1er control estadisticapauta

Universidad Diego Portales
Facultad de Ingeniería
Instituto de Ciencias Básicas
Pauta de Corrección
Primer Control
Estadística
1.- Supóngase que la variable aleatoria X distribuye según la siguiente función
de probabilidad :
 x  1  (1  P) x  2 P 2


f ( x, P )  

0


,
x  2,3,, 
,
t.o.l.
Basado en una muestra aleatoria de tamaño n, encuentre el E.M.V para el
parámetro P.
n
 ( xi  2 )
n
L( x1 , x2 , x3......xn , p)   ( xi  1)(1  p) i 1
p2n
i 1
n
n
i 1
i 1
ln L( x1 , x2 ,........xn , p)  ln  ( xi  1)   ( xi  2) ln( 1  p )  2n ln p
n
 ( x  2)
 ln L
 0
p
i
i 1
1 p

n
 ( x  2)
i
i 1
1  pˆ
pˆ 
2n
n
x
i 1
i

2
x

2n
pˆ
2n
p
/ ln
2.- Se tiene la siguiente distribución de ingreso mensual (en M$) de una
muestra de100 trabajadores de cierto sector económico.
Ing
mensual
50-110
110-170
N°
trabajadores
15
18
170-230
32
230-270
270-350
25
10
100
Suponiendo que esta muestra es representativa de todo el sector:
a) ¿Es posible afirmar con un 95% de confianza que el ingreso medio
mensual es igual a $ 250.000?
x  194,7
s 2  4661,53
194,7  1,96 *
n=100
68,275
10
181,32;208,08 miles de pesos.
Dado que los 250 mil pesos no está contenido en el intervalo; no hay
evidencia para decir que el ingreso mensual promedio es de 250 mil pesos.
b) Construya un intervalo de confianza del 95% para la variabilidad de los
ingresos de estos trabajadores.
99 * 4661,53 99 * 4661,53
;
128,42
73,36
3593,61;6290,78
La varianza correspondiente al ingreso de los trabajadores estaría
contenida en el intervalo 3.593,6 – 6.290,78 miles de pesos al cuadrado con un
nivel de confianza del 95%.
3.- Sea ( x1 , x2 , x3 , x4 ) una m.a.(4) de una población con distribución exponencial de
parámetro  . De las siguientes estadísticas ¿cuáles son estimadores insesgados del parámetro
 ? y ¿ cuál de los 3 es el estimador más eficiente ?
T1 
( x1  x2 )
6

( x  2 x 2  3 x3  4 x 4 )
( x  x 2  x3  x 4 )
( x3  x4 )
; T2  1
; T3  1
3
10
4
Insesgamiento
E (T1 ) 
E (T2 ) 
E (T3 ) 
E ( x1 )  E ( x2 ) E ( x3 )  E ( x4 ) 2 2




6
3
6
3
  2  3  4
10
4

4

10

10
Insesgado
Insesgado
Insesgado
Eficiencia
V (T1 ) 
1
1
1
1
5
(V ( x1 )  V ( x2 ))  (V ( x3 )  V ( x4 )) 
2 2   2   2
36
9
36
9
18
V (T2 ) 
1
3
(V ( x1 )  4V ( x2 )  9V ( x3 )  16V ( x4 ))   2
100
10
V (T3 ) 
2
4
Por lo tanto T3 es el estimador más eficiente, ya que tiene la menor varianza.