Definición de espacio vectorial.
Espacio vectorial es una estructura algebraica creada a
partir de un conjunto no vacío, una operación interna
(llamada suma, definida para los elementos del
conjunto) y una operación externa (llamada producto
por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro
conjunto, con estructura de cuerpo), con 8 propiedades
fundamentales.
Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es
en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un
escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V.
Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se
demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un
subconjunto de V es en realidad sub espacio de V.
Teorema de sub espacio
Un subconjunto no vacío de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V
si se cumplen las dos reglas de cerradura:
Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vació es un sub espacio
Si x € H y y € H, entonces x + y € H.
Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α.
Es obvio que, si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de
cerradura se deberán cumplir. De lo contrario, para demostrar que es un
espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas i) a x) de la definición
cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un
escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se
cumplen por hipótesis, como los vectores en H son también vectores en V, las
identidades
asociativa,
conmutativa,
distributiva
[axiomas ii), v), vii), viii), ix) y x)] se cumplen.
y
multiplicativa
Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un sub espacio de V, es
suficiente verificar que:
x + y y αX están en H cuando x y y están en H y α es un escalar.
Propiedades:
1). El vector cero de V está en H.2
2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para
cada u y v en H, la suma u + v está en H.
3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para
cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.
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