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GUIA Nº 9
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA INDUSTRIAL – MAT-042
Profesor:
Sr. Patricio Videla Jiménez.
GUIA Nº9
DISTRIBUCIONES MUESTRALES
1. Sea
X2

X ∼ N (0,σ 2 ) . Determine k tal que P  2 < k  = 0.9 .
σ

2
2
e Y ∼ χ 10 variables aleatorias independientes. Determinar k tal que
X ∼ χ 20
P (X > kY ) = 0.10 .
2. Sea
3. Sea X 1 , X 2 ,..., X 25 una muestra aleatoria de tamaño 25 de una distribución N


Determine P  − 0.4984 <
(µ, σ ).
2
X −µ

< 0.4984  .
S

(
4. Sea X 1 , X 2 ,..., X 10 una muestra aleatoria de tamaño 10 de una distribución N 0,σ
 10 X
∑ σ
 i =1
Determine k tal que P 
2
i
2
2
).

> k  = 0.95 .

ESTIMACIÓN PUNTUAL
5. Si X 1 , X 2 ,..., X n m.a.(n) desde f (x ;θ ) =
Encuentre el estimador de momentos de
θ x e −θ
x!
θ
y analice sus propiedades.
6. Si X 1 , X 2 ,..., X n m.a. (n) desde f (x ;θ ) = θe
máximo verosímil de
θ
I {0,1, 2,...} (x )
−θx
; x > 0, θ > 0 . Encontrar el estimador
y analice sus propiedades.
7. Suponga que X 1 , X 2 ,..., X n es una m.a. con distribución Γ(α , β ) , donde
α
y
β
son
desconocidos.
a) Muestre que los estimadores por el método de momentos para
α
y
β
son
2
S2
X 
.
 y βˆ =
X
S 
αˆ = 
b) Si α = 4 , encuentre el estimador máximo verosímil de
la consistencia de dicho estimador
β . Pruebe el insesgamiento y
Probabilidad y Estadística Industrial
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8. Supóngase que X 1 , X 2 ,..., X n es una muestra aleatoria de una población con densidad
Weibull
f (x ,θ ) =
ax a −1
θ
e
−
xa
θ
, x > 0, θ > 0, a > 0 (cte. conocida ) .
a) Encuentre el estimador máximo verosímil de θ .
b) Estudie insesgamiento y consistencia de dicho estimador.
9. Suponga que X 1 , X 2 ,..., X n es una muestra aleatoria de una distribución con función
de densidad Poisson de parámetro
n
∑ (X
λˆ1 = X y λˆ2 = i =1=
son dos estimadores de
10. Suponga que
−X)
i
λ . Si
2
n
λ . ¿Cuál es más apropiado? ¿Por qué?
X 1 , X 2 ,..., X n m.a.(n) desde una población B (1, p ) , 0 < p < 1 .
a) Obtenga p̂ MV y estudie sus propiedades,
b) Se propone otro estimador:
n
~=
p
c)
∑X
i =1
n
2
i
, estudie propiedades.
~.
Elija un estimador entre p̂ MV y p
11. Sea
(
)
X 1 ,..., X n una m.a.(n) desde una población X ∼ N µ ,σ 2 . Obtener el EMV del
percentil 95 de la población.
(
12. Considere una muestra aleatoria de tamaño n de una población N 0, σ
a) Encuentre el EMV de
2
).
σ2.
b) Se propone otro estimador
σ~ 2 =
X n2 + X 12
. Estudie las propiedades de ambos
2
estimadores . ¿Cuál es mejor?. Explique.
PVJ/pvj.
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