Lección 10 - Matemática Aplicada II

CÁLCULO
Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010.
Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla.
Lección 10. Cálculo vectorial.
Resumen de la lección.
10.1. Integrales de línea.
Integral de línea de un campo escalar. Sea C una curva parametrizada
regular a trozos en el plano con parametrización c (t) con t ∈ [a, b] . Sea el campo
escalar f : U ⊆ R2 → R de forma que C ⊂ U y f es continuo en C. La integral
de línea de f (respecto de la longitud de arco) a lo largo de la curva C se define
como el número
Z b
Z
f dC =
f (c (t)) kc0 (t)k dt.
a
C
Otras
Z alternativas para la integral de línea del campo escalar f en C
Z notaciones
fds y
fdr. El valor de la integral de línea es totalmente indepenson
C
C
diente de la parametrización tomada Ipara C. Si C es una curva cerrada entonces
fdC. Igualmente se puede definir para
se denota la integral de línea como
C
campos escalares de tres variables.
Propiedades de la integral de línea para campos escalares. Sean dos
campos escalares f, g : U ⊆ R2 → R continuos en U y C ⊂ U una curva
parametrizada regular a trozos.
Z
Z
Z
1. Si α, β ∈ R entonces
(αf + βg) dC = α
fdC + β
gdC.
C
C
C
2. Si para todo (x, y) ∈ C se verifica que f (x, y) ≤ g (x, y) entonces
Z
Z
f dC ≤
gdC.
C
3. Si C = C1 ∪ C2 entonces
Z
C
f dC =
C
Z
C1
f dC +
Z
C2
f dC.
4. La longitud de la curva C se calcula como la integral de línea a lo largo de
C del campo escalar constante igual a 1, esto es
Z
long (C) =
dC.
C
Integral de línea de un campo vectorial. Sea C una curva parametrizada
regular a trozos en el plano con parametrización c (t) con t ∈ [a, b] . Sea el campo
vectorial F : U ⊆ R2 → R2 de forma que C ⊂ U y F = (P, Q) es continuo en C.
La integral de línea de F (o circulación de F ) a lo largo de la curva C se define
como el número
Z
Z
Z b
F · dC =
P dx + Qdy =
F (c (t)) · c0 (t) dt.
C
C
a
El valor de la integral de línea depende de la orientación de la parametrización
tomada para C, es decir, es independiente salvo por la orientación. Igualmente
se puede definir para campos vectoriales en elI espacio. Si C es una curva cerrada
entonces se denota la integral de línea como
C
F · dC.
Propiedades de la integral de línea para campos vectoriales. Sean dos
campos vectoriales F, G : U ⊆ R2 → R2 continuos en U y C ⊂ U una curva
parametrizada regular a trozos.
Z
Z
Z
(αF + βG) · dC = α
F · dC + β
G · dC.
1. Si α, β ∈ R entonces
C
C
C
2. Si −C representa la misma curva C parametrizada con orientación opuesta
a la dada inicialmente entonces
Z
Z
F · dC = − F · dC.
C
−C
3. Si C = C1 ∪ C2 , con las orientaciones dadas por C, entonces
Z
Z
Z
F · dC =
F · dC +
F · dC.
C
C1
C2
10.2. Campos conservativos.
Conjunto conexo y conjunto convexo. Un conjunto U ⊆ R2 se dice conexo
si para cualquier par de puntos suyos existe un camino (curva parametrizada
regular a trozos) interior a U que los une. Se dice que el conjunto U es convexo
si el segmento que une a cualquier par de puntos de U está contenido en U.
Evidentemente, si U es convexo entonces U es conexo.
2
Campo vectorial conservativo. Sea F : U ⊆ R2 → R2 un campo vectorial
continuo en un conjunto U conexo. Se dice que F es conservativo en U si para
todo par de puntos A, B ∈ U las integrales de línea a lo largo de todos los caminos
contenidos en U que tienen a A como punto inicial
Z y a B comoZ punto final dan
B
el mismo resultado. En ese caso puede escribirse,
C
F · dC =
A
F · dC.
Potencial de un campo vectorial. Sea F : U ⊆ R2 → R2 un campo vectorial
continuo en un conjunto U conexo y abierto. Se dice que F deriva de un potencial
en U si existe un campo escalar f : U ⊆ R2 → R (potencial de F en U) de clase
C 1 y con ∇f = F en U.
Regla de Barrow para integrales de línea. Sea F : U ⊆ R2 → R2 un campo
vectorial continuo en un conjunto U conexo y abierto. Si F deriva de un potencial
en U entonces F es conservativo en U y además
Z B
F · dC = f (B) − f (A)
A
para todo potencial f suyo.
Teorema fundamental de la integal de línea. Sea F : U ⊆ R2 → R2 un
campo vectorial continuo en un conjunto U conexo y abierto. Si F es conservativo
en U entonces F deriva de un potencial en U y además el campo
Z (x,y)
f (x, y) =
F · dC
A
es un potencial suyo.
Condiciones equivalentes de campo conservativo. Sea F : U ⊆ R2 → R2
un campo vectorial continuo en un conjunto U conexo y abierto. Son equivalentes:
1. F es conservativo en U.
2. F deriva de un potencial en U.
3. Para todo camino cerrado C contenido en U ocurre que
I
C
F · dC = 0.
Condición necesaria de campo conservativo. Sea F : U ⊆ R2 → R2 un campo vectorial de clase C 1 en un conjunto U conexo y abierto. Si F es conservativo
en U entonces F es irrotacional en U (rot (F ) = 0 en todo U ).
Condición equivalente de campo conservativo para regiones convexas.
Sea F : U ⊆ R2 → R2 un campo vectorial de clase C 1 en un conjunto U convexo
y abierto. El campo F es conservativo en U si, y sólo si, F es irrotacional en U
(rot (F ) = 0 en todo U).
3
Nota. Todos los conceptos y resultados anteriores son aplicables a campos vectoriales en el espacio.
10.3. Teoremas vectoriales en el plano.
Región simplemente conexa. Se dice que la región U ⊆ R2 es simplemente
conexa si es conexa y la región encerrada por cualquier curva de Jordan trazada
en U está también contenida en U. Si una región conexa no es simplemente conexa
se denomina múltiplemente conexa.
Teorema de Green para regiones simplemente conexas. Sea C una curva
de Jordan y D la región encerrada por ella. Si F : U ⊆ R2 → R2 es un campo
vectorial plano de clase C 1 en el abierto U de forma que D ⊂ U entonces
ZZ
I
rot (F ) dxdy =
F · dC,
C+
D
donde C + representa la curva de Jordan orientada positivamente. Si F = (P, Q)
la igualdad anterior la podemos escribir también como
ZZ
I
(Qx − Py ) dxdy =
P dx + Qdy.
C+
D
Condición equivalente de campo conservativo para regiones simplemente conexas. Sea F : U ⊆ R2 → R2 un campo vectorial de clase C 1 en
unconjunto U simplemente conexo y abierto. El campo F es conservativo en U
si, y sólo si, F es irrotacional en U (rot (F ) = 0 en todo U).
Región simplemente conexa
Región multiplemente conexa
Teorema de Green para regiones múltiplemente conexas. Sean C, C1 , . . . , Cp
curvas de Jordan de forma que C1 , . . . , Cp verifican las siguientes condiciones:
1. todas están contenidas en la región encerrada por C,
2. son disjuntas dos a dos,
4
3. ninguna está contenida en la región encerrada por otra de ellas.
Sea D la región encerrada por la curva C que es exterior a las curvas C1 , . . . , Cp .
Si F : U ⊆ R2 → R2 es un campo vectorial de clase C 1 en el abierto U de forma
que D ⊂ U entonces
I
ZZ
n I
X
rot (F ) dxdy =
F · dC −
F · dC,
C+
D
Ck+
k=1
donde C + , C1+ , . . . , Cp+ representan la curvas de Jordan orientadas positivamente.
10.4. Integrales de superficie.
Superficies parametrizadas orientables. Una superficie S es orientable cuando tiene dos caras, es decir cuando no es posible pasar de un lado al otro de la
superficie (salvo en todo caso atravesando el borde). Si S (u, v) con (u, v) ∈ D es
una superficie orientable parametrizada regular a trozos entonces todos los vectores normales parten de la misma cara, a este sentido de los vectores normales
le denominamos orientación de la superficie parametrizada. Por ello cuando se
toma una parametrización de una superficie orientable queda determinada su
orientación y se dice que está orientada. En lo que sigue se supondrán siempre
superficies orientables aunque no se indique.
Integral de superficie de un campo escalar. Sea S una curva parametrizada
regular a trozos con parametrización S (u, v) con (u, v) ∈ D. Sea f : U ⊆ R3 → R
un campo escalar de forma que S ⊂ U y f es continuo en S. La integral de
superficie de f sobre la superficie S se define como el número
ZZ
ZZ
fdS =
f (S (u, v)) kSu × Sv k dudv.
S
D
El valor de la integral de superficie es totalmente independiente de la parametrización tomada para S.
Propiedades de las integrales de superficie para campos escalares. Sean
f, g : U ⊆ R3 → R dos campos escalares continuos en U y S ⊂ U una superficie
parametrizada regular a trozos.
ZZ
ZZ
ZZ
1. Si α, β ∈ R entonces
(αf + βg) dS = α
fdS + β
gdS.
S
S
S
2. Si para todo (x, y) ∈ S se verifica que f (x, y) ≤ g (x, y) entonces
ZZ
ZZ
fdS ≤
gdS.
S
S
3. Si S = S1 ∪ S2 disjuntas salvo quizás puntos del borde, entonces
ZZ
ZZ
ZZ
f dS =
fdS +
fdS.
S
S1
5
S2
4. El área de la superficie S coincide con la integral de superficie sobre S del
campo escalar constante igual a 1, esto es
ZZ
área (S) =
dS.
S
Integral de superficie de un campo vectorial. Sea S una superficie parametrizada regular a trozos con parametrización S (u, v) con (u, v) ∈ D. Sea
F : U ⊆ R3 → R3 un campo vectorial de forma que S ⊂ U y F es continuo
en S. La integral de superficie de F (o flujo) sobre S se define como el número
ZZ
ZZ
F · dS =
F (S (u, v)) · (Su × Sv ) dudv.
S
D
El valor de la integral de superficie depende de la orientación de la parametrización
tomada para S, es decir es independiente salvo por la orientación.
Propiedades de las integrales de superficie para campos vectoriales.
Sean F, G : U ⊆ R3 → R3 dos campos vectoriales continuos en U y S ⊂ U una
superficie parametrizada regular a trozos.
ZZ
ZZ
ZZ
1. Si α, β ∈ R entonces
(αF + βG) · dS = α
F · dS + β
G · dS.
S
S
S
2. Si −S representa la misma superficie S pero parametrizada con orientación
opuesta a la dada inicialmente entonces
ZZ
ZZ
F · dS = −
F · dS.
S
−S
3. Si S = S1 ∪ S2 , con las orientaciones dadas por S, entonces
ZZ
ZZ
ZZ
F · dS =
F · dS +
F · dS.
S
S1
S2
10.5. Teoremas vectoriales en el espacio.
Orientaciones compatibles de una superficie y su curva frontera. Sea S
una superficie parametrizada regular a trozos cuyo borde C es una curva parametrizada regular a trozos. Se dice que las parametrizaciones de S y C tienen
orientaciones compatibles si el movimiento en la curva y los vectores normales a
la superficie siguen la regla del sacacorchos.
Teorema de Stokes. Sea S una superficie parametrizada regular a trozos con
parametrización S (u, v) con (u, v) ∈ D y de manera que D sea la región encerrada
por una curva de Jordan. Supóngase que el borde de la superficie S es una curva
6
C parametrizada regular a trozos. Si F : U ⊆ R3 → R3 es un campo vectorial de
clase C 1 en el abierto U de forma que S ⊂ U entonces
I
ZZ
rot (F ) · dS =
F · dC,
S
C
donde S y C tienen parametrizaciones con orientaciones compatibles.
Teorema de Stokes
Teorema de Gauss
Teorema de Stokes para superficies con un agujero. Sea S una superficie
parametrizada regular a trozos con parametrización S (u, v) con (u, v) ∈ D y de
manera que D sea la región encerrada entre dos curvas de Jordan, una contenida
en la región encerrada por la otra. Supóngase que los bordes de la superficie S
son las curvas parametrizadas regulares a trozos C1 y C2 . Si F : U ⊆ R3 → R3 es
un campo vectorial de clase C 1 en el abierto U de forma que S ⊂ U entonces
I
I
ZZ
rot (F ) · dS =
F · dC +
F · dC,
S
C1
C2
donde las curvas C1 , C2 tienen parametrizaciones con orientaciones compatibles
con la superficie S.
Superficie cerrada: orientación. Una superficie parametrizada se dice cerrada
cuando encierra un volumen. Se dice que una superficie parametrizada cerrada
tiene orientación interior cuando todos los vectores normales de la superficie
apuntan hacia el interior del volumen encerrado. En caso contrario se dice que
tiene orientación exterior.
Teorema de Gauss o de la divergencia. Sea S una superficie parametrizada
regular a trozos cerrada. Sea V el volumen encerrado por S. Si F : U ⊆ R3 → R3
es un campo vectorial de clase C 1 en el abierto U de forma que V ⊂ U entonces
ZZZ
ZZ
F · dS =
div (F ) dxdydz,
S+
V
donde S + representa la superficie S tomada con orientación exterior.
7
Ejercicios de la lección.
Ejercicio 1. Calcula las siguientes integrales de línea para campos escalares.
I
x2 y dC, donde C es la circunferencia unidad.
1.
2.
3.
I
I
C
(x + y) dC, donde C es el triángulo de vértices (0, 0) , (1, 0) y (0, 1) .
C
2xy dC, donde C es la curva cerrada formada por las curvas y = x2 y
C
x = y2.
¾
½ 2
I
x + y2 + z2 = 1
z
.
(ye + xz) dC, donde C ≡
4.
y=0
C
Z
5.
z dC, donde C es el tramo de la hélice cónica (t cos t, t sen t, t) con t ∈
C
[0, 6π] .
Ejercicio 2.Calcula las siguientes integrales de línea para campos vectoriales.
Z
(−y, x) · dC, donde C es el tramo de la circuferencia unidad con y ≥ 0
1.
C
y punto inicial en el (1, 0).
I
2.
2xy dx + (y 2 − x2 ) dy, donde C es la cardioide r = 1 + cos θ orientada
C
negativamente.
Z
3.
(x2 − 2xy, y 2 − 2xy) · dC, donde C es el arco de parábola y = x2 que
C
parte de (−1, 1) y termina en (1, 1) .
½
I
4.
ydx+zdy+xdz, donde C es la curva de ecuaciones
x+y =2
2
2
x
+
y
+ z 2 = 2 (x + y)
C
orientada negativamente cuando se observa desde el origen.
¾
½
I
xy = z
ydx + zdy + xdz, donde C es la curva de ecuaciones
5.
x2 + y 2 = 1
C
orientada positivamente cuando se observa desde el (0, 0, 1).
Ejercicio 3. Sea el campo vectorial
µ
¶
−y
x
F (x, y) =
.
,
x2 + y 2 x2 + y 2
8
¾
1. Encuentra el máximo abierto U donde F es de clase C 1 .
2. Demuestra que F es irrotacional en U .
3. Calcula la integral de línea de F en la circunferencia unidad orientada positivamente.
4. ¿Es F conservativo en U?
Ejercicio 4. ¿Cuáles de los siguientes campos son conservativos en todo su dominio? Encuentra, para aquéllos que lo sean, un potencial.
1. F (x, y) = (y, −x) .
2. F (x, y) = (3x2 y, x3 ) .
3. F (x, y) = (2xy, x2 + 1) .
4. F (x, y) = (x + sen y − y sen x, y + cos x + x cos y) .
5. F (x, y, z) = (x + z, −y − z, x − y) .
6. F (x, y, z) = (2xyz + z 2 − 2y 2 + 1, x2 z − 4xy, x2 y + 2xz − 2) .
Ejercicio 5. Sea el campo plano
µ
Z
2
F (x, y) = sen (xy) + xy cos (xy) + by, x cos (xy) +
0
x
at2
e
¶
dt
con a, b ∈ R.
1. Encuentra a, b ∈ R para que F sea conservativo en todo su dominio.
2. Para los casos en que sea posible determina un potencial del campo.
Z (π,1)
F · dC para los casos en los que F sea
3. Calcula la integral de línea
(0,0)
conservativo.
Ejercicio 6. (Segundo Parcial 04-05) Sea F (x, y, z) = (2xyz, x2 z, x2 y) un campo
vectorial.
1. Prueba que F es conservativo y halla un potencial suyo en R3 .
2. Construye el campo escalar G (x, y, z) que determina la circulación de F
desde el origen al punto (x, y, z) .
9
3. Calcula el punto de la curva C, intersección del cilindro x2 + y 2 = y con el
plano z + y = 1, donde G alcanza el valor máximo.
Ejercicio 7. Comprobar el teorema de Green para los siguientes casos:
1. Para F (x, y) = (−y, x) con C la elipse de semiejes a, b > 0 centrada en el
origen.
2. Para F (x, y) = (y 2 , 3xy) con C la frontera de la región encerrada entre las
circunferencia x2 + y 2 = 1 y x2 + y 2 = 4 en el primer cuadrante.
Ejercicio 8. Sea F (x, y) = (x2 + y 2 − y, 2xy) y la región plana
ª
©
D = (x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, x ≥ 0 .
ZZ
rot (F ) dxdy de las siguientes formas:
Determina la integral doble
D
1. directamente,
2. usando el teorema de Green.
Ejercicio 9. Calcular las siguientes integrales de línea usando el teorema de
Green.
Z
(ex cos y + xy 2 ) dx−(ex sen y + x2 y) dy donde C es el arco de lemniscata
1.
C
r2 = cos (2θ) en el primer cuadrante con punto final el origen de coordenadas.
Z
´
³
√
¡
¢
2
2.
2y + 9 + x3 dx+ 5x + ey dy donde C es la circunferencia de ecuación
C
x2 + y 2 = 4 orientada positivamente.
Ejercicio 10. Prueba que si D es una región plana encerrada por una curva de
Jordan C entonces
I
1
−ydx + xdy.
área (D) =
2
C+
Aplica la fórmula anterior para calcular el área encerrada por la elipse
x2 y 2
+ = 1.
a2 b2
Ejercicio 11. (Segundo Parcial 05-06) Sea el campo vectorial
³
´
x2 y
2
2 x2 y
F (x, y) = cos (2xy) − 2xy sen (2xy) + 2xye , −2x sen (2xy) + x e
.
Sea la curva de Jordan C = C1 ∪ C2 orientada positivamente con
¾
½
©
ª
y2
2
2
2
2
2
C1 = (x, y) ∈ R : x + y = 1, y ≤ 0 y C2 = (x, y) ∈ R : x +
= 1, y ≥ 0 .
4
10
1. ¿Es F conservativo en R2 ? En caso afirmativo, halla una función potencial
de F en R2 .
2. Calcula directamente la integral
I
(F + G) · dC
C
donde G (x, y) = (x2 + y 2 + 1, y) .
3. Halla la integral anterior usando el teorema de Green.
Ejercicio 12. Calcula las siguientes integrales de superficie para campos escalares.
ZZ
1.
(x2 + y 2 + z 2 ) dS donde S es la porción de esfera x2 + y 2 + z 2 = 2z
S
con z ≥ 1.
ZZ
2.
x2 z 2 dS donde S es la porción de cilindro x2 + y 2 = 1 con |z| ≤ 1.
3.
ZZ
S
S
(x4 − y 4 + y 2 z 2 − z 2 x2 + 1) dS donde
©
ª
S = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z 2 , z ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 2x .
Ejercicio 13. Calcula las siguientes integrales de superficie para campos vectoriales.
ZZ
1.
(x, z, 0) · dS donde S es la superficie cerrada con orientación exterior
S
S =
2.
ZZ
S
©
ª
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z, z ≤ 1 ∪
ª
©
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ 1, z = 1 .
(x2 , y 2 , 2z 2 ) · dS donde S es la superficie del cubo [0, 1] × [0, 1] × [0, 1]
con orientación exterior.
ZZ
3.
(x, y, 0) · dS donde S es la semiesfera x2 + y 2 + z 2 = 1 con z ≥ 0 y
S
vectores normales alejándose del origen.
Ejercicio 14. Calcula directamente y usando el teorema de Stokes las siguientes
integrales.
11
1.
I
2
2
3yz dx+xz dy+4xyzdz donde C es la curva de ecuaciones
C
½
z = x2 + y 2
y = x2 + y 2
orientada positivamente si se observa desde el punto (0, 0, 1) .
I
2.
ydx + 2xdy + zdz donde C = C1 ∪ C2 es la curva orientada negatiC
vamente
desde
en el primer
¾ octante por
¾ el origen½ formada
½ si2 se observa
x + y2 + z 2 = 1
x2 + y 2 + z 2 = 1
.
C1 ≡
y C2 ≡
y=0
(x − 1)2 + y 2 = z 2
I
3.
y 2 dx + dy + zdz donde C es el borde de la porción del cono de ecuación
C
(z − 1)2 = x2 + y 2 en el primer octante orientada negativamente vista desde
el origen.
¾
½ 2
I
x + (y − 1)2 = 1
2
2
xz dx+(x − 2y) dy+x zdz donde C es el tramo de
4.
x2 + y 2 + z 2 = 4
C
con z ≥ 0 orientada positivamente vista desde el origen.
I
xdx + ydy + z 2 dz donde C es el corte de la superficie
5.
C
©
ª
S = (x, y, z) ∈ R3 : 4x2 + 4y 2 = z 2 , z ∈ [0, 4]
con el plano y = 1 orientada positivamente.
I
6.
ydx + x2 dy + zdz donde C es el borde de la porción de elipsoide de
C
y2
ecuación x2 + + z 2 = 1 del primer octante con orientación negativa si se
4
observa desde el origen.
Ejercicio 15. (Segundo Parcial 04-05) Sea la superficie
©
¡
¢
ª
S1 = (x, y, z) ∈ R3 : z − 1 = − x2 + y 2 , z ≥ x2 + (y − 1)2 ,
orientada de forma que los vectores normales se alejan del origen. Sea el campo
vectorial F (x, y, z) = (xy, −z 2 , z).
ZZ
rot (F ) · dS directamente.
1. Calcula la integral
S1
2. Determina la integral anterior usando el teorema de Stokes.
3. Sea V el volumen
©
¡
¢
ª
V = (x, y, z) ∈ R3 : z − 1 ≤ − x2 + y 2 , z ≥ x2 + (y − 1)2 .
ZZ
Halla la integral
[rot (F ) + (x, y, z)] · dS mediante el teorema de Gauss
S
donde S es la frontera de V con orientación exterior.
12
¾
Ejercicio 16. Calcula directamente y usando el teorema de Gauss las siguientes
integrales.
ZZ
1.
(x2 , y 2 , z 2 ) · dS donde S es la porción del cono x2 + y 2 = z 2 para
S
z ∈ [0, 1] con vectores normales sobre la cara que no mira al eje OZ.
ZZ
(xz, yz, 1) · dS donde S es la frontera del volumen interior a la esfera
2.
S
x2 + y 2 + z 2 = 25 con z ≥ 3 usando orientación exterior.
ZZ
(x3 , y 3 , z) · dS donde S es la porción de x2 + y 2 = 1 para 0 ≤ z ≤ x + 2
3.
S
con vectores normales sobre la cara que no mira al eje OZ.
ZZ
4.
(1 − 2y, 2y 2 , 1 + x2 )·dS donde S es la porción de esfera x2 +y 2 +z 2 = 4
S
con z ≥ 0 usando orientación exterior.
Ejercicio 17. Comprueba el teorema de Gauss en las siguientes situaciones.
1. Para el campo vectorial F (x, y, z) = (z, y, −x) y el volumen
ª
©
V = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 2y, y ≤ 1 ∪
ª
©
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + z 2 ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 3 − z .
2. Para el campo vectorial F (x, y, z) = (y, −x, z 2 ) y el volumen
ª
©
V = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 4, z ≥ 2 − y .
3. Para el campo vectorial F (x, y, z) = (0, y, 0) y el volumen
ª
©
V = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ z ≤ y .
Ejercicio 18. Sea F (x, y, z) = (1 − y, 2y 2 , 1 + x2 ) y
ª
©
S = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 1 − z, z ≥ 0 .
ZZ
Calcula la integral
rot (F ) · dS, indicando la orientación escogida, de las
siguientes formas:
S
1. directamente,
2. usando el teorema de Stokes,
13
3. usando el teorema de Gauss.
Ejercicio 19. (Junio 03-04) Sean el campo vectorial F (x, y, z) = (x − 1, x, z − 2)
y la superficie
ª
©
S = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z, z ≤ 2x .
1. Calcula directamente
I
C
F · dC donde C es el borde de S con orientación
positiva vista desde el punto (0, 0, 2) .
2. Determina la integral anterior mediante el teorema de Stokes.
ZZ
F · dS mediante el teorema de la divergencia.
3. Halla
S
Ejercicio 20. (Junio 05-06) Sea el campo vectorial F (x, y, z) = (xy, z, y).
I
1. Calcula directamente
F · dC donde C es la curva intersección entre el
C
x2 y 2
y2
paraboloide z =
+
y el cilindro x2 +
= 1 orientada positivamente
2
4
4
si se mira desde el origen.
2. Halla la integral anterior usando el teorema de Stokes.
ZZ
F · dS mediante el teorema de la divergencia, donde S es la
3. Calcula
S
frontera del volumen
ª
©
V = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ 1, x2 + z 2 ≤ 1
orientada exteriormente.
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