GUIA Nº 9 UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA INDUSTRIAL – MAT-042 Profesor: Sr. Patricio Videla Jiménez. GUIA Nº9 DISTRIBUCIONES MUESTRALES 1. Sea X2 X ∼ N (0,σ 2 ) . Determine k tal que P 2 < k = 0.9 . σ 2 2 e Y ∼ χ 10 variables aleatorias independientes. Determinar k tal que X ∼ χ 20 P (X > kY ) = 0.10 . 2. Sea 3. Sea X 1 , X 2 ,..., X 25 una muestra aleatoria de tamaño 25 de una distribución N Determine P − 0.4984 < (µ, σ ). 2 X −µ < 0.4984 . S ( 4. Sea X 1 , X 2 ,..., X 10 una muestra aleatoria de tamaño 10 de una distribución N 0,σ 10 X ∑ σ i =1 Determine k tal que P 2 i 2 2 ). > k = 0.95 . ESTIMACIÓN PUNTUAL 5. Si X 1 , X 2 ,..., X n m.a.(n) desde f (x ;θ ) = Encuentre el estimador de momentos de θ x e −θ x! θ y analice sus propiedades. 6. Si X 1 , X 2 ,..., X n m.a. (n) desde f (x ;θ ) = θe máximo verosímil de θ I {0,1, 2,...} (x ) −θx ; x > 0, θ > 0 . Encontrar el estimador y analice sus propiedades. 7. Suponga que X 1 , X 2 ,..., X n es una m.a. con distribución Γ(α , β ) , donde α y β son desconocidos. a) Muestre que los estimadores por el método de momentos para α y β son 2 S2 X . y βˆ = X S αˆ = b) Si α = 4 , encuentre el estimador máximo verosímil de la consistencia de dicho estimador β . Pruebe el insesgamiento y Probabilidad y Estadística Industrial GUIA Nº 9 8. Supóngase que X 1 , X 2 ,..., X n es una muestra aleatoria de una población con densidad Weibull f (x ,θ ) = ax a −1 θ e − xa θ , x > 0, θ > 0, a > 0 (cte. conocida ) . a) Encuentre el estimador máximo verosímil de θ . b) Estudie insesgamiento y consistencia de dicho estimador. 9. Suponga que X 1 , X 2 ,..., X n es una muestra aleatoria de una distribución con función de densidad Poisson de parámetro n ∑ (X λˆ1 = X y λˆ2 = i =1= son dos estimadores de 10. Suponga que −X) i λ . Si 2 n λ . ¿Cuál es más apropiado? ¿Por qué? X 1 , X 2 ,..., X n m.a.(n) desde una población B (1, p ) , 0 < p < 1 . a) Obtenga p̂ MV y estudie sus propiedades, b) Se propone otro estimador: n ~= p c) ∑X i =1 n 2 i , estudie propiedades. ~. Elija un estimador entre p̂ MV y p 11. Sea ( ) X 1 ,..., X n una m.a.(n) desde una población X ∼ N µ ,σ 2 . Obtener el EMV del percentil 95 de la población. ( 12. Considere una muestra aleatoria de tamaño n de una población N 0, σ a) Encuentre el EMV de 2 ). σ2. b) Se propone otro estimador σ~ 2 = X n2 + X 12 . Estudie las propiedades de ambos 2 estimadores . ¿Cuál es mejor?. Explique. PVJ/pvj. Probabilidad y Estadística Industrial