Guión Integrales de linea y superficie

GUIÓN DE INTEGRACIÓN SOBRE CURVAS Y SUPERFICIES.
• Consideramos una trayectoria σ(t):
σ : [a, b] → R3
t → σ(t) = (x(t), y(t), z(t))
• Consideramos una superficie S dada mediante la parametrización ϕ(u, v):
ϕ : D ⊂ R2
(u, v)
→ R3
→ ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
• Consideramos una función escalar f :
f : R3 →
(x, y, z) →
R
f (x, y, z)
• Consideramos un campo vectorial F⃗ :
F⃗ : R3 → R3
(x, y, z) → F⃗ (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))
1. Integral de una función escalar f sobre una trayectoria σ:
∫
∫ b
∫
f dσ =
f (σ(t)) ∥σ ′ (t)∥ dt =
f ds
σ
a
σ
2. Integral de un campo vectorial F⃗ sobre una trayectoria σ:
∫
∫ b
∫
⃗
⃗
F · ds =
P dx + Qdy + Rdz =
F⃗ (σ(t)) · σ ′ (t) dt
σ
σ
a
3. Generalización del Teorema Fundamental del Cálculo:
∫
⃗ · ds
⃗ = f (σ(b)) − f (σ(a))
∇f
σ
4. Teorema de Green en el plano: Sea D una región del plano. Sea
∂D la frontera de D (una curva cerrada, simple, orientada positiva). Sea F⃗ =
(P (x, y), Q(x, y)) un campo vectorial en el plano con P y Q de clase C 1 . Entonces:
∫
∫
∫ ∫
( ∂Q ∂P )
⃗
⃗
F · ds =
P dx + Qdy =
−
dx dy
∂y
∂D
∂D
D ∂x
5. Integral de una función escalar f sobre una superficie S dada por
la parametrización ϕ(u, v):
∫
∫ ∫
f dS =
f (ϕ(u, v)) ∥Tu × Tv ∥ du dv
S
D
6. Área de una superficie S dada por la parametrización ϕ(u, v):
∫ ∫
Área(S) =
∥Tu × Tv ∥ du dv
D
7. Integral de una función vectorial F⃗ sobre una superficie S dada
por la parametrización ϕ(u, v):
∫
∫ ∫
∫
⃗
⃗
⃗
F · dS =
F (ϕ(u, v)) · (Tu × Tv ) du dv = (F⃗ · ⃗n) dS
S
D
S
1
2
8. Teorema de Stokes: Sea S una superficie dada por la parametrización ϕ(u, v)
con frontera orientada ∂S. Sea F⃗ un campo vectorial en R3 .
∫
∫
∫
⃗ = (∇ × F⃗ ) · dS
⃗ =
⃗
⃗ · dS
rotF
F⃗ · dS
S
S
∂S
9. Teorema de Gauss o de la divergencia: Sea Ω una región del espacio con
frontera orientada ∂Ω. Sea F⃗ un campo vectorial en R3 .
∫
∫
∫
∫
⃗ =
( divF⃗ ) dV = (∇ · F⃗ )dV =
F⃗ · dS
(F⃗ · ⃗n) dS
Ω
Ω
∂Ω
∂Ω