloide x = a cos3 t y y = asen3t con 0 ≤ t ≤ 2π
Solución. La Figura 43 muestra la región a la cual se le desea calcular el área, la cual
está encerrada por la hipocicloide dada de forma paramétrica por la función
g : ℜ → ℜ2 / g ( t ) = ( a cos3 ( t ) , asen3 ( t ) ) .
Figura 43. Hipocicloide del Ejemplo 42.
Por lo que al sustituir esta parametrización de la curva en el Teorema de Green para
determinar el área de una región nos queda la siguiente integral
1
∫∫ dA = 2 v∫ xdy − ydx
D
C
1 2π
 a cos3 t ( 3asen 2t cos t ) − asen3t ( 3a cos 2 t ( − sent ) )  dt
∫


0
2
1 2π
= ∫ 3a 2 cos 4 tsen 2t + 3a 2 sen 4t cos 2 t  dt
2 0
1 2π
= ∫ 3a 2 cos 2 tsen 2t ( cos 2 t + sen 2t )  dt
2 0
3a 2 2π
 sen 2 ( 2t )  dt
=
8 ∫0 
=
3a 2
=
8
=
2π
 t sen ( 4t ) 
 −

8 0
2
3a 2
π
8
EJEMPLO 43. Determine el área de la región acotada por las gráficas de las curvas
y = 4 x 2 y y = 16 x .
Solución. En la Figura 44 se muestra la región D acotada por las gráficas de las
funciones y = 4 x 2 y y = 16 x , se puede decir que la región D está acotada por una
curva parcialmente suave C, tal que C = C1 ∪ C2 , en donde una parametrización para
las
curvas
C1
y
C2 ,
son
g1 : [ 0, 4] → ℜ2 / g1 ( t ) = ( t , 4t 2 )
y
g 2 : [ 4, 0] → ℜ2 / g 2 ( t ) = ( t ,16t ) , respectivamente. Al aplicar las propiedades de la
integral de línea y sustituir la parametrización correspondiente en cada integral, se
calcula el valor del área de la región D mediante el Teorema de Green.
1
∫∫ dA = 2 v∫ xdy − ydx
D
C
=

1
 ∫ xdy − ydx + ∫ xdy − ydx 
2  C1
C2

0
1 4
t ( 8t ) − 4t 2 (1)  dt + ∫ t (16 ) − 16t (1)  dt 
∫

4

2  0
0
1 4
=  ∫ 4t 2 dt + ∫ 0dt 


0
4
2
=
4
1  4t 3 
=  
2 3 0
=
128
3
C2
C1
Figura 44.Región D del Ejemplo 43.
EJEMPLO 44. Sea D una región acotada por una trayectoria simple cerrada C
dentro del plano xy, aplique el Teorema de Green para demostrar que las
coordenadas del centroide
y =−
( x, y )
de la región D son,
1
y 2 dx , en donde A, es el área superficial de la región D.
v
∫
2A C
x=
1
2
∫C x dy
2A v
y
Solución. Para demostrar que las coordenadas del centroide ( x , y ) vienen dadas por
las integrales de línea expuestas anteriormente, se debe probar que x ==
∫∫ xdA
D
∫∫ dA
y
D
que y ==
∫∫ ydA
D
∫∫ dA
. Se aplicará el teorema de Green ala integral de línea definida por
D
x=
1
x 2 dy , obteniéndose la siguiente igualdad
v
∫
2A C
x=
1
2
∫C x dy
2A v
=
1
0dx + x 2 dy
v
∫
2A C
=

∂
1  ∂ 2
 ( x ) − ( 0 )  dA
∫∫
∂y
2 A D  ∂x

=
1
2 xdA
2 A ∫∫
D
=
1
xdA
A ∫∫
D
=
∫∫ xdA
D
∫∫ dA
D
De la misma manera, se aplica el teorema de Green a la integral de línea definida por
y =−
1
y 2 dx , obteniéndose la siguiente igualdad
v
∫
2A C
y =−
1
y 2 dx
v
∫
2A C
=−
1
y 2 dx + ( 0 ) dy
v
∫
2A C
=−
1  ∂
∂ 2 
 ( 0 ) − ( y )  dA
∫∫
2 A D  ∂x
∂y

=−
1
−2 ydA
2 A ∫∫
D
=
=
1
ydA
A ∫∫
D
∫∫ ydA
D
∫∫ dA
D
Lo que queda demostrado.
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.7.2.
1) Determine el área de la región acotada por las gráficas de las curvas y = x 2 y
y = 2x .
2) Determine el área de la región acotada por la elipse 4 x 2 + y 2 = 4 .
2
2
3) Determine el área de la región acotada por la curva x 3 + y 3 = 1 .
4) Determine el área de la región acotada por la curva C, donde C es la cardioide
r = 1 + cos θ con 0 ≤ θ ≤ 2π .
5) Determine el área de la región acotada por las gráficas de las curvas
y = x3 y
y2 = x .
1.7.3 Teorema de Green sobre regiones doblemente conexas.
El teorema de Green se puede extender a casos en donde la región no sea
simplemente conexa (estos es, cuando la región es anular o lo que es lo mismo, tiene
uno o varios “huecos”). Aquí se debe tomar en consideración que la integral de línea
al ser aplicada en regiones como estas se estudia sobre la frontera completa de la
misma (no solo en la parte exterior o interior de la frontera), de tal manera que la
curva frontera se recorre siempre en sentido positivo, es decir, manteniendo la región
acotada D a la izquierda.
Figura 45. Región doblemente conexa.
Como se observa en la Figura 45, como la región es doblemente conexa, el Teorema
de Green no puede ser aplicado directamente, dividamos entonces esta región conexa
en dos regiones, D1 y D2, tal y como se muestra en la Figura 46, de tal manera que
las regiones D1 y D2 son regiones simplemente conexas, ahora se puede aplicar el
teorema de Green en cada una de las regiones por separado. Al sumar estas integrales
dobles sobre D1 y D2 se obtiene la integral doble sobre toda la región R.
 ∂F2
∫∫  ∂x
−
D
 ∂F2 ∂F1 
 ∂F2 ∂F1 
∂F1 
−
−
 dA = ∫∫ 
 dA + ∫∫ 
 dA
∂y 
∂x ∂y 
∂x ∂y 
D1 
D2 
=
v∫ F dx + F dy + v∫ F dx + F dy
2
1
∂D1
2
1
∂D2
Sabiendo que
v∫ F dx + F dy = ∫ F dx + F dy + ∫ F dx + F dy + ∫ F dx + F dy + ∫ F dx + F dy
2
∂D1
1
2
C11
1
2
C12
1
2
C13
1
2
C14
1
v∫ F dx + F dy = ∫ F dx + F dy + ∫ F dx + F dy + ∫ F dx + F dy + ∫ F dx + F dy
2
1
∂D2
2
1
2
C22
1
2
C22
1
2
C23
1
C24
En donde ∂D1 es el recorrido de la curva C1 , con C1 = C11 ∪ C11 ∪ C13 ∪ C14 , se hace
en sentido positivo de manera que la región D1 queda a la izquierda, y ∂D2 es el
recorrido de la curva C2 , con C2 = C21 ∪ C21 ∪ C23 ∪ C24 , se hace en sentido positivo
de manera que la región D2 que da a la izquierda Además como las integrales de
línea son recorridas en dirección opuesta en las partes comunes a D1 y D2, curvas
denotadas como C12 , C22 , C14 y C24 estas integrales de línea se cancelan de manera
que solamente permanecen las integrales de línea sobre C1 y C2, obteniéndose:
 ∂F2
∫∫  ∂x
−
D
∂F1 
 dA = v∫ F1dx + F2 dy + v∫ F1dx +DF12 dy
∂y 
∂D1
∂D2
=
∫ F dx + F dy + ∫ F dx + F dy + ∫ F dx + F dy + ∫ F dx + F dy
1
2
C21
=
1
2
C23
1
2
C11
1
2
C13
∫ F dx + F dy + ∫ F dx + F dy + ∫ F dx + F dy + ∫ F dx + F dy
1
C21
2
1
2
C11
1
C23
2
1
2
C13
= >∫ F1dx + F2 dy + ?∫ F1dx + F2 dy
C1
C2
D1
D2
Figura 46. Región doblemente conexa.
Esta demostración puede ser extendida a regiones que tengan un número finito de
agujeros.
 −y
x 
, determine
EJEMLO 45. Sea el campo vectorial F ( x, y ) =  2
, 2
2
2 
x +y x +y 
v∫ F ⋅ dr ,
donde C es (a) cualquier curva cerrada que contenga al origen de
C
coordenadas y (b) Cualquier curva cerrada que NO contenga la origen de
coordenadas.
Solución. (a) Se puede tomar como una curva que contiene al origen una
circunferencia de centro en el origen y radio a, con a > 0 , cuya parametrización está
dada por la función vectorial g : ℜ → ℜ2 / g ( t ) = ( a cos ( t ) , asen ( t ) ) , por lo que la
integral de línea queda definida por
v∫ F ⋅ dr = ∫
2π
=∫
2π
0
C
0
 sen ( t ) cos ( t ) 
,
−
 ⋅ ( − asen ( t ) , a cos ( t ) ) dt
a2
a2 

 sen 2 ( t ) cos 2 ( t ) 
+

 dt
a 
 a
1 2π
dt
a ∫0
2π
=
a
=
 −y
x 
(b) Ahora bien, el campo vectorial F ( x, y ) =  2
es un campo
, 2
2
2 
x +y x +y 
x
conservativo, cuya función potencial es f ( x, y ) = − arctg   . Cuando se define una
 y
curva cerrada C que no contiene al origen, el campo escalar f tiene derivadas
continuas de primer orden en toda la región D acotada por la curva C, por lo que por
propiedades de los campos conservativos, se tiene que
v∫ F ⋅ dr = 0 .
C