UPR Departamento de Ciencias Matemáticas RUM MATE 3171

UPR
Departamento de Ciencias Matemáticas
MATE 3171
Práctica # 4
3/25/10
RUM
Profesor
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Instrucciones. Resuelva cada uno de los ejercicios por usted mismo y si tienen dudas preguntele a su instructor o
busque ayuda en los mismos.
1. En los siguientes ejericicos seleccione la mejor alternativa:
(a) La expresión que representa el enunciado "V varia directamente proporcional al cuadrado de g e inversamente proporcional a r; " es: respuesta ii
2
2
i. V = gr
ii. V = k gr
iii. V = rg2
g
v. Ninguna de las anteriores
iv. V = k r2
(b) Dadas las funciones: f (x) = 3x + 4; g(x) =
x
2x + 3
; h(x) = 2
; entonces
x 3
x +1
h no es 1-1, f y g si son 1-1, respuesta iii
i. f y h son 1-1
ii. g y h son 1-1
iv. todas las anteriores
v. Ninguna de las anteriores
(c) La expresión A = k
iii. f y g son 1-1
p
x
es equivalente a:
y
respuesta iii
i. A varia conjuntamente a la raíz cuadrada de x y a y
ii. A varia directamente a la raíz cuadrada de x e inversamente al cuadrado de y
iii.A varia conjuntamente a la raíz cuadrada de x e inversamente a y
iv.A varia conjuntamente a la raíz cuadrada de x y al cuadrado de y
v. Ninguna de las anteriores
(d) Indicar cual de las siguientes grá…cas representa a una función 1-1 iv
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
x
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
−4
5
−3
−2
−1
1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
2
3
4
5
−4
−4
i.
ii.
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
x
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
6
−5
−4
−2
−1
1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
iii.
−3
−4
iv.
1
2
3
4
5
6
p
(e) Dadas las siguientes funciones: A) y = 2x; B) x2 + y 3 = 3x; C) y = 4x + 2, indique cual de las siguientes
funciones no tiene inversa:
x2 + y 3 = 3x no tiene inversa, no se puede despejar x, respuesta i
i. A y C solamente
ii. A solamente
iii. B solamente
iv. A y B solamente v. Ninguna de las anteriores
(f) Si f (x) = 4x
8; la función inversa de f es:
y+8
; respuesta i
sea y = 4x 8; despejando para x; x =
4
1
i. f 1 (x) = 4 (x + 8)
ii. f 1 (x) = 14 (x 8)
1
v. Ninguna de las anteriores
iv. f 1 (x) = 4 ( x + 8)
iii. f
1
(x) =
1
4
(x + 8)
(g) La función cuadrática f (x) = x2 + 6x 5 tiene un valor máximo en:
2
x2 + 6x 5 =
x2 6x + 9 9
5 = (x 3) + 4; respuesta ii
i. (3; 4)
ii. (3; 4)
iii. ( 3; 4)
iv. ( 3; 4)
v. Ninguna de las anteriores
(h) Si f (x) = jx 2j ; la función t(x) = f (x + 2) es:
t(x) = f (x + 2) = jxj
i. t(x) = jx + 4j
ii. t(x) = jxj
iv. t(x) = jxj
v. Ninguna de las anteriores
iii. t(x) =
jx
4j
p
x + 2 y g(x) = x2 2, entonces (g f ) (x) =
p
p
2
x+2
(g f ) (x) = g x + 2 =
2=x
i. x + 2
ii. x 2
iii.
x
iv. x
v. Ninguna de las anteriores
(i) Si f (x) =
p
(j) Si f (x) = x + 4, entonces (f f ) ( 3) =
p
(f f ) ( 3) = f (f ( 3)) = f (1) = 5
p
i. 1p
ii. 5
iv. 6
v. Ninguna de las anteriores
iii.
p
3
2. En los siguientes ejercicios indique la respuesta en el espacio en blanco:
(a) Si f (x) = x2 ; encuentre una función g tal que (f
(f
g) (x) = 4x2
2
12x + 9 = (2x
3) ) g(x) = 2x
(b) El vértice de la parabola f (x) = (x
(c) El dominio de_f (x) = 3x +
p2
x+1
g) (x) = 4x2
12x + 9: ____g(x) =________
3
2
3) + 5, es: ___(3; 5)___
es _____
2
D(f ) = Dom(3x) \ Dom( px+1
) = ( 1; 1) \ ( 1; 1) = ( 1; 1)
2
; su inversa es _______________
3+x
2
Sea y =
, despejando para x: y (3 + x) = 2 ) xy = 2
3+x
2 3x
f 1 (x) =
x
(d) Si f (x) =
2
3y ) x =
2
3y
y
y la inversa es:
3. Resuelva los siguientes ejercicios:
(a) La electricidad se cobra a los consumidores a una tarifa de $10 por unidad para las primeras 50 unidades
y $3 por unidad para cantidades que exceden las 50 unidades, halle:
1. determine la función C(x) que representa el costo de usar x unidades de electricidad al mes
Sea x la cantidad de unidades de electricidad que se consumen, la función a determinarse es partida:
Para x 50 : costo = 10x
Para x > 50 : costo = 500 + 3x
10x
si x 50
Por lo tanto C(x) =
500 + 3x si x > 50
2. halle C(20)
C(20) = 10
20 = 200
(b) Dadas las funciones f (2x + 3) = 4x + 1 y g(x) = x2 + 3; determine f
gyg f
f (2x + 3) = 4x + 1 = 2(2x + 3) 5 ) f (x) = 2x 5
(f g) (x) = f (g(x)) = f (x2 + 3) = 2 x2 + 3
5 = 2x2 + 1
(g f ) (x) = g(f (x)) = g (2x
5) = (2x
2
5) + 3 = 4x2
20x + 28
(c) Dada la grá…ca de la función f (x)
y
4
3
f(x)
2
1
x
−4
−3
−2
−1
1
2
−1
−2
−3
−4
responda las siguientes preguntas:
1.
2.
3.
4.
5.
la
la
la
la
la
función
función
función
función
función
crece en ___( 4; 2) ; (0; 2)___
decrece en ____( 2; 0) ; (2; 4)___
es par o impar ___par_____
tiene un valor máximo en ____x = 2____
tiene valores mínimos en ___x = 0_____
3
3
4
5
(d) La grá…ca de la función f (x) se muestra a continuación, en el mismo sistema de ejes coordenados trace
la grá…ca de la función inversa de f indicando los dominios y rangos de ambas
D(f ) = [ 4; 2] = Ran(f 1 );
D(f 1 ) = [ 5; 3] = Ran(f )
y
4
3
f(x)
2
1
x
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
−1
−2
f-1(x) (azul)
−3
−4
−5
−6
(e) Trace la grá…ca de la función f (x) = 4 x2 , x 0 halle su inversa y gra…que ambas funciones
p
p
Despejando x de y = 4 x2 se tiene x =
4 y como x 0 se tiene que la inversa es f 1 (x) = 4
y
4
f(x)
3
f-1(x)
2
1
x
−5
−4
−3
−2
−1
1
−1
−2
−3
−4
−5
−6
4
2
3
4
5
6
x
(f) Si f (x) = 3x + 5; g(x) = 4 + x2 ; halle:
1. (f
f ) (2) = f (f (2)) = f (11) = 38
2. (g g) (2) = g (g(2)) = g(8) = 68
f
1
(2) = 2
4. g f
1
(2)
3. f
5
3
(2) = g f 1 (2) = g ( 1) = 5
la inversa de f es: f (x) =
g f
1
x
5. (g f ) (x) y su dominio
2
(g f ) (x) = g(f (x)) = g(3x + 5) = 4 + (3x + 5) ; Dom(g f ) = R
6. (f
(f
g) (x)
g) (x) = f (g(x)) = f (4 + x2 ) = 3 x2 + 4 + 5; Dom(g f ) = R
7. (f
g) ( 3) = f (g ( 3)) = f (13) = 44
8. (g f ) (0) = g (f (0)) = g (5) = 29
9. (g f ) ( 1) = g (f ( 1)) = g (2) = 8
10. (f
g) (3) = f (g (3)) = f (13) = 4
5