Estimación de parámetros

Estimación de parámetros
Concepto de estimador. Una variable aleatoria o población X lleva aparejada su
función de densidad de probabilidad , que la describe o establece
probabilísticamente. Esta función de densidad de probabilidad, siempre que esté
determinada con todo detalle, permite calcular cualquier parámetro poblacional θ, es
decir, aquella constante que informa de manera sintética de una propiedad relevante
o característica de una población o variable aleatoria, tal como el valor medio o la
varianza, parámetros clásicos de centralización y de dispersión, respectivamente.
Si el valor de un parámetro θ es desconocido, los estimadores que se puedan construir
permitirán la estimación de tal parámetro. A tal efecto, entenderemos como estimador
cualquier variable aleatoria que se defina a partir de la sucesión de variables aleatorias
que integran una muestra extraída al azar de una población, es decir, toma un valor
para cada n observaciones o datos. Estos datos corresponden a los valores de la
variable que representan a la población en los n "individuos" de la muestra.
Deberemos valorar en un estimador su capacidad de extraer "al máximo" la
información contenida en la muestra, ya que redundará en la calidad y precisión de las
estimaciones.
Dos propiedades básicas en los estimadores son el insesgamiento y la eficiencia
Se dice que un estimador Θ(X1,X2,...,Xn) (o simplemente Θ) de un parámetro θ es
insesgado o centrado si su valor medio o esperado coincide exactamente con θ :
Esta propiedad es deseable en tanto que el valor medio de una variable informa
acerca del "centro de gravedad" de su ley de probabilidad, es decir, señala la zona
donde se concentran los valores de máxima probabilidad de la variable, sobre todo si
su función de densidad es notablemente simétrica.
O sea que es de esperar que si se toman muchas muestras de igual tamaño partiendo
de la misma distribución y si de cada una se obtiene un valor , la media de todos los
valores de ha de estar muy cerca de .
Por ejemplo:
* La media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional, o sea que
E( ) = m
* La variancia muestral, ¿es un estimador insesgado de la variancia poblacional?
La respuesta depende de como se defina la variancia muestral.
Si
Mas aún,
En efecto, si
(
, entonces S² es un estimador sesgado de s ² pues
.
. Pero el sesgo se puede corregir alterando la definición de
variancia muestral.
es la variancia muestral corregida, entonces
y S² es un estimador insesgado de s ².