PDF (Segunda Parte)

"LA INTEGRAL DE LINEA - TEOREMAS FUNDAMENTALES
Un conjunto S del plano se dice abierto si para cualquier
punto A de S, existe un disco circular con centro en A y radio
r>0, totalmente contenido en S.
Un conjunto S del espacio se dice abierto si para cualquier
punto A de S, existe una esfera con centro en A y radio r>0
, totalmente contenida en S.
En la Figura 2.6 mostramos subconjuntos conexos del plano y en la
Figura 2.7 mostramos un conjunto abierto NO CONEXO, del plano.
En el espacio, los sólidos encerrados por superficies esféricas,
poliedros e inclusive un toro (la superficie de un neumático inflado) son
conjuntos conexos.
El enunciado del Segundo Teorema Fundamental del Cálculo para
Integrales de Línea es:
Sea f un campo escalar diferenciable con gradiente grad(f)
continuo sobre un conjunto abierto conexo S del plano (o del
espacio). Entonces para cualquier pareja de puntos A y B de
S unidos por una curva lisa a trozos C de S, con
parametrización B definida en el intervalo [a, b], tenemos
que:
I
FIGURA 2.7
Si S es el conjunto formado por la reunión de
las cuatro regiones sombreadas, entonces S
es no conexo.
Un conjunto S del plano se dice abierto
si para cualquier punto A de S, existe un
disco circular con centro en A y radio r>0
, totalmente contenido en S.
Un conjunto S del espacio se dice
abierto si para cualquier punto A de S,
existe una esfera con centro en A y radio
r>0, totalmente contenida en S.
Segundo Teorema Fundamental del
Cálculo para Integrales de Línea es:
Sea f un campo escalar diferenciable
con grádente grad(f) continuo sobre un
conjunto abierto conexo S del plano (o
del espacio). Entonces para cualquier
pareja de puntos A y B de S unidos por
una curva lisa a trozos C de S, con
parametrización B definida en el intervalo
[a, b], tenemos que:
(grad(f)) • dfc = f ( B ) - f ( A )
I (grad(f)) • dfc =f(B) - f(A)
53
CALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES REALES
Para demostrar este teorema introduzcamos una función h definida
por:
h(t) = f( ß(t)) con a < t <b ;
y tomemos a la curva C lisa . Ahora por la regla de la cadena
h'(t) = ( g r a d ( f ( ß ( t ) ) ) • ß ' ( t ) ,
la cual es continua en el intervalo abierto (a, b) porque grad(f) es continuo
sobre S y C es lisa.
Si aplicamos el segundo teorema fundamental de Cálculo Integral en
una variable obtenemos:
í
h'(t) d t
= h ( b ) - h(a) = f( ß ( b » - f(ß(a))
= f(B)- f(A)
Aparentemente ya hemos demostrado completamente el teorema.
Pero no, porque hasta ahora hemos tomado a C en el caso particular
que sea lisa. Si C no es lisa pero es lisa a trozos, partamos el intervalo
[a, b] en un número m de sub-intervalos [ t k . , , t k ] en cada uno de los
cuales C sea lisa y apliquemos lo que acabamos de demostrar en cada
54
•LA INTEGRAI, DE LINEA TEOREMAS FUNDAMENTALES
subintervalo y cada trozo C k de la curva, llegando a que
i
( g r a d ( f ) ) • dß
• li
k
(grad(f))«dR
= wck
m
= I
(f[ß(tk)]
k= 1
= f(B)-
-
f[ß(tk-l)])
f(A)
Una conclusión inmediata o corolario, es que
L
( g r a d ( f ) ) • dß = 0
Una conclusión inmediata o corolario, es que
donde C es una curva cerrada lisa a trozos de S y S es un conjunto
abierto conexo en donde grad(1) es continuo.
En otras palabras, el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo
para Integrales de Línea, nos dice que si AyB son puntos cualesquiera
de un conjunto abierto conexo S y si un gradiente es continuo en S,
entonces la integral de línea entre AyB, de ese gradiente es independiente del camino escogido en S que una a A con B (en ese orden). Así
el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo para Integrales de
Línea, nos muestra propiedades del gradiente, que no nos mostró el
Cálculo Diferencial en Varias Variables .
I
( g r a d ( f ) ) • dlí
=0
donde C es una curva cerrada lisa a trozos deSySes
un conjunto abierto conexo en donde gradff) es continuo.
El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo para
Integrales de Línea, nos dice que si AyB son puntos
cualesquiera de un conjunto abierto conexo S y si un
grádente es continuo en S, entonces la integra! de línea
entre AyB, de ese gradiente es independiente del
camino escogido en S que una a A con B.
Si un campo vectorial F cualquiera, continuo en su dominio, tiene la
propiedad de que
j F • d& = 0
para toda curva cerrada C de la región donde F está definido, diremos
que es un campo' vectorial conservativo. De hecho por el segundo
teorema fundamental de Cálculo para integrales de línea, si f es un
campo escalar con grad(f) continuo en un conjunto abierto conexo S,
entonces
g r a d ( f ) e s un campo v e c t o r i a l c o n s e r v a t i v o
De inmediato nos preguntamos:
¿Si F es un campo vectorial conservativo, F será el gradiente de
algún campo escalar ?
Tenemos la esperanza de que la respuesta sea sí y en efecto es así.
Para probar esto, probemos primero que sí F es un campo vectorial
conservativo en un conjunto abierto conexo S, entonces la integral de
línea de F es independiente del camino en S. La integral de línea de F
es independiente del camino en S, si para todo A y B en S
Si un campo vectorial F cualquiera, continuo en su
dominio, tiene la propiedad de que
J F • d& = 0
para toda curva cerrada C de la región donde F está
definido, diremos que es un campo vectorial conservativo.
56
í
F • dfc
JA
es la misma para cualquier curva lisa a trozos C que junte a A con B.
Sean Ci y C2 dos curvas suaves a trozosN de S con los mismos
extremos. Sea Q una parametrización de C, con dominio [a, b] y sea (3
una parametrización de C2 con dominio [c, d]
"LA INTEGRAL DE LINEA - TEOREMAS FUNDAMENTALES
Sea
r(t) =
{
ß ( t ) , si a < t < b
ß(b + d - t), si b < t < b + d - c
donde r es la parametrización de una curva cerrada C de S que
satisface:
J FF • d r = jI F
F • dO +
+ J
Je
Jcz
Je
leí
JCi
F •
dß
Como C es una curva cerrada de S y F es un campo conservativo en
S, entonces
j
F • dr = 0
es decir,
í F • dO - i F • dß
JCi
Je2
=0,
¡ F • dO = í F • dß
JCi
/Ci
JCz
Je?
lo cual significa que la integral de línea de F es independiente del camino
en S.
<rr
CALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES REALES
Ahora demostremos que si la integral de línea de F es independiente
del camino en S (conjunto abierto conexo), entonces F es el gradiente
de algún campo escalar f definido en S. Está será una conclusión
inmediata del siguiente teorema que se acostumbra a llamar Primer
Teorema Fundamental del Cálculo para Integrales de Línea, por su
marcada analogía con el Primer Teorema Fundamental del Cálculo
Integral, en una variable.
El enunciado del Primer Teorema Fundamental del Cálculo para Integrales de Línea es:
El enunciado del Primer
Teorema
Fundamental del Cálculo para Integrales
de Línea es:
Sea F un campo vectorial continuo en
un conjunto abierto conexo S del plano (o
del espacio) y tal que la integral de línea
de F es independiente del camino en S.
Sea A un punto fijo de S y sea f un campo
escalar continuo, definido por la expresión
f(x)
=j
F • dO
donde fi es la parametrización de una
curva de S, suave a trozos, que une a A
con X. Entonces el gradiente de f existe y
grad(f(X)) = F(X)
para todo X en S.
Sea F un campo vectorial continuo en un conjunto abierto
conexo S del plano (o del espacio) y tal que la integral de
línea de Fes independiente del camino en S. Sea A un punto
fijo de S y sea 1 un campo escalar continuo, definido por la
expresión
f(x)
=j
F • dO
donde íl es la parametrización de una curva de S, suave a
trozos, que une a A con X. Entonces el gradiente de f existe
y
grad(f(X)) = F(X)
para todo X en S.
1 A INTECiRAL DE LINEA - TEOREMAS FUNDAMENTALES
Antes de demostrar este teorema resaltaremos el hecho de que con
él se completa la prueba de quefíodo campo vectorial conservativo es
un gradiente] La función cuyo gradiente ha de ser el campo conservativo
F, es la función f dada por el Primer Teorema Fundamental del Cálculo
para Integrales de Línea.
La demostración del Primer Teorema Fundamental del Cálculo para
Integrales de Línea consiste en mostrar que las derivadas parciales de
f existen y son las componentes F1 y F2 (ó F1 ,F2 y F3) del campo vectorial
F.
Llamemos B(X, r) a un círculo (o bola de R3) con centro en X y radio
r, con un valor adecuado de r para que B(X, r) esté totalmente contenido
(o contenida) en S. ( S es abierto).
Si h es un número real tal que 0 < Ihl < r, entonces X + h i también
estará en S y para analizar
|Í(X)
dx
formemos el cociente
f ( X + h T ) - f(X)
h
De acuerdo con la definición de f, tenemos que
X+hi
f (X + h i )
•í
F • dO
f(x)
F • dü
- í
59
CALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES KtALfcS
entonces
fX
f( X + h i ) -
+ hf
f(x) = j
F • dO
para cualquier camino suave a trozos de S que une a X con X + h i ,
en particular esto será válido en el segmento de recta con extremos
X y X + h f y con parametrización
O ( t ) = X + t h l con 0 < t < 1 ,
Así
0'(t) = hi
f(X + h i) - f ( X ) =
= h í
Jo
y entonces
c
Jo
-
-
F(X + t h i) • h i dt
F(X + 1 h i) • T d t ,
de lo cual obtenemos
pero
60
n x + h ¡o - f ( x )
=
r
h
Jo
F ( x + t h
; ) , r
d
t ,
1 A INTECiRAL DE LINEA - TEOREMAS FUNDAMENTALES
F(X + t h i) • i = Fi(X + t h i)
porque
F(X) = F i ( X ) í + F 2 ( X ) f
F(X) = F i ( X ) ¡ + F 2 ( X ) j
con F-|, F2 y
+F3(X)k ,
F3 campos e s c a l a r e s ,
llamados componentes de F
Así
f(x
+
ho-f(x)
h
r
F l ( x + t h r )
dt
Jo
Introduzcamos una nueva variable U en la integral:
U=ht,
f(x
+
dU = h d t , para obtener
hQ-f(x)
h
=
iíhF
h 0
J
l (
x
+
u r)dü
Sea g la función definida por
g(t)=
Fi(X + U i) dU ,
Jo
61
con dominio el intervalo abierto (-r, r) para garantizar la existencia de
la integral aprovechando que F es continuo en S.
Como
g(h)=í
Fi(X + U i) d U ,
Jo
entonces
í
f(X + h i) - f(X)
h
de donde
jo
=
Fi(X + U i) dU ,
=
h
f ( X + h i ) - f(X)
=
g(h) - g(0)
h
g(h) - g(0)
h
h
tomando límite obtenemos
lim
h^O
f(X + h i) - f(X)
h
lim
h^O
g(h) - g(0)
h
o
| L ( X ) = g'(0)
dx
Como F es continuo en S, F i también es continuo en S y el Teorema
Fundamental del Cálculo Integral en una variable nos garantiza que
g'(t) = Fi (X + 1 i)
1 A INTECiRAL DE LINEA - TEOREMAS FUNDAMENTALES
entonces
g'(0) = F 1 (X)
Como ya probamos que
òf
dx
(X) = g'(0)
se concluye que
| ^ ( X ) = F 1 (X)
dx
Si el campo vectorial
similarmente que
F e s de R 2 e n R 2 , se demuestra
| Í ( X ) = F 2 (X)
Si el campo vectorial
en forma similar que
F e s de R 3 e n R 3 se demuestra también
~ ( X ) = F 2 (X)
dy
y
| Í ( X ) = F 3 (X)
dz
con lo cual se completa la demostración.
Aparentemente la hipótesis de que S sea un conjunto conexo no se
utilizó en la demostración de los dos teoremas anteriores, pero esta
apreciación es equivocada, porque sin la conexidad de S, no podemos
garantizar la existencia de alguna curva suave a trozos en S, que
comunique un par de puntos de S.
63
CALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES KtALfcS
El Primer Teorema Fundamental del Cálculo para Integrales de
Línea completa la demostración de que todo campo vectorial conservativo
F es un gradiente y se configurauna herramienta para mostrar cuando
un campo vectorial cualquiera F no es un gradiente en un conjunto
abierto conexo S, pues es suficiente encontrar una curva cerrada C de
S alrededor de la cual
J F • d& * 0
porque así F no es un campo vectorial conservativo y por consiguiente
no es un gradiente.
En nuestro curso de Cálculo Diferencial en Varias Variables se nos
dió a conocer un teorema según el cual si F es un campo vectorial
continuamente diferenciable en un conjunto abierto S de R2 y F es un
gradiente entonces
D 2 F 1 (X) = D 1 F 2 (X)
donde
F(X)
= FI(X)T+ F2(X)jr .
Este teorema no aporta nada a la solución del problema de determinar si el campo vectorial
Una herramienta para mostrar cuando un campo
vectorial cualquiera F no es un gradiente en un conjunto
abierto conexo S, es encontrar una curva cerrada C de
S alrededor de la cual
- y
F(X, y ) = —
y
I + —
x¿ +y¿
F •
64
* 0
y
7*
- J
x¿ +y¿
es, o no es un gradiente en el conjunto abierto
1 A INTECiRAL DE LINEA - TEOREMAS FUNDAMENTALES
S = { (x,y) de R 2 I (x, y) * (0, 0) }
porque a pesar de que °2Fi (X) = Di F 2 W p a r a todo X en S, no se
puede concluir nada ya que la igualdad de esas derivadas parciales es
una condición necesaria para que F sea un gradiente.
Pero ahora podemos recurrir a buscar una curva suave a trozos C de
S alrededor de lo cual la integral de línea de F no sea cero. Una tal curva
es la circunferencia C con parametrización
O ( t ) = c o s t i + sen t j , con
0
<t
<2TT ,
porque
( cos 2 t + sen 2 t ) dt =2n.
Este último resultado nos permite concluir que
no es un gradiente en el conjunto
65
CALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES KtALfcS
S = { (x,y) de R 2 I (x, y) * (0, 0) }
Nótese que este conjunto S es también un conjunto conexo del plano.
Pero no sería descabellado el siguiente argumento en contra de esta
conclusión:
La función
a retan (y / x)
f(x
y).
V
, si x > 0
, si x = 0
TT + a retan (y / x) , si x < 0
n / 2
|
I
es una función potencial de F en S, porque
df
dx
-y
x +y2
2
.
df _
x
2
dy
x +y2
¿Cómo mostrar que este argumento es falso?
La función f no es continua en los puntos de la forma (0,y 0 ) para y o <0,
porque
<*,JÍW(x'y)=
=
66
x'™0+
x l V
arctan(y0/x)
=
f
(x-yo)
-TÍ/2
1 A INTECiRAL DE LINEA - TEOREMAS FUNDAMENTALES
( x ,
y o
=
)
l
l " o -
! y o )
f ( x , y ) =
f ( x , y
( n + a r c t a n ( y
0
/ x ) )
=
0
)
3 n / 2
f(0, yo) = tt/2
La discontinuidad de f en los puntos de la forma (0,y 0 ) para y0 <0
hace que la derivada parcial con respecto a x no exista en esos puntos,
por lo cual f no es función potencial de F en los puntos del eje y negativo.
Para todos los otros puntos del conjunto S, f es una función potencial
de F, es decir,
grad(f)
= F
para todos los puntos del conjunto
K =
R 2 - { (x, y ) I x = 0
e
y <0 } .
El análisis de este problema muestra que la existencia de una función
potencial depende no solamente del campo vectorial F sino que
también depende del conjunto S en el cual esta definido el campo
vectorial.
En la práctica pudimos utilizar el hecho de que la integral de línea al
rededor de una curva cerrada de S no es nula, para mostrar que un
campo vectorial NO ES CONSERVATIVO; pero a pesar de que si la
integral de línea de un campo vectorial al rededor de toda curva cerrada
de S es nula, es una condición suficiente para que el campo vectorial
La existencia de una función potencial depende no
solamente del campo vectorial F sino que también depende del conjunto S en el cual esta definido el campo
vectorial.
67
CALUULU irntüjKAL. EJN »AK1AS v AR1AD1.EO h e a l l o
sea CONSERVATIVO, en la mayoría de los casos, es prácticamente
imposible calcular esa integral para TODAS las curvas cerradas de S .
Esto nos deja en la carencia de una condición suficiente para verificar
que un campo vectorial F sea CONSERVATIVO en un dominio S de
características especiales.
En realidad solo desconocemos las características especiales del
dominio S en el cual para que el campo vectorial F sea CONSERVATIVO
es suficiente que se satisfaga:
D2fi(X) = D1f2(X)
Esas características especiales las da el concepto de CONJUNTO
SIMPLEMENTE CONEXO.
Un conjunto S del plano se dice SIMPLEMENTE CONEXO,
si para cualquier curva cerrada simple * C de S se satisface
que todos los puntos interiores a C son puntos de S.
Un conjunto S del plano se dice SIMPLEMENTE CONEXO, si para cualquier
curva cerrada simple" C de S se satisface
que todos los puntos interiores a C son
puntos de S.
Intuitivamente
S es simplemente
conexo en el plano si S no tiene «agujeros».
Un conjunto S del espacio se dice
SIMPLEMENTE CONEXO si para cualquier curva cerrada simple Ó de S, se
satisface que C se pueda «defomar con
continuidad en S» hasta reducirla a un
punto de S.
68
Intuitivamente S es simplemente conexo en el plano si S
no tiene «agujeros».
Un conjunto S del espacio se dice SIMPLEMENTE
CONEXO si para cualquier curva cerrada simple C de S, se
satisface que C se pueda «defomar con continuidad en S»
hasta reducirla a un punto de S.
* Una curva C se dice cerrada simple si al trazar C termina por llegar al
punto inicial, pero no pasa por otro punto dos veces.
LA INTEGRAL DE LINEA
TEOREMAS FUNDAMENTALES
Como ilustración veamos los siguientes ejemplos:
51 =
R2 - { (x, y ) I x = 0
y = o
}.
y = 0
;
No es sim-
plemente conexo .
52 =
R3 - { (x, y, z) I x = 0
e
z *
0 }
Es simplemente conexo.
La carencia de condición suficiente para que un campo vectorial F
sea CONSERVATIVO en un dominio S, la satisface, como seguramente
lo intuye el lector, el siguiente teorema:
Si el campo vectorial
f U y )
= f
i U
y )
i
+
f
1f
z
2 ( x , y ) j
satisface que:
D
2f
1(x,y)
= D
( x , y )
en su dominio S y S es simplemente conexo, entonces F
es un campo vectorial CONSERVATIVO en S.
TEOREMA
Si el campo vectorial
F(x,y)
Este teorema lo demostraremos fácilmente como una aplicación del
TEOREMA DE GREEN en la sección 3.12.
= f 1( x , y ) P + f
2{x,y)j
satisface que:
D 2f
i(x,y)-D
\f
z
(x,y)
en su dominio S y S es simplemente
conexo, entonces F es un campo vectorial
CONSERVATIVO en S.
69
CALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES KtALfcS
2.7 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE LINEA.
En forma análoga como calculamos el área de una sección de cilindro
para motivar la definición de integral de línea de un campo escalar, se
puede calcular la masa M, el centro de masa
( x, y ) ó ( x, y, z )
y el momento de inercia con respecto a una recta L, • L , de un
alambre con densidad lineal, no necesariamente constante, descrita
por un campo escalar Í3 definido sobre la curva C (del plano o del
espacio) que le da la forma al alambre, para concluir que
M = J ß(x, y, z ) ds
si la curva C está en el espacio;
4
4
70
M = | ß(x, y) ds
ß(x, y, z ) ds
si la curva C está en el plano;
ß(x, y) ds
X =j-
M
I x ß ( x , y, z) ds
Je
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE LINEA
y == _ L
=
M
{
M
l
y B ( x , y, z ) d s
z &(x, y, z ) d s
si la curva C está en el espacio;
x fc(x, y ) d s
=
M Íc
=
Í
M
y &(x, y ) d s
si la curva C está en el plano,
•L
=
=
M
=j
M
i z fc(x, y, z )
=
M
y =_L
=
ó (x, y) &(x, y ) ds
si la curva C está en el plano y d(x, y) es la distancia de un punto
cualquiera (x,y) de la curva C a la recta L.
Si la recta L es el eje x, el eje y, o el eje z, los momentos de inercia se
acostumbran a notar
l x , l y , I,, respectivamente.
í
y &(x, y, z ) d s
i
x = JL
2
x &(x, y, z ) d s
M
d 2 ( x , y , z ) &(x, y, z ) d s
si la curva C está en el espacio y d(x, y, z) es la distancia de un punto
cualquiera (x, y, z) de la curva C a la recta L,
II
i
r = J-
M
i
i
ds
x fc(x, y ) d s
y
&(x,y)ds
c
d 2 ( x , y , z ) R(x, y, z ) d s
C
2
d (x, y ) S ( x , y ) d s
- í
c
71
CALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES KtALfcS
Si la densidad Í3 es constante se obtiene los siguientes resultados
interesantes:
1.
M = j ß d s = ß j d s = ßl
donde I es la longitud de la curva C, de lo cual concluimos que
R = M.
I
lo cual confirma la definición de densidad lineal.
Si la densidad ß es constante
M = j
ßds = ß J ds = ß l
= J - í x ß ds = - f x ds = 1 f x ds
x=l|xßds
M jc
=l|xds = l|xds
M
Je
'Je
y = 1 j y ß ds = 1 y d s = I
yds
Mjc
^ Je
'Je
z=lfzßds
M je
=M
M
z ds = 1 | z ds
Je
1
M Je
M Je
¡Jc
= J _ j y ß d s = — Í yds = — I yds
y =
mJc
m Jcy
I Jc
z = j- Í z ß d s = - | z d s = l | z ds
M Je
M
Jc
1
Jc
Je
si la curva C está en el espacio;
x = J-I Je x ds
y = 1 I ydS
X = l1 Jc x d S
si la curva C está en el piano.
72
y = 11 Jcj y d s
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE LINEA
Cuando la densidad 8 es constante, el centro de masa
( x, y ) ó ( x, y, z )
se acostumbra a llamar centroide del alambre. Así que cuando se habla
de calcular el centroide de un alambre se sobre entiende que 6 es
constante. Por ejemplo, calculemos el centroide de un alambre
semicircular de radio k.
Una parametrización de la curva C es en este caso
O(t)
= ( K e o s t, K s e n t ) ,
0 < t <TT
y
II ü ' ( t• ) II = k
entonces
eos t d t
= 0
Cuando la densidad fí es constante, el centro de masa
( x , y ) ó ( x, y, z )
sen t d t
= 2 k/n
se acostumbra a llamar centroide del alambre
73
Así podemos decir que el centroide de un alambre semicircular de radio
k esta sobre el eje de simetría y a una distancia 2k/n del centro.
Un ejemplo más general nos lo da el cálculo de la masa de un alambre
con la forma de la circunferencia x2+y2=k2 y con densidad en un punto
(x, y) dada por
R(x, y ) = I x I + l y I
Utilizaremos para la circunferencia la parametrización
O(t)
= ( k e o s t, k s e n t ) ,
0 < t <2TT
II O'(t) II = k
y entonces
B(x, y ) = I x I + l y I
>2n
M = | ( II xx I + lI yy I ) ds = Ij
k 2 ( I eos t I + I sen t I ) d t
,tt/2
,2 '
= k|
L
I
(cost+sent)dt + |
Jo
r 3tt/2
/-2tt
( eos t + s e n t ) d t + I
jtt
( - e o s t + sen t ) d t
Jtt/2
_
( eos t - sen t ) dt
/ 3 tt/ 2
= 8 k2
Vale la pena destacar que este ejemplo que acabamos de mostrar es
equivalente (desde el punto de vista de la integral de línea que hay que
calcular) al problema de calcular el área A de la sección del cilindro
x2+y2=k2 comprendida entre el plano z = 0 y la superficie z=l xl + I y I,
ya que
A =
( I x I + ly f ) d s
= 8 k2
C
Este hecho nos confirma la analogía entre el procedimiento para
calcular la masa de un alambre y el procedimiento para calcular el área
de una sección de cilindro, debiéndose llegar en ambos casos a una
integral de línea de un campo escalar.
Veámoslo en un caso más general.
Si el alambre tiene la forma de la circunferencia x2+y2=k2 y con cualquier
función densidad fl(x,y), entonces
con la parametrización
O ( t ) = ( k eos t, k sen t ) , 0 < t <TT
tendremos
S(t) =
II O'(u) lldu
= k t
CALCULO INTEUKAL hN V AKIAS v a i u a b l e s k c a l u o
z
y
ds = k d t
entonces
f z tt
M = í S(x, y) ds = f
JC
Jo
B(fi(t))kdt
2n
R(0(s/k))ds ,
• i
FIGURA 2.8
Sección del cilindro xs+y2=k? comprendida entre el
plano 2=0 y la superficie z=lxl+lyl.
porque si t=0, S =0 y si t=2n, S=2kn y si llamamos
F(s) = R ( 0 ( s / k »
se tiene que
2 kn
Jo
F(s) ds
La gráfica de 3(x,y) y la circunferencia x2+y2=k2 están en un mismo
cilindro. Si extendemos la superficie del cilindro sobre un plano
coordenado haciendo coincidir la circunferencia en el eje horizontal con
el intervalo [0,2kn] y si llamamos s al eje horizontal del plano coordenado,
la gráfica de Í3(x, y) se convertirá en la gráfica de F(s) y entonces
2
k n
F(s) ds
76
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE LINEA
es el área de la sección del cilindro x2+y2=k2 comprendida entre
z = 0 y
z
=
y)
Con la figuras 2.8 y 2.9 se ilustra este proceso para el caso en que
B(x, y )
= Ix I + l y I
y el alambre tenga la forma x2+y2=k2, cuya masa y área ya calculamos.
Figura 2.9
Resultado de extender en un plano la sección de
cilindro mostrada en la figura 28. El área de esta
región corresponde a la masa del alambre si B es
la densidad.
CALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES KtALfcS
2.8 EJERCICIOS
1. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas
• F(x,y,z) = xí+ yj + zk
al actuar sobre una partícula que se mueve a lo largo del segmento de
recta cuyos extremos son los puntos (0,0,0) y (1,1,1).
2. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas
•
•
-»
F(x,y,z) = xi + yj + zk
al actuar sobre una partícula que se mueve a lo largo de la parábola
y = x 2 , z= 2, desde x = -2 hasta x = 2.
3. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas
F(x,y) = xn í + yn J
al actuar sobre una partícula que da una vuelta completa a la elipse
a2
78
b2
en sentido antihorario.
4. Plantee la integral de línea que habría que calcular (no intente hacer
ese cálculo) para encontrar la longitud de la curva C obtenida de la
intersección del cilindro circular recto x2 + y2 = 4
c o n e | p | a n o z= 2y.
5. Calcule el área de la superficie del cilindro circular recto x2 + y2 = 4
comprendida entre los planos z=y; z=3y.
6. Un cilindro circular de radio 5 cms. contiene al centro de una esfera
de radio 10 cms. (el centro de la esfera está en la superficie del cilindro).
Hallar el área de la parte del cilindro que está dentro de la esfera.
7. Calcule la masa y el centro de masa, del alambre que tiene la forma
de la circunferencia del plano que pasa por los puntos (1 ,-1), (1,1) y (3,3) y con función densidad
B(x,y) = 1 + x 2 + y 2
8. Calcule el centroide del alambre que tiene la forma de la circunferencia del plano que pasa por los puntos (1,-1), (1,1) y (3,-3).
9. Calcule el centroide del alambre que tiene la forma del triángulo con
vértices (-5,0,1), (0,2,0) y (5,-2,-1). Resuelva el problema utilizando los
conceptos de este capítulo y también utilizando un método geométrico.
Compare los resultados. ¿ Cuál de estos dos métodos prefiere usted?
10. Calcule el momento de inercia del alambre que tiene la forma del
rectángulo con vértices (1,0), (0,1), (-3,-2) y (-2,-3), con respecto a la
recta y=x y con una densidad constante.
11. Elabore un argumento intuitivo para defender su respuesta a la
pregunta: ¿Es conexo el conjunto S de los puntos (x, y) del plano que
satisfacen las condiciones:
(i) l x + 2 I + l y - 1 I < 2
(i¡) (x, y) no está en el segmento de recta cuyos extremos son (-4,1) y
(0,1)?
12. Elabore un argumento intuitivo para defender su determinación de
cuáles conjuntos de los mostrados en la figura 2.6 son simplemente
conexos y cuáles no.
13. Elabore un argumento intuitivo para defender su determinación dé
cuáles de los conjuntos descritos a continuación son simplemente
conexos y cuáles no:
S ! = R 3 - { (x,y,z) I x = 0, y = 0, z = 0 }
5 2 = R 3 - { (x,y,z) I x = 0, y = 0, z en R }
5 3 = R 3 - { (x,y,z) I x = 0, y = 0, z < 0 }
14. Elabore un argumento intuitivo para defender su respuesta a la
pregunta: ¿Es simplemente conexo el conjunto S mostrado en la figura
2.7?
15. Elabore un argumento intuitivo para defender su respuesta a la
pregunta: ¿Es simplemente conexo el conjunto S de los puntos (x, y)
del plano que satisfacen las condiciones:
(i) El máximo de { I x - 1 I, I y - 1 I } es menor que 1.
(ii) (x, y) no está en el segmento de recta cuyos extremos son (1,1) y
(2,2)? '
16. Elabore un argumento intuitivo para defender su respuesta a la
pregunta: ¿Es simplemente conexo el conjunto S de los puntos (x, y)
del plano que satisfacen las condiciones:
LA INTEGRAL DE LINEA - EJERCICIOS-
(j) IX + 21 + I y - 1 I < 2.
(ii) (x, y) no está en el segmento de recta cuyos extremos son (-3,1) y
(-1,1)?
17. Elabore un argumento intuitivo para defender su respuesta a la
pregunta: ¿ Es simplemente conexo el conjunto S de los puntos (x, y,z)
del espacio que satisfacen las condiciones:
(i) El máximo de { I x - 1 I, l y - 1 1 , I z - 1 I > es menor que 1.
(ii) (x, y, z) no está en el segmento de recta cuyos extremos son:
(0,0,0) y (2,2,2)?
18. Elabore un argumento intuitivo para defender su respuesta a la
pregunta: ¿ Es simplemente conexo el conjunto S de los puntos (x, y,z)
del espacio que satisfacen las condiciones:
(i) I x + 2 I + I y - 1 I + I z I < 2.
(ii) (x, y, z) no está en el segmento de recta cuyos extremos son:
(-3,1,0) y (-1,1.0)?
1.9. Elabore un argumento intuitivo para defender o contradecir la
siguiente proposición:
«Todo subconjunto del plano que sea simplemente conexo será también simplemente conexo al considerarlo como subconjunto del espacio.»
20. Redacte la proposición contraria de la dada en el ejercicio anterior
y repita el ejercicio.
21. Al finalizar la sección 2.6 se nos dio a conocer el siguiente teorema:
81
CALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES KtALfcS
«Si el campo vectorial
F (x, y) = f 1 (x, y ) /'
+f
2(x,y)y
satisface que
D zf i (x, y ) = D
2(x, y )
en su dominio SyS es simplemente conexo, entonces Fes un campo
vectorial CONSERVATIVO en S.»
Redacte el teorema correspondiente para cuando el conjunto S está en
el espacio y el campo vectorial F es de R3 en R3 .
22. ¿En cuáles de estos conjuntos
S i = R 3 - { (x,y,z) lx = 0,y = 0, z = 0 }
52 = R 3 - { (x,y,z) I x = 0, y = 0, z en R }
53 = R 3 - { (x,y,z) lx = 0, y = 0, z < 0 }
será conservativo el campo vectorial.
F(x,y,z) =
=
x
4
í+ _ l
2+y2+z2
x2+y2
+ z2
j+
x2
?
+ y2 + z 2
k
23. La fuerza gravitatoria que ejerce la tierra, colocada en el origen de
un sistema de coordenadas rectangulares, sobre una partícula en el
82
LA INTEGRAL DE LINEA - EJERCICIOS
punto (x,y) es:
F(x, y) = -
(X
' y)
II (x, y) II3
Calcular el trabajo total efectuado por F si la partícula
(a) Va desde el punto (2,0) al punto (0,1) según el tramo del primer
cuadrante de la elipse
x2 + 4y2 = 4
(b) Va desde el punto (2,0) al punto (0,1) según el segmento de recta
cuyos extremos son esos dos puntos.
(c) Recorre toda la elipse
x2 +4y2 = 4
83
3. INTEGRALES MULTIPLES
En el Capítulo 2 extendimos el concepto de integral definida al
concepto de integral de línea, tomando como dominio de la función a
integrar, una curva lisa a trozos del plano. Ahora nos proponemos otra
extensión del concepto de integral definida, tomando como dominio de
la función una región del plano, en cuyo caso hablaremos de integral
doble, o una región del espacio, en cuyo caso hablaremos de integral
triple.
3.1. INTEGRAL DOBLE
Para ver de una manera natural el concepto de integral doble
tratemos primero un caso particular de integral doble: el que aparece al
calcular el volumen de un sólido del espacio con base rectangular
apoyada en el plano-xy, mencionado en el Capítulo 1.
INTEGRALES MULTIPLES - VOLUMEN DE UN SOLIDO DEL ESPACIO
3.2. VOLUMEN DE UN SOLIDO DEL ESPACIO
CON BASE RECTANGULAR APOYADA EN
EL PLANO-XY.
Tomemos un sólido S del espacio delimitado en el sistema de
coordenadas cartesianas tridimensionales xyz, por las siguientes superficies:
x = a; x = b; y = c; y = d; z = 0 y z = f(x, y),
/•
donde a, b, c y d son constantes reales tales que a < b; c < d y f es un
campo escalar continuo en el rectángulo
R = [ a , b ] x [c, d ]
Y además f (x, y) a 0 para todo (x, y) en el rectángulo R. La figura
3.1 muestra uno de esos sólidos S que hemos descrito.
De acuerdo con esta descripción podemos decir que
.•;• .•;• .•;• .•;• .•;• .•;• .•;• .•;•
X
FIGURA 3.1
Un sólido S del espacio delimitado por las
superficies x=a; x-b,y=c
y=d; z=Oyz=f(x,y).
Su base es rectangular y está apoyada
en el plano xy
S = {(x,y,z) I (x,y) e s t á e n R y O s z s f(x,y) >
por lo cual S también se le llama conjunto de ordenadas de f sobre R.
El volumen V de ese sólido S se puede calcular de varias formas, una
de las cuales es la siguiente:
S= {(x,y,z) I(x,y) estáenRyOszsf(x,y)}
S también se le llama conjunto de ordenadas de f
sobre R.
CALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES KtALfcS
z-U*.y)
Si cortamos el sólido S con un plano paralelo al plano-yz y que corta
al intervalo [ a, b ] en un punto x fijo, obtenemos una sección de S,
llamémosla T(x) cuya área es:
A(x) = |
f(x,y)dy
La figura 3.2 muestra la sección T(x) de S.
A(x) define así una función de la variable x, que es integrable en el
intervalo
[ a, b ] y tal que
FGURA 3.2
Sección T(x) del sólido
El área de T(x) es
i
í
S.
r»>
A(x) dx =
|
f(x,y)dy dx
Además
i
f(x,y) dy
A(x)dx = V(S) (Volumen de S )
Como ya lo aprendimos en nuestro curso de Cálculo Integral en una
Variable.
Así que
V(S)
88
-ílí
f (x,y) dy dx
V(S) = |
|
f (x.y) dy dx
INTEGRALES MULTIPLES - INTEGRAL DOBLE DE UN CAMPO ESCALAR DEFINIDO Y CONTINUO SOBREREGIONESMASG
3.3.DEFINICION DE INTEGRAL DOBLE DE UN
CAMPO ESCALAR DEFINIDO Y CONTINUO
SOBRE UN RECTANGULO
En la sección 3.2 encontramos que el volumen del sólido S mostrado
en la figura 3.1 es:
f(x,y)dy dx
A la secuencia de esas dos integrales, de la dérecha, cuando existe,
se le llama integral doble de f sobre R =' [a,b] x [c, d].
Más generalmente, si f es un campo escalar definido y continuo en
un rectángulo R=[a,b]x[c, d], definimos como integral doble de f sobre
R, a la secuencia de integrales (o integrales iteradas)
dx
V lo notaremos con el símbolo (Notación de Leibniz)
f(x,y) dxdy
Si f es un campo escalar definido y continuo en un
rectángulo R = [a,b] x [c, d], definimos como integral
doble de f sobre R, a la secuencia de integrales (o
integrales iteradas)
f (x,y )dy
dx
R
89
E
N
E
R
A
L
E
(JAUJUIAJ 1IN 1ttjKALEJN V AKlrtí V ftRlrtDLCO
Otras formas de notación para la integral doble son las siguientes:
f
f(x, y) dA .
R
i"
í
Ja
Je
d
f ( x y ) d x d y ;
/ /
f
R
Los libros rusos usan la notación
JJf(x,y) dx dy = J
dxj
f(x,y)dy
Otros textos notan la integral
JJf(x,y)dxdyasf:JJf(x,y)dA
R
R
y en esta notación "dA" es el diferencial de área y se calcula en el
sistema de coordenadas más cómodo según la geometría del problema. Es decir,
í
í
J J f (x, y) dx
dy =
íb
fd
J f(x.y)dy dx
R
Para ilustrar el manejo de este nuevo concepto, calculemos el
volumen del sólido S delimitado por las superficies:
x = 1 ; x = -1 ; y = 1 ; y = -1 ; z = 0 y z = 2 - x 2
í (
I I
* *
R
90
r \c f(x,y)dy dx
f (x, y) dx dy =
/I L'®
J
R ={ (x,y) tales que I X I £ 1, i y i * i > .
-y2
INTEGRALES MULTIPLES - INTEGRAL DOBLE DE UN CAMPO ESCALAR DEFINIDO Y CONTINUO SOBRE UN RECTANGULO
Para estos valores de x y y, 2 - x 2 - y 2 » 0 , entonces
V(S) =
( 2 - x 2 - y 2) dx dy
( 2 - x 2 - y 2) dy
=
/ , [
2 y
-
x 2 y
-1 3
Z=2-X2-Y2
dx
4 l - ,
10 - 2 x 2 dx =
dx
3
La figura 3.3 muestra el sólido S al cual le calculamos el volumen
utilizando una integral doble.
Para que la integral doble de f sobre R, corresponda al volumen del
conjunto S de ordenadas de f sobre R, es necesario que
FIGURA 3.3
Sólido S delimitado por los planos
x=1; X=-1; y=1; y=-1; z=0
z=2rf-f
(Paraboloide)
f ( x , y ) s 0 para todo ( x , y) en R.
Un caso en el cual la integral doble no corresponde al volumen del
conjunto S de ordenadas, es el siguiente:
91
f ( x, y) = sen y
II
definida en R = [0,1] x [O, 2nJ
( s e n y ) d x dy = 0jv(s)=4
R
Como se puede verificar fácilmente en este caso y más adelante en
forma general,
|seny| dxdy = V(S)
R
La razón es: El valor absoluto de un número es siempre mayor o igual
a cero.
En nuestra definición de integral doble hemos condicionado al
campo escalar f a que sea continuo en el rectángulo R = [a,b] x [c, d].
La definición misma de la integral doble no requiere que el campo
escalar f sea continuo en R, sin embargo para asegurarnos de que la
integral doble exista se ha puesto ese condicionamiento.
Todos los pasos de la demostración del hecho de que la integral
doble de un campo escalar f continuo en un rectángulo R de la forma
[a,b] x [c, d] siempre existe, no los vamos a detallar y justificar
completamente porque tendríamos que introducir conceptos más elevados del análisis diferencial en varias variables,* pero sí indicaremos
los pasos fundamentales a continuación.
* Los conceptos de análisis diferencial que no podemos tratar por estar fuera del contexto, son
los de conjunto compacto y continuidad uniforme.
INTEGRALES MULTIPLES - INTEGRAL DOBLE DE UN CAMPO ESCALAR DEFINIDO Y CONTINUO SOBRE UN RECTANGULO
Nuestra definición establece que
f ( x , y ) dx dy =
-ílí
f (x,y) dy dx
Para x fijo la función f (x, y) es continua en el intervalo [c, d] y como
ya lo aprendimos en nuestro curso de Cálculo Integral en una Variable
í
f (x,y) dy existe
Si llamamos A(x) a la integral anterior, A(x) define una función en el
intervalo [a,b] así
A(x) = |
f (x,y) dy
•r
Veamos ahora que esta función es continua en [a,b]. En efecto como
f es continua en R = [a,b] x [c, d] y R es un conjunto compacto de R2entonces f es uniformemente continua en R y por consiguiente
0 £ IA ( x + h ) - A (x) I =
£
i
f
(f(x + h,y)-f(x,y))dy
|f(x + h,y)-f(x,y)|dy
.<>.' si h — 0
93
CALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES KtALfcS
luego entonces
h ÜH! 0
A ( x + h ) = A(x)
Así como A(x) es continua en [a,b] entonces
,b
Ja
94
fb
A(x) dx = I
Ja
íd
Je
f(x,y)dy dx
INTEGRALES MULTIPLES - INTEGRAL DOBLE DE UN CAMPO ESCALAR DEFINIDO Y CONTINUO SOBRE REGIONES MAS GENERALES
3.4.DEFINICION DE INTEGRAL DOBLE DE UN
CAMPO ESCALAR DEFINIDO Y CONTINUO
SOBRE REGIONES MAS GENERALES
En la Sección 3.3 definimos la integral doble de campos definidos y
continuos sobre rectángulos de la forma [a, b]x[c, dj. Utilizando esa
misma definición extenderemos la definición a regiones más generales.
En la sección 2.6, se introdujo el concepto de conjunto abierto del
plano. Ahora introduciremos el concepto de conjunto cerrado del plano
y el concepto de región acotada del plano.
Un conjunto Q del plano se dice cerrado, si su complemento con
respecto al plano, es un conjunto abierto.
Una región Q del plano se dice acotada si Q se puede inscribir en un
rectángulo R de la forma [a, b]x[c, d]para a, b, cyd números reales.
Diremos que Q es una región cerrada y acotada del plano, si Q es un
conjunto cerrado del plano y Q es una región acotada del plano.
Con estos nuevos conceptos definiremos la integral doble para
regiones cerradas y acotadas del plano.
Sea f un campo escalar definido y continuo en una región Q cerrada
y acotada del plano. Como Q se puede inscribir en un rectángulo R de
la forma [a, b]x[c, d], para utilizar la definición de integral doble dada en
la Sección 3.3 definiremos una función F cuyo dominio es el rectángulo
Un conjunto Q del plano se dice cerrado, si su
complemento con respecto al plano, es un conjunto
abierto.
Una región Q del plano se dice acotada si Q se puede
inscribir en un rectángulo R de la forma [a, b]x[c, d] para
a, b, cyd números reales.
Diremos que Q es una región cerrada y acotada del
plano, si Q es un conjunto cerrado del plano y Q es una
región acotada del plano.
95
R y tal que F(x, y)=f(x, y) si (x, y) está en Q, es decir F y f son la misma
en Q, y F (x, y) = 0, si (x, y) está en R pero no está en Q, es decir,
(x, y ) , si (x,y) está en Q
F (x, y) =
0 , si (x, y) está en R - Q
Si F(x, y) = 0 fuera de Q es evidente que el volumen del conjunto de
ordenadas sobre Q de f es igual al volumen del conjunto de ordenadas
de F sobre R, hecho que explica la definición de F y la siguiente
definición de integral doble de f sobre Q:
II
f (K y ) dx dy
R
Q
• f fí
F (x, y) dxd y
=
F(x,y ) d y
M ' [ í
F (x ,y ) d x
Pero la existencia de la integral
F (x,y) dx dy
sólo estaría garantizada si F es continua en R, es decir,
lim
(x,y)
f(x,y) = 0
(xJJ.VQ)
dy
INTEGRALES MULTIPLES - INTEGRAL DOBLE DE UN C A M P O ESCALAR DEFINIDO Y CONTINUO SOBRE REGIONES MAS GENERALES
en todos los puntos (xo-Yo) de la frontera de Q.
Y
ii
Para ver por otro lado, que la existencia de la integral doble sobre R
de F está garantizada y de paso encontrar una forma de calcularla en
términos de la función f,repartamos las regiones Q cerradas y acotadas
del plano en tres clases.
Diremos que una región Q cerrada y acotada del plano es de la
clase I, sí
Q={(x, y ) tales que a-s x¡s b
y
y i(x ) ¡s y<. y 2 (x ) >
para ayb números reales y V 1 y V 2 funciones continuas en
el intervalo cerrado [a,b], diferenciales en el intervalo abierto
(a,b) y que satisfacen la desigualdad
(P l(*
) S <P
(x, <p,(x)), (x, (^(x)) y entonces
Je
F(x, y) dy +
/y= ( f 2 (x)
V-
"Pj (X)
JÉlíx,
ÍJ H af
¡id. H m é&iíí i •rtt j f
Lfefcíismau -ti '11 JLLL
£
a iM Ltl
if3
jipmM
i Í:J£: tt í
w tt mi ad a: n a :fp i
•i wj^jrTJT
•"•"•ei
t-tt
y
/
(x)
c
b
f
d
F(x, y) dy +
)<pi(X)
/•<P2(X)
f(x, y) dy
'<Pi(x)
FIGURA 3.4
Región O cerrada y acortada del plano,
de la clase I
Diremos que una región Q cerrada y acotada del
plano es de la clase I, 'si
Q={(x,y)talesquea*x*b
j F(x,y)dy
/<P2(X)
/
/
/
2(* )
La figura 3.4 muestra una región Q cerrada y acotada del plano de la
clase I. Como se ve, el rectángulo circunscrito es R = [a, b]x[c, d] donde
c y d son los valores mínimo y máximo de V i y <P 2 respectivamente.
Para un valor x fijo del intervalo [a,b], la recta vertical que pasa por
x, intersecta a la región Q en el segmento de extremos
/<pi(x)
d
J<P2(X)
F(x, y) dy
y q>i(x)sys<p
¿x))
para a y b números reales y f l /
<P 2 funciones continuas en el intervalo cerrado [a,b] ,
diferenciales en el intervalo abierto (a,b) y que satisfacen la desigualdad
<P 1(*
) S <p 2(X
)
97
CALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES KtALfcS
Por lo que, entonces
f (x, y ) dx dy
= I
Q
I
F (x, y ) dx d y
R
= i (í
F (x ,y ) d y
f b r /q)2(x)
dx
=
f(x, y) dy dx
Ja
/cpi(x)
FIGURA 3.5
Región Q cerrada y acotada de la clase II.
jj 1
f í
(x, y ) dx dy
ff
=
F(x,y )dy dx
F (x,y ) dx d y
t<K»)
f(x,y)dy dx
•ffí
Este último resultado garantiza la existencia de la integral. Evidentemente el orden de integración (por dentro con respecto a y y por fuera
con respecto a x) no es indiferente.
Diremos que una región Q cerrada y acotada del plano es de
la clase II si
Q={{x, y ) tales que c s y s d
Diremos que una región Q cerrada y acotada
del plano es de la dase II si
Q={(X y ) tales que c s y*d
y <p i(y )s x s q> ¿y )}
1
para c y d números reales y
^
^ 2
funciones continuas en el intervalo cerrado [c, d],
diferenciables en el intervalo abierto (c, d) y que
satisfacen la desigualdad
<P i(y
98
) ^ <P 2(y )
para todo y en [c, d].
y
<p ^y ) £ x s; cp 2 (y ) >
para cyd números reales y V 1 y *P 2 funciones continuas
en el intervalo cerrado [c, d], diferenciables en el intervalo abierto
(c, d) y que satisfacen la desigualdad
(P 1 (y ) * <P 2{y )
para todo y en [c, dj.
La figura 3.5 muestra una región Q cerrada y acotada del plano de la
clase II. Como se ve, el rectángulo circunscrito es R = [a, b]x[c, d]
donde a y b son los valores mínimo y máximo de o, y 02 respectivamente.
INTEGRALES MULTIPLES - INTEGRAL DOBLE DE UN CAMPO ESCALAR DEFINIDO Y CONTINUO SOBRE REGIONES MAS GENERALES
Para un valor y fijo del intervalo [c, d], la recta horizontal que pasa
por y intersecta a la región Q en un segmento de extremos
(q>i(y). y ) . (<P2(y). y) y entonces
í
<pi(y)
F(x, y) dx
/-<P2(y)
F(x, y) dx +
•í
rb
F(x, y) dx +
F(x, y) dx
J tp2(y)
j<pi(y)
r<P2(y)
f(x, y) dx
=
Api(y)
Por lo cual
f (x, y ) dx dy
Q
• [ [í
=
I
F (x, y ) dx d y
R
fd \ f<P2(x)
F(x,y ) d x
dy =
f(x, y) dx dy
Je
Api(y)
Resultado éste que garantiza la existencia de la integral y en el cual
se ve claramente el qué orden de integración (por dentro con respecto
a x y por fuera con respecto a y) no es indiferente.
)
f(x,y)dxdy = f f
R
F (x, y) dx d y
f[i>" H [ C «
dy
99
CALCULO INTEGRAL EN VARIAS VAKlABLbS KtALtlS
Diremos que una región cerrada y acotada del plano Q, es de la clase
III si no es de la clase I y no es de la clase II.
La figura 3.6 muestra una región cerrada y acotada del plano de la
clase III.
A pesar de la complejidad de la región mostrada de la figura 3.6 se
puede apreciar que se puede partir en un número finito de regiones de
la clase I o de la clase II. En general, la mayoría de las regiones de clase
III se pueden partir en un número finito de regiones de la clase I o de la
clase II. (Ver ejercicios).
Para calcular la integral
f (x, y ) dx dy
Q
FIGURA 3.6
La región Q es una región cerrada y acotadala
clase III
cuando Q es una región de la clase III, partimos la región Q en el menor
número posible de regiones de la clase I o clase II, calculamos la integral
en cada una de esas sub-regiones y luego sumamos.
Algunas regiones cerradas y acotadas del plano son de clase I y clase
II, por ejemplo las regiones encerradas por circunferencias, elipses o
regiones rectangulares de la forma R = [a, b]x[c, d] para a, b, c y d de
números reales. En estas regiones que son de clase I y clase II, el orden
de integración es indiferente.
Diremos que una región cerrada y acotada del plano
Q, es de la clase III si no es de la dase I y no es de la dase
II.
100
Para ilustrar la forma de calcular integrales dobles de campos
escalares continuos definidos en regiones cerradas y acotadas del
plano, no necesariamente rectangulares, calculemos la integral doble
de un campo escalar definido sobre una región de clase III, la cual
partiremos en regiones de clase I o clase II.
INTEGRALES MULTIPLES - INTEGRAL DOBLE DE UN CAMPO ESCALAR DEFINIDO Y CONTINUO SOBRE REGIONES MAS GENERALES
La región poligonal Q con vértices (0,0), (6,0), (2,2), y (0,6) que
mostramos en la figura 3.7 es una región cerrada y acotada del plano
de la clase III, pero la podemos partir en dos regiones triangulares T de
vértices (0,0), (2,2) y (0,6), la cual es de clase I y S de vértices (0,0), (2,2)
y (6,0), la cual es de clase II. La función
f(x, y) = x 2 + y 2
es un campo escalar continuo sobre Q, entonces
II
f f
f (x, y ) dx dy
FIGURA 3.7
Esta región O del plano, es de clase III y la partimos en dos, una de clase I, T, y otra de clase II, S.
f
1 (x, y ) d x dy +
T
=
f f
f
f(x,y)dxdy
S
( x 2 + y 2 ) d x dy
+
r-2x+6
-ílí
=
( x 2 + y 2 ) d y dx + |
f
f
2
r- 2 y + 6
|
f l íy
(x2 + y 2 ) d x d y
( x 2 + y 2 ) d x dy
= 112
101
CALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES KtALfcS
Algunas regiones de clase I no son de clase II, y viceversa. Pero si
una región es de clase I y no es de clase II, la podemos partir en un
número finito de regiones de clase II, haciéndose posible que en el
cálculo de la integral doble se cambie el orden de integración. Por
ejemplo al calcular la integral doble de un campo escalar positivo f,
sobre una región Q se obtuvo
4
Í
2
ç 4x - X 2
f(x, y) dy dx
/ 2x - 8
De la secuencia dé integrales deducimos que la región Q es la que
muestra la figura 3.8, región de clase I. Si deseamos cambiar el orden
de integración, como Q no es de clase II, la partimos en dos regiones
de clase II: S y T y expresamos esa integral doble así:
FIGURA 3.8
La región Qesde clase I pero no es de clase II.
Se puede partir en dos regiones SyT de clase II.
i: [í
102
(y +8)/2
f(x,y) dx dy +
[I
f
2+Y4 - y
2-Y4-y
f(x, y) dx dy
INTEGRALES MULTIPLES - ALGUNAS PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE
3.5. ALGUNAS PROPIEDADES DE LA INTEGRAL
DOBLE
Como la integral doble de funciones continuas la hemos definido en
términos de dos integrales ordinarias, es natural que satisfaga algunas
propiedades de las integrales ordinarias. Enunciemos algunas de ellas.
Las demostraciones de estas propiedades están basadas en las
correspondientes para integrales ordinarias.
1. Linealidad de la integral doble
Si f y g son dos campos escalares definidos y continuos en una región
Q cerrada y acotada del plano, a, b son números reales, entonces
II
<
a
,
+
bg) =
a
g
jf
( af + bg ) = a J
j ,+ b/j
2. Aditividad con respecto a la región de integración
Si f es un campo escalar definido y continuo en una región Q
cerrada y acotada del plano y
Q1.Q2.
- -.Qk
IOS
CALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES KtALfcS
i
son k regiones del plano tales que:
<i
Q = Ch U Q 2 U
Q >
/
o
o
Q1.Q2
Y además si
V Q
...
U Qk
o
Qk
representan a los puntos interiores de Qi- Q2. • • • . Qk
/
f
y son tales que
o
^ V
o
Q¡ n Q j = <t>, p a r a i *
i, j = 1, 2
FIGURA 3.9
Región Q cerrada y acotada delplano partida en k
regiones. La integral doble sobre Q de fes la
suma de las integrales dobles de f sobre
Q„ Q, ...Qk
j
k
entonces
II
Qi
f
II
+
Q2
f
Qk
En la figura 3.9 mostramos las condiciones de Q1. Q2
que se satisfaga esta propiedad.
=
Q
Qk para
3. Teorema de Comparación
Si f y g son campos escalares definidos y continuos en una región Q
acotada del plano, tales que f(x, y) < g(x, y) en la región Q, entonces
f (X, y) dx dy s
O
104
II
I I
O
g (x, y) dx dy
f (X, y ) d x dy
,
f
I
Q
g (x, y) dx dy
INTEGRALES MULTIPLES - LA INTEGRAL DOBLE DE CAMPOS ESCALARES CON DISCON TINUIDADES
3.6. LA INTEGRAL DOBLE DE CAMPOS
ESCALARES CON DISCONTINUIDADES
En las Secciones 3.3 y 3.4 definimos la integral doble de campos
escalares continuos sobre regiones cerradas y acotadas del plano.
Podríamos pensar que la continuidad del campo escalar sobre la región
de integración sea una condición necesaria para la existencia de la
integral doble. Pero no, la integral doble también existe en casos
especiales en los cuales el campo escalar no es continuo en toda la
región de integración.
Uno de esos casos especiales a los cuales nos referimos arriba es el
de los campos escalares seccionalmente continuos en una región
cerrada y acotada del plano.
Diremos que un campo escalar f es seccionalmente continuo en
una región cerrada y acotada Q del plano, si existen sub-regiones
Diremos que un campo escalar f es
seccionalmente continuo en una región cerrada y
acotada Q del plano, si existen sub-regiones de
de Q, llamémoslas Qi> O2
Qr del plano, donde F es continuo en cada una de ellas y estas sub-regiones son tales que
Q, llamémoslas
Ql<Q2
Qr
del
plano, donde F es continuo en cada una de ellas
y estas sub-regiones son tales que
y
Q = Q^ UQ2U ...
UQr
o
o
O, n Q¡ = <¡>,para i * j
i ,j =1.2
r
O = 01 UQ2U
o
...
UQr
o
Qj n Qj = 0 ,para i # j
i ,j = 1 , 2
r
105
CALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES KtALfcS
En otras palabras, Q se puede partir en un número finito de subregiones en cada una de las cuales f es continua.
Para un campo escalar f seccionalmente continuo en una región Q
cerrada y acotada del plano, definimos la integral doble de f sobre Q con
la expresión
| |
f
(x, y)
dx dy
=
f
01
Q
donde Oí
definición anterior.
f f f + f f ...+ f f
Or
02
+
f
Or
son sub-regiones de Q, que satisfacen la
La existencia de esta integral doble de f sobre Q, está garantizada por
cuanto que ya garantizamos en las Secciones 3.3 y 3.4 la existencia de
cada una de las integrales dobles de f sobre cada una de las regiones
Q i, Q 2, • • • . Q r . Además todos los resultados que hemos obtenido
para integrales dobles de campos escalares continuos se hacen válidos
con esta definición para campos escalares seccionalmente continuos y
observando además que si un campo escalar f es continuo en una
región Q cerrada y acotada del plano, entonces f es seccionalmente
continuo en Q, nuestro tratamiento teórico se hace más general.
106
3.7. INTEGRAL TRIPLE
Al iniciar este capítulo (y en el capítulo 1), anunciamos otra extensión
del concepto de integral definida, caso en el cual el dominio de la función
a integrar es una región (o sólido) del espacio, integral que llamaremos
integral triple.
Con el desarrollo que hemos hecho de las integrales dobles nos será
muy fácil el desarrollo de las integrales triples por cuanto que es muy
natural la generalización de todos los conceptos y resultados.
3.8. DEFINICION DE INTEGRAL TRIPLE DE UN
CAMPO ESCALAR DEFINIDO Y CONTINUO
SOBRE UN PARALELEPIPEDO
En la Sección 3.3 definimos la integral doble de un campo escalar f
continuo en un rectángulo R = [a, b]x[c, d] por:
f(x,y) dx dy = |
|
f (x, y) dy dx
R
Y por ser el rectángulo R de clase I y de clase II (Sección 3.4.),
entonces también
f(x,y) dx dy
• f [í
-
f (x , y) d x d y
Es entonces natural que si f es un campo escalar continuo en un
paralelepípedo P de la forma [a, b]x[c, d]x[m, n], definamos la integral
triple de f sobre P por
INTEGRALES MULTIPLES - INTEGRAL TRIPLE DE UN CAMPO ESCALAR DEFINIDO Y CONTINUO SOBRESOLIDOSMASGENERALESDELESPACIO - DEFINICION
f [f (f
Ja
Je
f (x, y, z ) dz
dy
dx
\Jm
o de cualquiera de las otras cinco formas que resultan al cambiar el
orden de integración en la anterior secuencia de integrales* y la
notamos con alguno de los símbolos:
fff
fdv **
P
f (x, y, z ) dxdydz,
P
•I j
f (x, y, z ) dxdydz¿
f ;
P
Brevemente
f (x, y, z ) dxdydz
=
\j
J
|j
f (x, y, z ) dz \dy
dx
Esta definición la podemos ilustrar con un ejemplo sencillo que ilustra
alguna afirmación del capítulo 1.
El campo escalar f(x, y, z) = 1 es continuo en el paralelepípedo
P=[a,b]x[c, d]x[m, n], entonces
* Al igual que en integrales dobles, la continuidad de f garantiza la existencia de la integral triple
sobre P.
** El símbolo "dv" es diferencial de volumen y se busca en el sistema de coordenadas más
conveniente.
f f f
f (x, y. ¿) dxdydz
= f
|j
|f
f (x, y, z ) dz
jdy dx
109
CALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES KtALfcS
f(x, y, z) dx dy dz = I
I
J dx dy dz
J m Je \J a
= í
í
Jm Je
( b - a ) d y dz = ( b - a ) í
í
J m Je
= (b-a)í (d- c)
dz = (b - a)(d - c)
dy dz
f
dz
/m
Jm
= (b - a)(d - c)(n - m),
que es precisamente el volumen de P. Concluimos entonces que si
P=[a, b]x[c, d]x[m, n],
V(P) = J
I
P
110
I
dxdydz