Enunciado - IES Francisco Ayala

I.E.S. “CASTELAR” BADAJOZ
PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)
UNIVERSIDAD DE GALICIA
JUNIO - 2005
MATEMÁTICAS II
Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos
El alumno debe responder a cuatro preguntas. Una sola pregunta de cada uno de los
cuatro bloques temáticos: Álgebra, Geometría, Análisis Matemático y Estadística. La
puntuación máxima de cada pregunta es de 2’5 puntos.
BLOQUE 1 (Álgebra)
1-A) Hallar todas las matrices A = (a ij ) , cuadradas de orden tres, tales que a 21 = a 32 = 0
y A + A t = 4 I , siendo I la matriz identidad de orden tres y A t la matriz traspuesta de A,
de las que además sabemos que su determinante vale 10.
1-B) Discutir e interpretar geométricamente, según los diferentes valores del parámetro
− x + y − z = −1 

m, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 4 x − 2 y + 2 z = 2m  .
− 3x − 2 y + mz = −4 
BLOQUE 2 (Geometría)
2-A) Calcular la distancia entre las rectas r ≡ x =
y −1 z − 4
y−2 z−3
=
y s ≡ x−2=
=
3
7
3
4
2-B) Demostrar que los puntos P(0, 0, 4), Q(3, 3, 3), R(2, 3, 4) y S(3, 0, 1) son coplanarios y determinar el plano que los contiene.
BLOQUE 3 (Análisis matemático)
3-A) a ) Enunciar e interpretar geométricamente el Teorema del Valor Medio del Calculo Integral para funciones continuas.
b) Sea f : [− 2, 2] ⊂ R → R , continua en [− 2, 2] tal que
−1
∫
−2
f (t ) dt =
2
∫ f (t ) dt , ¿se puede
1
asegurar que existen b y c en [− 2, 2] tales que b ≤ −1, c ≥ −1 y f (b ) = f (c ) ? Justificar
la respuesta.
3-B) a ) Enunciar la Regla de L’Hopital.
A. Menguiano
b ) Calcular la relación entre a y b para que sea continua en R la función f : R → R de e ax − 1
si x ≠ 0
 2 x
finida por f ( x ) = 
.
 b si x = 0

BLOQUE 4 (Estadística)
4-A) a ) Propiedades de la función de densidad de una variable aleatoria que sigue una
distribución normal.
b ) Si X es una variable aleatoria normal de media aritmética µ > 0 y varianza σ 2 en3µ 
µ
tonces P  ≤ X ≤
 vale:
2
2 
1 ) cero.
2 ) 2 P  Z ≤

µ
2σ

 − 1 , donde Z es una variable aleatoria que sigue una distribución normal

N(0, 1).
3 ) Ninguna de las anteriores.
Elegir una de las tres respuestas justificando la decisión.
4-B) a ) La media de una variable aleatoria puede ser negativa:
1 ) Nunca.
2 ) Siempre.
3 ) Sólo si las probabilidades son negativas.
4 ) Ninguna de las anteriores.
Elegir una de las opciones y razonar por qué las otras tres opciones no son correctas.
b ) Si X es una variable aleatoria discreta de media m, demostrar (empleando la definición de meda) que la media de una variable aleatoria discreta Y, con Y = a + bX, (para
cualquiera a , b ∈ R ) es a + bm.
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