UNSAM TEM- TDI – TTR MATEMATICA II TRABAJO PRÁCTICO 10

UNSAM
T.E.M.- T.D.I. – T.T.R.
MATEMATICA II
TRABAJO PRÁCTICO 10
FUNCIONES DE DOS VARIABLES - DERIVADAS PARCIALES
1.
Halle y represente los campos de existencia de las siguientes funciones
a.
z = 1 − x2 − y2
1
z=
2
x + y2
b.
z = ln( x 2 + y )
x
z = arcsen + xy
2
c.
d.
2.
Represente en el plano xy las curvas de nivel, f(x,y)=c, para las funciones f dadas y los
valores especificados de c. Trace gráficos aproximados de z=f(x,y)
a.
f ( x, y ) = 100 − x 2 − y 2
;
c=0, 2, 4, 6, 8, 10
b.
c.
f ( x, y ) = x 2 + y 2
f ( x, y ) = 1 − x − y
;
;
c=0, 1, 2, 3, 4
c=0, 1/2, 1
;
c=0, 1, 2, 3, 4
;
;
c=-2, -1, 0, 1, 2
c=-1, 0, 1, 2
d.
e.
f.
3.
y2
z=x +
2
2
z = x − y2
z = ( x − 1) 2 + ( y − 2 ) 2 − 1
2
a.
Halle las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones:
x
c.
z = arcsen( x + y )
z = x 2 sen 2 y
b.
z = arctg
y
4.
a.
Calcule las derivadas parciales de segundo orden de
z = x sen y − y sen x
b.
z = x 3 − 4 x 2 y + 5y 2
5.
Demuestre que si z = ln( x 2 + y 2 ) , entonces
6.
''
''
Determine si las siguientes funciones son armónicas (si satisfacen f xx
+ f yy
= 0)
y
f ( x, y ) = ln x 2 + y 2
c.
f ( x, y ) = e − x cos y + e − y cos x
f ( x, y ) = arctg( )
b.
x
a.
∂2z
∂x 2
+
∂2z
∂y 2
=0
7.
a.
b.
c.
d.
Dada la función f ( x, y ) = x 2 + 4 y 2 ,
Calcule f(2,1)
Trace la curva de nivel para f(x,y)=8
Calcule el gradiente de f en el punto (2,1)
Represente en el plano xy la curva de nivel y el vector gradiente en el punto (2,1).
8.
Idem para la función f ( x, y ) = 4 − x 2 − y 2 en el punto ( 2 ,1) .
1
9.
a.
b.
Halle las derivadas de las siguientes funciones en los puntos y según las direcciones dados:
z = 3x 4 − xy + y 3 en el punto (1,2), en la dirección que forma un ángulo de 60° con el eje x.
z = 5x 2 − 3x − y − 1 en el punto (2,1), en la dirección de la recta que lo une con el (5,5).
c.
f ( x, y ) = ln x 2 + y 2 en el punto (1,1), en la dirección de la bisectriz del primer cuadrante.
d.
f ( x, y ) = ye x en el punto (0,3), según la dirección que forma un ángulo de 30° con el eje x.
10.
En una montaña, la elevación sobre el nivel del mar está dada por la función
z = f ( x, y ) = 6 − 3 x 2 − 2 y 2 . ¿En qué dirección debe empezar a caminar un andinista que se
encuentra en el punto (-1,1) para ascender lo más rápido posible?
11.
Halle las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a las siguientes superficies en los
puntos que se indican
a.
f ( x, y ) = 3 x 2 + 2 y 2 − 11 en (2,1,3)
b.
x2 y2 z 2
3
4 4
+
+
= 1 en ( 2, , 2 ) y ( ,2, )
2
3 3
16
9
4
12.
c.
f ( x, y ) = x 2 + y 2 en (1,2,5)
d.
x2 y2 z 2
+
−
= 0 en (4,3,4)
16
9
8
Halle los diferenciales totales de las siguientes funciones y compruebe sus resultados
a.
2
2
z = ex +y
2
2
Resp: dz = 2e x + y ( xdx + ydy )
b.
z = x 2 + xy 2 + sen y
c.
z = ln( xy )
Resp: dz = ( 2 x + y 2 )dx + ( 2 xy + cos y )dy
dx dy
Resp: dz =
+
x
y
d.
z = x 2 + y 2 . Calcule dz para x=1, y=0, dx=1/2, dy=1/4.
Resp: ½
13.
Calcule la variación aproximada de f ( x, y, z ) = x 2 z 3 − 3 yz 2 + x −3 + 2 y z mediante
diferenciales, cuando el valor de (x,y,z) varía de (1,4,2) a (1.02,3.97,1.96).
14.
La potencia calórica disipada por una resistencia eléctrica viene dada por P=E2/R (en
Watt). Sean E=200 Vots y R=8Ω. Halle la potencia y la disminución que ésta sufre (∆P) cuando
E se disminuye en 5 Volts y R se aumenta en 0.2Ω. Calcule dP y compare.
15.
Al medir un bloque con forma de paralelepípedo se encontró que el largo, ancho y altura
son 10, 12 y 20 cm. Se empleó una regla que aprecia ½ mm. Halle en forma aproximada el
máximo error absoluto que se puede cometer al calcular el área total. Determine el error
porcentual.
2