EST-712: Métodos Estad´ısticos 1 Nombre: Prueba 2. Julio 14, 2016

EST-712: Métodos Estadı́sticos 1
Prueba 2. Julio 14, 2016
Tiempo: 90 Minutos
Nombre:
Profesor: Felipe Osorio
1. (10 pts) Considere X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria desde N (θ, 1) y defina
(
1, Xi > 0,
Yi =
0, Xi ≤ 0.
Sea ψ = P(Y1 = 1). Obtenga el MLE de ψ.
Recuerde que: Φ(p) = P(Z ≤ p) para Z ∼ N (0, 1).
2. (15 pts) Suponga que X1 , . . . , Xn representa una muestra aleatoria desde U[a, b] donde a y b son
parámetros desconocidos y a < b. Obtenga los estimadores de momentos de a y b.
Recuerde que: Si X ∼ U[a, b]. Entonces,
f (x; a, b) =
1
,
b−a
x ∈ [a, b].
Además puede ser útil que: b3 − a3 = (b − a)(a2 + ab + b2 ).
3. (20 pts) Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria de tamaño n desde la variable aleatoria X con función
de densidad
(x + 1)
f (x; θ) =
exp(−x/θ),
x > 0, θ > 0.
θ(θ + 1)
a. Encuentre el estimador máximo verosı́mil para θ y su distribución de muestras grandes.
b. Obtenga un estimador de θ usando el método de momentos.
Sugerencia: Tenemos que
Z
∞
z a−1 e−z/b dz = ba Γ(a),
0
y Γ(k+1) = k! para k un entero positivo.
4. (15 pts) Sea X1 , . . . , Xn variables aleatorias IID con densidad
f (x; θ) =
θ
I
(x).
x2 [θ,∞)
Determine el estimador de momentos de θ.
Sugerencia: Calcule el momento k-ésimo, µk y luego considere k = 21 .