( ) ( ) ( ) ( )ij ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2.2 OPERACIONES CON MATRICES
2.2.1
Suma de matrices
Para poder sumar dos matrices, éstas deben tener la misma dimensión. Entonces se suman
término a término:
a 
ij m ,n
 bij m ,n  a ij  bij m ,n
 2 1 4   5 3  4  7 2 0 
  
  

Ejemplo: 
 0 3  2   4  2  3   4 1  5
Propiedades de la suma de matrices:
 Asociativa:
 A  B   C  A  B  C 
 Conmutativa:
A B  B A
 Elemento neutro:
La matriz nula es aquella cuyos elementos son todos cero.
0 0 0
Ejemplo: 02,3  

0 0 0
 A   a ij 
 Matriz opuesta  A :
 2  3

Ejemplo: A  
1 4 
2.2.2
(Se cumple que A    A   0 )
 2 3 

 A  
 1  4
Resta de matrices
Para poder restar dos matrices, éstas deben tener la misma dimensión. Entonces se restan
término a término:
a 
ij m ,n
 bij m ,n  aij  bij m,n . (Equivale a sumar A con la matriz
opuesta de B).
 2  1 4   5 3  4    3  4 8
  
  

Ejemplo: 
 0 3  2   4  2  3    4 5 1
2.2.3
Producto de un número por una matriz
Se multiplica el número por cada uno de los elementos de la matriz: k  aij m , n  k  aij m ,n
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1
 12 
 2  4  6

 

3 0
3  0
9 
  4 1    12
3 

 
Ejemplo:
Propiedades del producto de números por matrices: a, b   y A, B  Mm,n.
 Asociativa:
a  b  A  a  b   A
 Distributiva en  :
a  b  A  a  A  b  A
 Distributiva en Mm,n:
a  A  B  a  A  a  B
 Elemento neutro:
1·A=A
2.2.4
Producto de matrices
Para poder multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con
el número de filas de la segunda.
Producto de una matriz fila por una matriz columna
El producto de una matriz fila por una matriz columna es un número que se obtiene
multiplicando elemento a elemento y sumando los resultados.
2
 
Ejemplo:  3 1 2    3   3  2  1  ( 3)  (2)  4  6  3  8  5
4
 
Producto de dos matrices
El producto de una matriz Am, p por otra matriz B p ,n (fíjate que el número de columnas de la
primera es igual al número de filas de la segunda, p) es una matriz C m, n en la que el cada
elemento cij se obtiene de multiplicar la fila i-ésima de A por la columna j-ésima de B.
cij  ai1
ai 2
 b1 j 
 
n
 b2 j 
... ain      ai1  b1 j  ai 2  b2 j    ain  bnj   aik  bkj

k 1
 
b 
 nj 
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2
Ejemplo: El producto A2,3  B3,5 es una matriz de dimensión 2  5 .
Por ejemplo, el elemento c1, 4 de esta matriz se obtiene multiplicando la primera fila de A por la
cuarta columna de B. (2·1 + 1·2 + 3·1 = 7). De igual forma para los demás elementos.
1 5 3 1 2
  5 24 11 7 13 
 2 1 3 

   0 2 5 2 3   

 0 3 1   1 4 0 1 2   1 10 15 7 11


23
25
3 5
Dimensiones
Propiedades del producto de matrices:
 Asociativa (Siempre que, por sus dimensiones, sean multiplicables):
A
m,n
 Bn, p   C p , q  Am,n  Bn, p  C p ,q 
 No conmutativa: El producto de matrices, en general, no es conmutativo A  B  B  A
2 
 2 0    2 1   4
  
  

Ejemplo: 
 1  3   2 5    8  14 
;
  2 1  2 0    3  3 

  
  

 2 5   1  3   9  15 
Por eso hablaremos de multiplicación por la izquierda o por la derecha.
 Elemento neutro:
A  I  I  A  A (donde I es la matriz identidad correspondiente)
 Distributiva respecto de la suma:
(Siempre que sus dimensiones lo permitan)
A  B  C   A  B  A  C
B  C   D  B  D  C  D
Otras propiedades del producto de matrices:
 Si A  B  A  C , no significa necesariamente que B  C
 1 3
8 4
2 7
 , B  
 y C  
 vemos que
Por ejemplo, si A  
 2 6
3 2
5 1
 1 3   8 4   17 10 
 1 3   2 7   17 10 
  
  
 y A  C  
  
  

A  B  
 2 6   3 2   34 20 
 2 6   5 1   34 20 
A  B y A  C dan lo mismo, pero B y C eran diferentes.
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3
 Si A  B  0 , no significa necesariamente que A ó B sean 0.
 1 3
8 4
 y B  
 . Ninguna de las dos es la matriz nula, pero:
Por ejemplo, A  
 2 6
3 2
 1 3   9  3  0 0 
  
  

A  B  
 2 6   3 1   0 0
2.2.5
Trasposición de matrices
Trasponer una matriz significa cambiar las filas por las columnas. Si una matriz es de
dimensión m  n , su traspuesta es de dimensión n  m . La matriz traspuesta se representa AT
y se lee traspuesta de A.
 2 3


 2 0  1
T
 
Ejemplo: A  
 A   0 1 
3 1 2 
 1 2


Propiedades de la trasposición de matrices:
 
 Si trasponemos dos veces, obtenemos la matriz original: AT
T
A
 La traspuesta de la suma es la suma de las traspuestas:  A  B   AT  B T
T
 La traspuesta del producto es el producto de las traspuestas, cambiando el orden:
 A  B T
 B T  AT
Matriz Simétrica
Es una matriz cuadrada en la que los elementos simétricos respecto de la diagonal principal son
iguales. a ij  a ji i, j . Una matriz simétrica coincide con su traspuesta: AT  A .
 2 3 1


Ejemplo: A   3 7 4  Vemos que AT es ella misma.
 1 4  6


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4
Matriz Antisimétrica o Matriz Hemisimétrica
Es una matriz cuadrada en la que los elementos simétricos respecto de la diagonal principal son
opuestos. a ij  a ji i, j . La matriz traspuesta de una matriz hemisimétrica es igual a la
opuesta AT   A . Los elementos de la diagonal principal son todos cero.
 0 3 1


Ejemplo: A    3 0  4 
 1 4 0 


2.2.6
Potencia de matrices
Para poder calcular la potencia de una matriz, esta tiene que ser cuadrada. Se trata de
multiplicar la matriz por si misma tantas veces como diga el exponente.
 1  2

Ejemplo: Si A  
2 5 
 1  2   1  2   1  2    3  12   1  2    27  54 
  
  
  
  
  

A 3  
81 
 2 5   2 5   2 5   12 21   2 5   54
Potencias n-ésimas
A veces, al ir hallando A 2 , A3 , A 4 ..., podemos deducir el valor de A n , lo que nos permite
calcular cualquier potencia de esa matriz.
1 0 
 vemos que:
Ejemplo: Si A  
1 1 
1 0  1 0   1 0 
  
  

A 2  A  A  
1
1
1
1
2
1

 
 

 1 0  1 0   1 0 
  
  

A 3  A 2  A  
 2 1  1 1   3 1 
 1 0  1 0   1 0 
  
  

A 4  A 3  A  
 3 1  1 1   4 1 
 1 0

Se puede deducir que A n  
n 1
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5
Si queremos demostrar que es cierto, tenemos que usar la demostración por inducción:
1. Comprobarlo para el caso más pequeño.
2. Suponerlo cierto para el caso n  1
3. Probarlo para el caso n.
En el caso anterior, los tres pasos del metodo de inducción serían:
 1 0

1. Comprobamos que A 2  
 2 1
1 0  1 0   1 0 
  
  

A 2  A  A  
1 1  1 1   2 1 
0
 1

2. Suponemos que A n 1  
n 1 1
0  1 0   1 0 
 1
  
  

3. Probamos el caso A n : A n  A n 1  A  
 n  1 1  1 1   n 1 
DEMOSTRADO
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