1. Hallar el dominio de la función vectorial a) r(t)

C ÁLCULO 3 ? I NG . C IVIL
F UNCIONES V ECTORIALES D E U NA VARIABLE
1. Hallar el dominio de la función vectorial
1
a) ~r(t) = 5tî − 4tĵ − k̂
t
p
b) ~r(t) = 4 − t2 î + t2 ĵ − 6tk̂
c) ~r(t) = ln tî − et ĵ − tk̂
√
1
3
d) ~r(t) = 3î +
ĵ + (t + 2)k̂
t+1
2. En los siguientes ejercicios, evaluar (si es posible) la función vectorial en el valor indicado
a) ~r(t) = cos tî + 2 sen tĵ
3) ~r(θ − π)
4) ~r(π/6 + ∆t) − ~r(π/6)
1) ~r(0)
2) ~r(π/4)
1
b) ~r(t) = ln tî + ĵ + 3tk̂
t
3) ~r(t − 4)
4) ~r(1 + ∆t) − ~r(1)
1) ~r(2)
2) ~r(−3)
c) ~r(t) =
√
tî + t3/2 ĵ + e−t/4 k̂
1) ~r(0)
2) ~r(4)
3) ~r(c + 2)
4) ~r(9 + ∆t) − ~r(9)
3. Calcular k~r(t)k
a) ~r(t) = sen tî + cos 3tĵ + tk̂
b) ~r(t) =
√
tî + 3tĵ − 4tk̂
4. En los siguientes ejercicios, dibujar la curva representada por la función vectorial y especificar su orientación
a) ~r(t) = 3tî + (t − 1)ĵ
d) ~r(t) = tî + (2t − 5)ĵ + 3tk̂
b) ~r(t) = 2 cos tî + 2 sen tĵ
e) ~r(t) = 2 cos tî + 2 sen tĵ + tk̂
t
f ) ~r(t) = 3 cos tî + 4 sen tĵ + k̂
2
c) ~r(t) = (−t + 1)î + (4t + 2)ĵ + (2t + 3)k̂
5. Representar la curva plana por una función vectorial (hay muchas respuestas correctas)
b) y = 4 − x2
a) y = 4 − x
6. Considere la función vectorial ~r(t) =
c) x2 + y 2 = 25
d)
x2
y2
+
=1
25 16
3at
î + a e−t ĵ; a 6= 0
1 + t3
a) Indique el dominio de la función
b) Calcule si existe lı́m ~r(t)
t→+∞
c) Calcule ~r0 (t). Exprese esta derivada en la forma más simple.
Z 1
t
7. Sea la función vectorial F(t) = t et î +
ĵ.
Determine
F(t)dt
1 + t2
0
8. En los siguientes ejercicios, ~r(t) es la posición de una partı́cula en el plano xy en el tiempo t. Encontrar una ecuación
en coordenadas cartesianas cuya gráfica sea la trayectoria de la partı́cula. Hallar además los vectores velocidad y
aceleración en el tiempo t dado.
a) ~r(t) = (t + 1)î + (t2 − 1)ĵ, t = 1
2
b) ~r(t) = (et , e2t ), t = ln 3
9
c) ~r(t) = (cos 2t, 3 sen 2t), t = 0
9. Hallar el valor de t en el intervalo de tiempo dado, en que los vectores velocidad y aceleración son ortogonales
b) ~r(t) = (e−t , et ), t ∈] − 1, 1[
a) ~r(t) = (t − sen t, 1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π
10. Hallar las ecuaciones para la recta tangente y el plano normal a
a) la curva x = t − cos t, y = 3 + sen t, z = 1 + cos t en el punto donde t = π/2
b) la curva x = 6 sen t, y = 4 cos 3t, z = 2 sen 5t en el punto donde t = π/4
11. Hallar un vector tangente a la curva en el espacio x = t, y = t2 , z = t3 en el punto donde t = 1.
12. Una partı́cula se mueve a lo largo de una curva en el espacio ~r = e−t cos tî + e−t sen tĵ + e−t k̂. Hallar la magnitud
de la velocidad y aceleración en el tiempo t.
13. Hallar un vector tangente a la curva x = t; y = t2 ; z = t3 en el punto donde t0 = 1.
14. Una partı́cula se mueve sobre una curva que sigue el modelo de la función vectorial
~r(t) = (cos(πt) + πt sen(πt))î + (sen(πt) − πt cos(πt))ĵ
Hallar:
a)
b)
c)
d)
Velocidad y aceleración para t = 1 y t = 2
La componente tangencial de la aceleración y la componente normal de la aceleración
La curvatura y radio de curvatura entre t = 1 y t = 2
La longitud de arco entre t = 1 y t = 2.
15. Para la curva definida por la función vectorial
1
~r(t) = tî + t +
ĵ
t
Determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
La ecuación cartesiana
El vector tangente unitario
La recta normal en t = 1
La curvatura para t arbitrario
¿En qué puntos la curvatura es nula?. Explique qué significa geométricamente esta situación
El gráfico de la curva.
16. Considere una partı́cula que se mueve según la función posición
~r(t) = a cos ωtî + a sen ωtĵ
~ (t) · T~ (t) = 0
Verifique N
17. Considere1 la función vectorial ~r(t) = et sen tî + et cos tĵ
a) Determine el vector velocidad, su rapidez y su vector aceleración, en cualquier instante t
b) Hallar el vector tangente unitario, vector normal unitario, la componente tangencial de la aceleración y la
componente normal de la aceleración en el instante t = π/2, para la curva plana ~r(t)
c) Reparametrice la curva con respecto a la longitud de arco medida desde el punto donde t = 0, en la dirección
que crece t
d) Determine la curvatura de ~r(t) en el punto (0, 1)
e) Calcule la longitud de la curva para t = 0 hasta t = π.
1 Prof.
K. Malla - 3 de septiembre de 2012
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