Ejercicio nº 3.- Cuestión: Demostrar que si w es un campo de

ETSI de MINAS DE MADRID – Ing. Geólogo
Segundo Curso – TEORÍA DE CAMPOS
Examen Final Extraordinario
18 de julio de 2011
Alumno
D.N.I. :
NORMAS del EXAMN: 1) Cada ejercicio comenzará a resolverse en la misma hoja del enunciado, a la que puede añadirse a lo
sumo una hoja adicional grapada. 2) No está permitido levantarse ni hablar durante el examen. 3) No se hacen aclaraciones
adicionales a los enunciados, que el alumno debe entender con sus conocimientos de la asignatura.
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Ejercicio nº 3.- Cuestión: Demostrar que si w es un campo de gradientes (o sea, deriva de un potencial
escalar) entonces es irrotacional. [2 puntos]

(A) Analizar si el campo vectorial del espacio F   e x z  2 xy ,1  x 2 , e x  z  deriva de un potencial escalar y,
en caso afirmativo, calcularlo. [3 puntos]
(B) Dado el campo vectorial w = yi + z_j + xk , se pide determinar el flujo de w a través de la parte superior
(z 0) del elipsoide
x2
4

y2
9
2
z  1 con la orientación exterior al elipsoide, aplicando el teorema de Gauss. [5
 25
puntos].
Solución:
Cuestión: Suponemos w = f para algún campo escalar f(x,y,z), potencial escalar de w. De manera que
podemos escribir
w=
f
x
i  fy j  fz k
y, admitiendo que f ÎC(2)( 3), se tendrá:
w 
i

x
f
x
j
k

y
f
y

z
f
z
= ( yfz  zfy )_i  ( xfz  zfx )_j + ( xfy  yfx )_k = 0_i  0_j + 0_k = 0
2
2
2
2
2
2
c. q. d. #.
(A): i) Primeramente vemos si F cumple la condición necesaria de ser irrotacional:
F(x,y,z) = (exz  2xy)_i + (1  x2)_j + (ex + z)_k 
F =
i
j
k

x

y

z
x
e x z  2 xy 1 x 2
 0 i  (e x  e x ) j  (2 x  2 x)k = 0
e z
luego F es irrotacional y cumple la condición necesaria.
Como las componentes cartesianas de F son funciones de clase C()( 3), simplemente conexo, esta condición
es también suficiente para asegurar que existe potencial escalar.
ii) Para calcular el potencial, planteamos el sistema de ecuaciones en derivadas parciales exigiendo a un
campo escalar incógnita, U = U(x,y,z) que cumpla U = F , en todo punto de 3. O sea:
x
2
x
U
U
U
x  Fx  e z  2 xy (Ec. 1); y  Fy  1  x (Ec.2) ; z  Fz  e  z (Ec.3)
Integrando parcialmente (Ec.1) con respecto a x, se obtiene:
U(x,y,z) =  (e x z  2 xy )x  e x z  x 2 y  1 ( y, z )
como solución provisional
Exigiendo al campo U hallado la (Ec.2), se obtiene:
U
y
  x 2  y1  1  x 2 
de modo que la solución provisional es:
y ahora le exigimos la (Ec.3):
U
z
1
y
= 1  1(y,z) = y + 2(z)
U = exz  x2y + y + 2(z)
 e x  z  e x  2 ( z )  2(z) = z  2(z) = ½z2 + c
siendo c = constante arbitraria. Así, jhemos obtenido:
U = ex z  x2y + y + ½ z2 + c
y comprobamos que este campo escalar cumple las tres ecuaciones.
#.
ETSIM- I.G. - 2ºcurso
2


(B): El teorema de Gauss establece que
V
Teoría de Campos
·v dV  
 v·Next dS
V
siendo V un volumen encerrado por una superficie cerrada S = V (borde de V) que se orienta con la normal
señalando al exterior de V, y siendo v un campo vectorial de clase al menos C(1) en una región  3 que
contiene a V.
2
La superficie S = { x4 
y2
9
z  1 , z  0} no es cerrada, por lo que el teorema de Gauss no se puede aplicar
 25
2
directamente. Antes debe cerrarse S añadiendo, por ejemplo, la elipse que S determina en el plano XY, o sea,
2
S0 = { x4 
y2
9
 1 , z = 0}.
Ahora el semielipsoide sólido V, encerrado entre S y S0, o sea
2
V = { x4 
y2
9
z  1 , z  0}
 25
2
cumple
V = S + S0
y podemos aplicar el teorema de Gauss al campo regular w = yi + z_j + xk , en ese volumen V.
Se observa primeramente que
·w = 0
y que el vector normal al exterior de V sobre S0 es N0 = _k
De manera que aplicando el Teorema de Gauss se tendrá:


V
(el campo w es adivergente)
·w dV  0  
 w·Next dS   w·N S dS   w·(k)dS0
V
S
S0
Así, podemos despejar el flujo pedido:
 w·N dS  
S
S
S0
w·kdS0   xdS0
S0
La elipse S0 se puede describir en cartesianas {2  x  2,  3 1 14 x2  y  3 1 14 x2 , z = 0} o bien {3 
y  3, 2 1 19 y2  x  2 1 19 y2, z = 0}, y en ambos casos dS0 = dx dy. Así:

S0
xdS0   xdxdy =
S0
 1 2 2 1 19 y 2
3  2 x 2 1 19 y2
3
3

1
1 2
1 2
 dy  2 3  4(1  9 y )  4(1  9 y )  dy  0

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#.