EST-712: Métodos Estad´ısticos 1 Nombre: Prueba 2. Julio 14, 2016
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EST-712: Métodos Estadı́sticos 1 Prueba 2. Julio 14, 2016 Tiempo: 90 Minutos Nombre: Profesor: Felipe Osorio 1. (10 pts) Considere X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria desde N (θ, 1) y defina ( 1, Xi > 0, Yi = 0, Xi ≤ 0. Sea ψ = P(Y1 = 1). Obtenga el MLE de ψ. Recuerde que: Φ(p) = P(Z ≤ p) para Z ∼ N (0, 1). 2. (15 pts) Suponga que X1 , . . . , Xn representa una muestra aleatoria desde U[a, b] donde a y b son parámetros desconocidos y a < b. Obtenga los estimadores de momentos de a y b. Recuerde que: Si X ∼ U[a, b]. Entonces, f (x; a, b) = 1 , b−a x ∈ [a, b]. Además puede ser útil que: b3 − a3 = (b − a)(a2 + ab + b2 ). 3. (20 pts) Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria de tamaño n desde la variable aleatoria X con función de densidad (x + 1) f (x; θ) = exp(−x/θ), x > 0, θ > 0. θ(θ + 1) a. Encuentre el estimador máximo verosı́mil para θ y su distribución de muestras grandes. b. Obtenga un estimador de θ usando el método de momentos. Sugerencia: Tenemos que Z ∞ z a−1 e−z/b dz = ba Γ(a), 0 y Γ(k+1) = k! para k un entero positivo. 4. (15 pts) Sea X1 , . . . , Xn variables aleatorias IID con densidad f (x; θ) = θ I (x). x2 [θ,∞) Determine el estimador de momentos de θ. Sugerencia: Calcule el momento k-ésimo, µk y luego considere k = 21 .
