Capítulo 1 Series de Fourier

Capítulo 1
Series de Fourier
En esta sección vamos a trabajar con funciones de variable e imagen real, o sea f (t) ; con
f : R ! R. Más adelante extenderemos los resultados para funciones de imagen compleja, es
decir, para funciones f : R ! C.
Si tenemos una función f : R ! R que sea lo su…cientemente derivable, se sabe de Análisis
I que podemos aproximar f localmente usando polinomios de Taylor, pero dicha aproximación
tiene muchas limitaciones: necesita que la función tenga derivadas (mientras más derivadas
tenga, más posibilidad de que la aproximación sea buena), y da una aproximación local, o sea
buena cerca de un punto pre…jado. Vamos a ver acá otra forma de hacer esto.
1.1.
Introducción: Series de Potencias
Estas son una clase particularmente importante de series de funciones:
De…nición 1.1 Una serie de la forma
1
X
an (t a)n = a0 + a1 (t
a) + a2 (t
a)2 +
n=0
se la llama serie de potencias centrada en a:
Ejemplo 1.2
1.
1 n
X
t
n=0
N [ f0g.
2.
1
X
( 1)n (t
n=1
(a0 =
n!
es una serie de potencias centrada en cero, con an =
1
8 n 2
n!
1)n es una serie de potencias centrada en 1; con an = ( 1)n 8 n 2 N
0).
9
Series de Fourier
10
Un grupo especialmente importante de series de potencias son las de la forma
1
X
f (n) (a)
n=0
a)n
(t
n!
donde f es alguna función que tiene derivadas de todos los órdenes en a; esta serie recibe el
nombre de series de taylor para f en a: Esta de…nición deriva de la de polinomio de Taylor:
N
X
f (n) (a)
00
0
(N
)
si f (a) ; f (a) ; f (a) ; :::; f
(a) existen todas, luego PN;a (t) =
(t a)n es el
n!
n=0
polinomio de Taylor de grado N para f en a. Se pone RN;a (t) = f (t) PN;a (t) (el resto), de
forma tal que
N
X
f (n) (a)
f (t) = PN;a (t) + RN;a (t) =
n!
n=0
(t
Taylor.
1
X
f (n) (a)
(t a)n converge a f (t)
n!
n=0
! 0. Notar que PN;a (t) = SN (t), la N -ésima suma parcial de la serie de
De esta expresión se deduce inmediatamente que la serie
si y solo sí RN;a (t)
a)n + RN;a (t) .
N !1
Ejemplo 1.3 Vamos a encontrar la serie de Taylor para f (t) =
1
alrededor de t = 1. Tenemos:
t
f (1) = 1
1
t2
f 0 (t) =
00
f (t) =
000
f (t) =
f iv (t) =
2
t3
! f 0 (1) =
1
00
! f (1) = 2
6
000
! f (1) = 6
4
t
24
! f iv (1) = 24
t5
en general
f (n) (t) = ( 1)n
n!
tn+1
! f (n) (1) = ( 1)n n!
para n 2 N.
luego la serie buscada es:
1
X
( 1)n n!
(t
n!
n
1) =
n=0
1
X
( 1)n (t
1)n :
n=0
Esta cuenta no demuestra que dicha serie sea convergente, y menos que converja a f (t); pero
podemos ver esto usando la serie geométrica:
1
=
t
1
1
(1
t)
donde la segunda iguandad vale si jt
=
1
X
n=0
(1
t)n =
1
X
( 1)n (t
1)n ,
n=0
1j < 1 (y la serie diverge para jt
1j > 1).
Series de Fourier
11
La siguiente proposición, de demostración inmediata si se dispone de la Regla de L’Hopital,
nos dice cuan bien aproxima el polinomio de Taylor de una función en un entorno del centro a:
Proposición 1.4 Si f : (a
"; a + ") ! R tiene n derivadas en a, entonces
lm
t!a
f (t) Pn;a (t)
=a
(t a)n
Demostración. Ejercicio, aplicar la regla de L’Hopital n veces.
A esta altura conocemos dos fórmulas explícitas para el resto:
Proposición 1.5 Si f : (a
"; a + ") ! R y I es el intervalo de extremos a y t, entonces:
1. Si f (n+1) existe en I, entonces
Rn;a (t) =
f (n+1) ( )
(t
(n + 1)!
a)n+1
para algún
2 I:
2. Si f (n+1) es integrable en I, entonces
Rn;a (t) =
Z
t
a
f (n+1) (u)
(t
n!
u)n du:
Ejemplo 1.6 Dada f (t) = cos (t) y a = 0, f tiene derivadas de todos los órdenes en a: Calculando obtenemos
f (0) = 1
f 0 (t) =
00
f (t) =
000
sin (t) ! f 0 (0) = 0
00
cos (t) ! f (0) =
1
000
f (t) = sin (t) ! f (1) = 0
A partir de la cuarta derivada, los resultados se repiten de manera cíclica, por lo que resulta
que la serie de Taylor para cos (t) en cero es
1
t2 t4
+
2
4!
t6
+
6!
+ ( 1)n
t2n
+ R2n;o (t)
(2n)!
(notar que todas las potencias de t que aparecen son pares). Como f (n+1) ( )
tiene que
tn+1
jRn;0 (t)j
! 0
(ejercicio).
(n + 1)! n !1
Entonces, hemos probado que
cos (t) =
1
X
n=0
( 1)n
t2n
(2n)!
para todo t 2 R.
1 8 n; ; se
Series de Fourier
12
De manera absolutamente análoga se puede ver que
sin (t) =
1
X
( 1)n
n=0
t2n+1
(2n + 1)!
para todo t 2 R,
y
exp (t) =
1 n
X
t
n=0
para todo t 2 R.
n!
Al comenzar el estudio de series, nos concentramos en la convergencia o no de las mismas.
Cuando se trabaja con serie de potencias, o en general con series de términos variables, el foco
debe ponerse en cuales son los valores que puede tomar la variable t para que la serie resultante
sea convergente. Para cada valor de t en el que la serie de potencias converge, la serie representa
el número que es la suma de la serie. Por tanto, una serie de potencias en t de…ne una función
que tiene como dominio todos los valores de t para los cuales la serie de potencia converge.
1
X
Teorema 1.7 Si la serie de potencias
a)n converge en t = t0 ; entonces converge
an (t
n=0
absolutamente 8 t tal que jt aj < jt0
absolutamente 8 t 2 (a r; a + r).
Demostración. Puesto que la serie
aj. Es decir, si r = jt0
1
X
aj entonces la serie converge
a)n converge, la condición del resto nos dice
an (t0
n=0
que
a)n = 0,
l m an (t0
n!1
y entonces 9 M tal quejan (t0
jan (t
a)n j
n
M 8 n. Si tomamos t tal que jt
n
a) j = jan r j
jt
aj
n
r
M
t
a
r
aj < r, tendremos
n
.
Puesto que la serie
1
X
t
n=0
a
n
r
converge (por ser geométrica de razón menor que 1), por comparación concluimos que
1
X
an (t0
n=0
converge absolutamente.
El resultado anterior nos permite de…nir el concepto de radio de convergencia de una
1
X
serie de potencias: consideremos la serie
an (t a)n , que siempre converge (a cero) cuando
n=0
t = a. Llamemos R0 = 0, y exploremos dos posibilidades:
P1
1. Si existe t0 tal que jt0 aj > R0 y tal que la serie
a)n sea convergente,
n=0 an (t0
llamemos R1 = jt0 aj (notar R1 > R0 ). En tal caso la Proposición anterior nos dice que
la serie converge absolutamente 8 t 2 (a R1 ; a + R1 ).
a)n
Series de Fourier
13
P
2. Si no existe t0 tal que jt0 aj > R0 y la serie 1
n=0 an (t0
R = R0 = 0, y la serie converge solo en t = a.
a)n sea convergente, llamamos
En el caso 1., seguimos iterativamente de la siguiente manera:
P1
a)n sea convergente,
1. Si existe t1 tal que jt1 aj > R1 y tal que la serie
n=0 an (t1
llamemos R2 = jt1 aj (notar R2 > R1 ). En tal caso la Proposición anterior nos dice que
la serie converge absolutamente 8 t 2 (a R2 ; a + R2 ).
P1
2. Si no existe t1 tal que jt1 aj > R1 y la serie
a)n sea convergente, llan=0 an (t1
mamos R = R1 , y la serie converge absolutamente 8 t 2 (a R; a + R) y diverge 8 t 2
ft : jt aj > Rg.
Este proceso iterativo nos permite construir una sucesión creciente fRn g1
n=0 cuyo límite
( 1) se llama el radio de convergencia de la serie de potencias, y por su construcción tiene
la propiedad de que la serie converge absolutamente 8 t 2 (a R; a + R) = ft : jt aj < Rg y
diverge 8 t 2 ft : jt aj > Rg. No sabemos que pasa en ft : jt aj = Rg, es decir, en t = a R.
Ejemplo 1.8 Determine los valores de t para los cuales la serie de potencias es convergente:
1
X
( 1)n+1
n=0
Si expresamos la serie dada de la forma
tn = ( 1)n+1
2n tn
n3n
P1
n=0 tn ;
y
2n n
t
n3n
entonces
tn+1 = ( 1)n+2
2n+1 tn+1
(n + 1) 3n+1
de modo que
lm
n!+1
2n+1 tn+1 n3n
n!+1 (n + 1) 3n+1 2n tn
2
n
jtj
=
lm
n!+1 3
n+1
2
=
jtj
3
tn+1
tn
=
lm
Por tanto la serie de potencias es absolutamente convergente cuando 23 jtj < 1 o, equivalentemente, cuando jtj < 32 : La serie es divergente cuando 23 jtj > 1 o, equivalentemente, cuando
jtj > 32 : Es decir, el radio de convergencia de esta serie es R = 32 . Cuando 23 jtj = 1 (es decir
cuando t = 32 ), el criterio del cociente no da información. Cuando t = 23 ; la serie de potencias
dada se convierte en la serie armónica alternante
1
1
1 1
+
2 3
la cuál es convergente. Cuando t =
3
2
1
1
1
2
1
+
4
+ ( 1)n+1
se tiene
1
3
1
4
1
n
1
+
n
Series de Fourier
14
la cual es (un multiplo de) la serie armónica, que es divergente. Por tanto, se concluye que la
serie de potencia dada es absolutamente convergente cuando
3
3
<t<
2
2
y es condicionalmete convergente cuando
3
t= .
2
Si
t
3
2
ó
3
t> ;
2
la serie es divergente.
1.2.
Series de funciones reales
De la misma forma que pensamos en sucesiones de números reales fxn gn2N ; donde teníamos
un número real para cada natural n; podemos pensar en una sucesión de funciones ffn gn2N ,
donde cada fn (t) es una función real de…nida en cierto dominio (o sea, tenemos una función de
variable para cada número natural n). Por ejemplo si llamamos
fn (t) =
1
cos(nt);
n2
entonces ffn gn2N es una sucesión de funciones reales, cada una de las funciones de la sucesión
esta de…nida en todo R; y la n-ésima función de la sucesión es nt:
Supongamos que tenemos una sucesión de funciones ffn gn2N ; y tomemos un número t …jo
que esté en el dominio de todas las funciones fn , entonces ffn (t)gn2N es una sucesión de números
reales, así que tiene sentido plantear la serie
f1 (t) + f2 (t) + f3 (t) +
=
1
X
fn (t) :
n=1
Para decidir si una serie de este tipo converge, se puede aplicar cualquiera de los criterios vistos,
pues se trata de una serie normal de números reales. Pero estamos interesados en ver el problema
desde otro punto de vista: dada una sucesión de funciones
ffn gn2N ; queremos encontrar los
P1
f
números reales t para los cuales la
serie
numérica
n=1 n (t) es convergente (si es que hay
P1
alguno). Suponiendo que la serie n=1 fn (t) converge para todo t de cierto conjunto I
R;
llamamos
N
1
X
X
S (t) = l m
fn (t) =
fn (t) ;
N !1
n=1
n=1
y esto de…ne una
P nueva función S (t) en I (la función que asigna a cada t de I el valor de la
serie numérica 1
n=1 fn (t)). Este hecho se suele denotar omitiendo la variable:
S= lm
N !1
N
X
n=1
fn =
1
X
n=1
fn ;
Series de Fourier
15
y se dice que la serie de funciones
queda así:
P1
n=1 fn
converge a la función S. La de…nición de convergencia
P1
De…nición 1.9
Dada
una
sucesión
de
funciones
ff
g
;
diremos
que
n
n2N
n=1 fn converge en un
P1
conjunto I si n=1 fn (t) converge para todo t 2 I (notar que, necesariamente I Dom (fn ) 8 n,
es decir, los puntos donde la serie converge son,P
necesariamente, puntos del dominio de las fun1
ciones
f
).
Análogamente,
diremos
que
la
serie
n
n converge absolutamente en I si la serie
n=1 fP
P1
1
n=1 jfn (t)j converge para todo t 2 I (o sea si la serie
n=1 fn (t) converge absolutamente para
todo t 2 I).
P
La región de convergencia de la serie 1
n=1 fn es el conjunto
(
)
1
X
t2R:
fn (t) converge ;
n=1
es decir, el mayor conjunto donde la serie converge.
Ejemplo 1.10 Tomar fn (t) = tn , con n 2 N (es decir, f1 (t) = t, f2 (t) = t2 , f3 (t) = t3 , etc.),
y queremos ver para qué valores de t podemos calcular
f1 (t) + f2 (t) + f3 (t) +
(notar que cada función fn está de…nida en todo R). Llamando Sn (t) = f1 (t) + f2 (t) + f3 (t) +
+ fn (t) y haciendo la misma cuenta que para la serie geométrica, concluimos que para t 6= 1
vale
t tn+1
Sn (t) =
:
1 t
Entonces, para t con jtj < 1 tenemos que
1
X
fn (t) = l m Sn (t) =
n!1
n=1
t
1
t
;
y para t con jtj 1 la serie no converge pues los términos no tienden a cero. Es decir, la serie
P
1
n=1 fn converge en el conjunto I = ft : jtj < 1g :
Los criterios usuales para series numéricas quedan ahora así:
P1
P1
P1
R; y
Si
n=1 gn son series de funciones,
n=1 fn converge a f en If
P1 n=1 fn y
g
converge
a
g
en
I
R;
y
es
un
número
real,
entonces
la
serie
de
funciones
n
g
Pn=1
1
n=1 ( fn + gn ) converge a la función f + g en If \ Ig .
P
Si 1
R entonces
n=1 fn converge en I
l m fn (t) = 0
n!1
8 t 2 I:
P
P1
La serie 1
n=1 fn converge en I si y solo si la serie RN =
n=N +1 fn converge en I para
todo N; y en tal caso
l m RN (t) = 0 8 t 2 I:
N !1
Series de Fourier
16
P
P
Si 1
I R, entonces converge en I (es decir, si 1
n=1 fn converge absolutamente en
n=1 jfn (t)j
P1
converge para todo t en I entonces n=1 fn (t) converge para todo t en I).
P1
P
Si jhn (t)j P
jfn (t)j 8 t 2 I y 1
n=1 jhn j converge en I
n=1 jfn j converge en I; entonces
h
converge
en
I).
(y entonces 1
n=1 n
Si ffn gn2N es una sucesión con fn (t) 6= 0 8 t 2 I y 8 n
N (donde N es algún natural) y
fn+1 (t)
= lt ;
fn (t)
lm
n!1
P
entonces la serie 1
n=1 fn converge absolutamente en I si lt < 1 8 t 2 I; (y diverge para
los valores de t tales que lt > 1).
Si ffn gn2N es una sucesión y
lm
n!1
P1
p
n
jfn (t)j = lt ;
entonces la serie n=1 fn converge absolutamente en I si lt < 1 8 t 2 I; (y diverge para
los valores de t tales que lt > 1).
Ejemplo 1.11 Tomemos
fn (t) =
t
t+1
n
(o sea que cada fn está de…nida en R f 1g), buscamos la región de convergencia de
Por el ejemplo anterior, sabemos que necesitamos
t
t+1
P1
n=1 fn .
< 1;
y entonces
t
t+1
<
1 () jtj < jt + 1j () t2 < (t + 1)2 ()
() t2 < t2 + 2t + 1 ()
es decir, la serie converge en el intervalo
1
2; 1
1
< t;
2
.
En general, uno pretende que la función de…nida por una serie de funciones convergentes
tenga las mismas propiedades de suavidad que las funciones sumadas. Esto en general no es así,
pero tenemos los siguientes resultados:
Teorema 1.12 Si ffn gn2N es una sucesión de funciones continuas en [a; b] y fMn gn2N es
una sucesión de números reales positivos tales que
1. para cada n 2 N; vale que jfn (t)j
P
2. la serie 1
n=1 Mn converge.
Mn 8 t 2 [a; b]; y
Series de Fourier
17
Entonces la serie
P1
n=1 fn
Z
converge absolutamente a una función continua S(t), y
1 Z
X
d
S (t) dt =
c
d
fn (t) dt
8 [c; d]
n=1 c
[a; b] :
P1
Demostración. Primero notar que por comparación
la
serie
n=1 fn (t) converge (absolutaP1
mente) para todo t 2 [a; b]. Llamemos S(t) = n=1 fn (t). Además,
jRN (t)j =
1
X
1
X
fn (t)
n=N +1
jfn (t)j
n=N +1
1
X
Mn
n=N +1
! 0,
N !1
y entonces dado " > 0 puedo encontrar n0 2 N tal que
jRn0 (t)j <
"
3
8 t 2 [a; b]
Doy un t0 …jo en [a; b], quiero ver que puedo hacer jS (t) S (t0 )j chico tomando t su…cientemente próximo a t0 ; es decir, doy " > 0 y quiero ver que hay un > 0 tal que
Llamemos Sn (t) =
jS (t)
Pn
jS (t)
j=1 fj
S (t0 )j < "
si
jt
t0 j < :
(t) ; entonces
S (t0 )j = jS (t)
jS (t)
Sn0 (t) + Sn0 (t)
Sn0 (t0 ) + Sn0 (t0 )
Sn0 (t)j + jSn0 (t)
Sn0 (t0 )j + jSn0 (t0 )
S (t0 )j
S (t0 )j =
= jRn0 (t)j + jSn0 (t) Sn0 (t0 )j + jRn0 (t0 )j <
"
< 2 + jSn0 (t) Sn0 (t0 )j :
3
Ahora tomo
(1.1)
tal que
"
si jt t0 j <
(1.2)
3
(que existe pues la función Sn0 (t) es continua en t0 pues es la suma de n0 funciones continuas).
Combinando (1.2) con (1.1), vemos que tal es el que estábamos buscando.
Rd
P
En cuanto a la integral, queremos ver que la serie numérica 1
n=1
c fn (t) dt converge al
Rd
"
número c S (t) dt. Razonando como arriba, dado " > 0 existe N 2 N tal que jRn (t)j
b a
para todo t 2 [a; b] si n N . Entonces
0
1
0
1
Z d
Z d
Z d
n
n Z d
n
X
X
X
@S (t)
@S (t)
fj (t)A dt =
S (t) dt
fj (t) dt =
fj (t)A dt
jSn0 (t)
c
j=1
Sn0 (t0 )j <
c
c
=
Z
c
c
j=1
d
jRn (t)j dt
"
b
que es lo que queríamos probar.
Ejemplo 1.13 Considerar la serie
1
X
cos (nt)
n=1
n2
.
a
(d
c) < " 8 n
j=1
N,
Series de Fourier
18
P1 1
1
para todo t 2 R, y
Puesto que cos(nt)
n=1 n2 convege, concluimos que dicha serie
n2
n2
converge a una función continua S(t) en R. Además,
Z X
1
1 Z
X
cos (nt)
cos (nt)
dt =
dt = 0.
2
n
n2
0
0
n=1
n=1
S
1
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
t
Notar que, a partir de la grá…ca de S, no es obvio que la integral valga cero. Más adelante
encontraremos una fórmula para S en términos de funciones elementales.
Teorema
1.14 Si ffn gn2N es una sucesión de funciones con derivada continua en [a; b] tales
P
f
que 1
n=1 n (t) converge en [a; b] a S(t), y fMn gn2N es una sucesión de números reales positivos
tales que
1. para cada n 2 N; vale que jfn0 (t)j
P
2. la serie 1
n=1 Mn converge.
Mn 8 t 2 [a; b]; y
Entonces S(t) tiene derivada continua
S 0 (t) =
P1
1
X
fn0 (t) dt:
n=1
0
n=1 fn (t) ;
quiero ver que S es derivable y que S 0 (t) =
Demostración. Llamemos g (t) =
g (t) 8 t 2 (a; b) : Por el Teorema Fundamental del Cálculo,
Z t
fn (t) fn (a) =
fn0 (x) dx;
a
Aplicando el Teorema anterior, vemos que
Z t
Z tX
1
1 Z t
1
X
X
0
g (x) dx =
fn (x) dx =
fn0 (x) dx =
[fn (t)
a
=
a n=1
1
X
fn (t)
n=1
n=1
1
X
a
fn (a) = S (t)
fn (a)] =
n=1
S (a) .
n=1
Pero sabemos del Teorema anterior que g es continua, por lo que el Teorema Fundamental del
Cálculo nos dice que
Z t
d
g (x) dx = g (t) ;
dt a
que comparando con la igualdad anterior nos permite deducir que S es derivable y S 0 (t) = g (t).
Que S 0 es continua se deduce del Teorema anterior.
Series de Fourier
19
Ejemplo 1.15 (Aplicación a Series de Potencias) Vamos a extender los resultados del Teorema 1.7. Si
1
X
S(t) =
an (t a)n ,
n=0
es una serie de potencias que converge en t0 , tomemos cualquier 0 < r < jt0 aj, y M tal
que jan (t0 a)n j M (que existe por la convertencia en t0 ). Entonces para todo t 2 (a r; a+r)
se tiene
rn
rn
jan (t a)n j jan (t0 a)n j
M
= Mn ,
jt0 ajn
jt0 ajn
y
nrn 1
rn 1
fn .
M
=M
nan (t a)n 1
jnan (t0 a)n j
n
jt0 aj
jt0 ajn
Estas dos cotas (que valen para todo t 2 (a r; a + r)) implican (aplicando los Teoremas 1.12 y
1.14) que S(t) se puede integrar término a término, y una primitiva de S(t) es
Z t
Z t
1
1
X
X
an
S(x)dx =
(x a)n dx =
an
(t a)n ,
(1.3)
n
+
1
a
a
n=0
y además es derivable en (a
n=0
r; a + r) y
1
X
d
S (t) =
an (t
dt
0
n
a) =
n=0
1
X
nan (t
a)n
1
.
(1.4)
n=1
Eligiendo convenientemente t0 y r; se puede ver que las tres series de potencias tienen el
mismo radio de convergencia, y que las fórmulas (1.3) y (1.4) valen en toda la región de convergencia.
Dicho corto: las series de potencias se pueden integrar y derivar término a término. Se deja
como ejercicio aplicar esto a las series de Taylor encontradas, y utilizar el mismo para encontrar
la serie de Taylor de otras funciones (por ejemplo, la de ln integrando la serie de 1=t).
1.3.
Funciones periódicas
Haremos acá un reconto de las propiedades que necesitamos de las funciones de variable real
periódicas.
De…nición 1.16 Una función f : R ! R (ó f : R ! C) se dice periódica de período T si
f (t) = f (t + T ) para todo t 2 R: Cuando existe un menor T positivo con esta propiedad se lo
llama período fundamental de f:
Por ejemplo, la función cos (t) es periódica de período 2k ; k 2 N; y su período fundamental
es 2 ; por lo tanto si n 2 N y p > 0; la función
f (t) = cos
n t
p
Series de Fourier
20
2p
es periódica de período 2pk
n , y su período fundamental es n : En particular, cualquiera sea el
número n; f tiene período 2p: Las funciones constantes son periódicas con cualquier período, y
no tienen período fundamental.
Si f tiene período T entonces f tiene período kT para cualquier k 2 N (ejercicio), y las
funciones periódicas de período T quedan absolutamente determinadas por su valor en cualquier
intervalo de la forma [a; a+T ); pues si conozco a f en un intervalo así y quiero saber cuanto vale
f (t) para cierto t; basta con buscar k 2 Z tal que t + kT 2 [a; a + T ): De esta forma se puede
construir funciones periódicas a partir de funciones de…nidas en algún intervalo: si conozco f
en [a; b) y digo que f tiene período T = b a; entonces tengo de…nida en todo R una función
periódica de período T: En particular, se usa mucho tener una función de…nida en un intervalo
simétrico [ p; p) y periódica de período 2p:
T
a¡2T
a¡
a¡T
a
0
b
Si sumamos funciones de período T obtenemos una nueva función que también tiene período
T (ojo, no estamos hablando del período fundamental, solo de algún período),
y también si
P
tenemos una sucesión de funciones ffn gn2N todas de período T y la serie 1
n=1 fn converge,
entonces converge a una función de período T: Así, la función
N
SN (t) =
a0 X
+
an cos
2
n t
p
n=1
+ bn sin
n t
p
es periódica de período 2p pues es suma de funciones de período 2p (se puede veri…car
fácilmente, además, que SN (t) = SN (t + 2p)), y si la serie
1
a0 X
+
an cos
2
n=1
n t
p
+ bn sin
n t
p
converge, entonces converge a una función de período 2p.
Si f es periódica de período T; e integrable (en el sentido de Riemann), entonces para todo
a 2 R se tiene que
Z T
Z a+T
f (t) dt =
f (t) dt;
0
a
es decir que cada vez que integro sobre un intervalo de longitud T obtengo el mismo resultado.
Esto puede verse fácilmente de manera grá…ca, “recortando” el área bajo f en [a; a + T ) y
Series de Fourier
21
reacomodándola para que quede como el área bajo f en [0:T )
0
1.4.
a
T
a+T
Aproximación por medio de polinomios trigonométricos
Sabemos que podemos aproximar ciertas funciones f (t) con polinomios p (t) usando Taylor
(Análisis I). Lo que se le pide a la función es que tenga su…cientes derivadas en un entorno de un
punto t0 ; y el criterio de aproximación que se toma es hacer la desviación máxima jf (t) p (t)j lo
más chica posible en cierto intervalo [a; b] que contiene t0 (es decir, p (t) aproxima “bien”a f (t)
en [a; b] si la diferencia máxima entre sus grá…cas es “pequeña”). Al usar Taylor, construimos
un polinomio de grado n;
n
X
f (j) (t0 )
pn (t) =
(t t0 )j ;
j!
j=0
y para mejorar la aproximación debíamos aumentar n; y para que la aproximación sea tan buena
como queramos necesitamos que f tenga derivadas de todos los órdenes en t0 y además que el
resto
3
2
n
(j)
X
f (t0 )
4f (t)
(t t0 )j 5
j!
j=0
tienda a cero cuando n tiende a in…nito para todo t de [a; b] ; lo cual no ocurre siempre.
p(t)
f(t)
t0
Ahora vamos a tratar de aproximar funciones f (t) periódicas de período 2p, y para eso
usaremos polinomios trigonométricos de grado N y período 2p, que son funciones de la
forma
N
n t
a0 X
n t
SN (t) =
+
an cos
+ bn sin
;
2
p
p
n=1
Series de Fourier
22
donde p es un número real …jo y a0 ; a1 ; :::; aN ; b1 ; :::; bN son números (reales o complejos, dependiendo de que f ser real o compleja) que elegiremos para satisfacer cierto criterio de aproximación.
Notar que cada término de SN (t) es una función periódica de período 2p; por lo tanto SN (t) es
una función periódica de período 2p: Entonces SN va a ser bueno para aproximar funciones de
período 2p; o lo que es lo mismo, funciones de…nidas en algún intervalo de longitud 2p (pues si
tengo una función de…nida en un intervalo de longitud 2p puedo construir una función periódica
de período 2p de…niendo f (t) = f (t + 2p) para todo t real, y viceversa). De acá en adelante
asumimos eso: vamos a trabajar con funciones de…nidas en un intervalo de longitud 2p y
extendidas periódicamente a todo R.
En cuanto al criterio para aproximar, vamos a usar el que se llama de la media cuadrática
mínima, y para motivar este criterio vamos a suponer que f : R!R: Si, con la notación que
traemos, llamamos
SN (t) ;
N (t) = f (t)
entonces el criterio usado con polinomios de Taylor era hacer chico j
grá…cas abajo, con ese criterio, 1 es mejor aproximación de f que 2
N
(t)j ; y si miramos las
1
f(t)
f(t)
-p
0
2
-p
p
p
0
Pero el área que queda entre f y 1 en el intervalo [ p; p] es más grande que la que queda
entre 2 y f; y ese es otro criterio que podríamos usar para decir que una función aproxima a f:
Como dicha área es
Z p
j N (t)j dt;
p
deberíamos
elegir los coe…cientes (reales, pues f lo es) a0 ; a1 ; :::; aN ; b1 ; :::; bN de SN para hacer
Rp
p j N (t)j dt lo más chico posible. Pero esto presenta complicaciones teóricas y tiene algunos
resultados indeseables, así que vamos a tomar como criterio de elección de los coe…cientes de
SN ; minimizar
Z
p
p
j
N
(t)j2 dt
con la esperanza de que sea más o menos lo mismo (notar que en este caso
pues todas las cantidades involucradas son reales).
N
(t)2 = j
N
(t)j2
Nota importante 1.17 Puesto que estas operaciones involucran la integración de funciones,
de acá en adelante asumiremos que las funciones involucradas son acotadas e integrables en el
sentido de Riemann. Se puede extender la teoría a funciones no acotadas (cuya integral impropia
en el intervalo [ p; p] converge), pero dicha generalidad escapa al alcance de estas notas.
Series de Fourier
23
De…nición 1.18 Si f (t) ; g1 (t) y g2 (t) son funciones (de imagen real o compleja) acotadas e
integrables en [a; b] ; diremos que g1 aproxima mejor a f que g2 en [a; b] en el sentido de la media
cuadrática si
Z b
Z b
2
jf (t) g1 (t)j dt
jf (t) g2 (t)j2 dt:
a
a
Seguimos ahora con el problema de encontrar los coe…cientes a0 ; a1 ; :::; aN ; b1 ; :::; bN de SN , es
decir, tomemos una f : [ p; p] ! R y busquemos los números reales a0 ; a1 ; :::; aN ; b1 ; :::; bN de SN
de forma tal que SN aproxime lo mejor posible a f en el sentido de la media cuadrática en [ p; p].
Como todas las cantidades involucradas son reales, tenemos que elegir a0 ; a1 ; :::; aN ; b1 ; :::; bN de
modo que
IN =
Z
p
N
Z
(t)2 dt =
p
"
p
f (t)
p
N
a0 X
+
an cos
2
n t
p
n=1
+ bn sin
n t
p
#!2
dt
(1.5)
sea lo más chico posible, es decir, podemos pensar IN (a0 ; a1 ; :::; aN ; b1 ; :::; bN ) como una función
de 2N + 1 variables, y tenemos que minimizarla. Para hacer esto, calcularemos IN (por más
doloroso que sea), y luego derivaremos, con la esperanza de encontrar un punto crítico que sea
mínimo. Para ello vamos a utilizar las siguientes relaciones: se tiene que
Z
Z
Z
p
cos
n t
p
cos
k t
p
dt =
p
0
sin
n t
p
sin
k t
p
dt =
p
0
cos
n t
p
sin
k t
p
dt = 0 8 k; n;
p
p
p
p
p
y
Z
p
cos
p
n t
p
dt =
Z
p
sin
n t
p
n t
p
#!2
p
si n = k
;
si n =
6 k
si n = k
;
si n =
6 k
(1.6)
dt = 0.
(1.7)
Desarrollando el integrando en (1.5) queda
f (t)
= f (t)
2
"
N
a0 X
+
an cos
2
a0 f (t)
n=1
2
N
X
n=1
n t
p
an cos
+ bn sin
n t
p
f (t) + bn sin
n t
p
f (t) +
N
+
a0 X
+
an cos
2
n=1
Integrando el último término de (1.8) y usando (1.7) obtenemos
n t
p
(1.8)
+ bn sin
n t
p
!2
Series de Fourier
24
Z
=
Z
= p
"N
X
a0
+
an cos
2
n=1
2
p
p
p
p
a20
2
n t
p
Z
N
6X
a20
6
dt + a0 6
an
4
4n=1
|
+p
N
X
p
cos
p
+ bn sin
#!2
n t
p
Z
dt + bn
}
|
n t
p
{z
0
+
Z
dt =
p
sin
p
p
p
"
3
n t
p
{z
0
N
X
an cos
n=1
7
7
dt7 +
5
}
n t
p
+ bn sin
n t
p
#2
dt
a2n + b2n ,
n=1
donde esta última igualdad vale pues cuando hacemos
"
N
X
n t
p
an cos
n=1
+ bn sin
n t
p
#2
obtenemos la suma de todas las combinaciones del tipo
an cos
n t
p
am cos
m t
p
; an cos
n t
p
m t
p
bm sin
; y bn sin
n t
p
bm sin
m t
p
;
con 1 n; m N , así que cuando integramos (usando las relaciones (1.6)) resultan distinto de
cero únicamente los términos con solo cosenos o solo senos y con m = n; y en tal caso la integral
vale p multiplicado por el cuadrado del respectivo coe…ciente.
Finalmente, integrando los otros dos términos de (1.8) obtenemos
IN
=
Z
p
2
f (t) dt
p
a0
Z
p
f (t) dt
p
2
N
X
n=1
an
Z
p
cos
p
n t
p
f (t) dt + bn
Z
p
sin
p
n t
p
f (t) dt +
N
+p
X
a20
+p
a2n + b2n .
2
(1.9)
n=1
(notar que es una forma cuadrática en a0 ; a1 ; :::; aN ; b1 ; :::; bN ).
Derivando, obtenemos que
Z p
@IN
=
f (t) dt + pa0 ,
@a0
p
Z p
@IN
k t
=
2
cos
f (t) dt + 2pak ,
@ak
p
p
Z p
@IN
k t
=
2
sin
f (t) dt + 2pbk ,
@bk
p
p
(1.10)
Series de Fourier
25
que al igualarlas a cero nos dice que deberíamos
Z
1 p
a0 =
f (t) dt
p p
Z
1 p
f (t) cos
ak =
p p
Z
1 p
bk =
f (t) sin
p p
tomar
k t
p
dt para k
1
k t
p
dt para k
1:
@ 2 IN
@ 2 IN
=
= 2p para k
2
@ak
@b2k
1;
Pero derivando de nuevo en (1.10) obtenemos
@ 2 IN
= p;
@a20
y como todas las derivadas cruzadas dan cero, resulta que la matriz Hessiana de IN es la matriz
diagonal
0
1
p 0
0
B 0 2p 0
0 C
B
C
B ..
.. C
..
B .
.
. C
B
C;
B ..
.. C
.
.
@ .
. . A
0
0 2p
de donde concluimos que efectivamente obtenemos un mínimo eligiendo los coe…cientes de esa
forma.
El trabajo hecho hasta ahora nos permite decir como debemos elegir los coe…cientes de SN
para obtener la mejor aproximación de f en el sentido de la media cuadrática, pero todavía no
sabemos cómo de buena es esa aproximación (aunque sea la mejor puede ser malísima), así que
por ahora no tenemos teoremas pero sí una de…nición:
De…nición 1.19 Si f es una función periódica de período 2p, acotada e integrable en el intervalo
[ p; p] (en el sentido de Riemann), de…nimos sus coe…cientes de Fourier por
Z
Z
n t
n t
1 p
1 p
f (t) cos
dt
y
bn;f =
f (t) sin
dt;
an;f =
p p
p
p p
p
y el polinomio trigonométrico
N
a0;f X
+
an;f cos
SN f (t) =
2
n=1
n t
p
+ bn;f sin
n t
p
formado usando los coe…cientes de Fourier de f se llama la aproximación N -ésima de Fourier
de f (los subíndices que indican la función entorpecen extremadamente la notación, por lo cual
no los utilizaremos salvo que sea estrictamente necesario).
Seguimos la cuenta: evaluando IN en a0;f ; a1;f ; :::; aN;f ; b1;f ; :::; bN;f (ver 1.9) y teniendo
en cuenta la de…nición anterior, obtenemos
!
Z p
N
a20;f X
2
2
2
IN;f = IN (a0;f ; a1;f ; :::; aN;f ; b1;f ; :::; bN;f ) =
f (t) dt p
+
an;f + bn;f
,
2
p
n=1
de donde podemos sacar las siguientes conclusiones:
Series de Fourier
26
1. Puesto que
a20;f
2
+
PN
n=1
h
a2n;f + b2n;f
i
crece cuando N crece (pues sumo más términos
positivos), la aproximación mejora cuando N crece, pues
0
Z
IN;f =
p
2
f (t) dt
a20;f
p
2. La serie
a20;f
2
+
1
X
+
2
p
N
X
a2n;f + b2n;f
n=1
!
:
a2n;f + b2n;f
n=1
converge pues es creciente (es decir, mientras más grande N más grande es la suma) y
para todo N vale que
a20;f
2
+
N
X
a2n;f
n=1
es decir, es acotada. Esto dice que
b2n;f !
n!1
0; y entonces an;f
+
1
p
b2n;f
h
a2n;f + b2n;f
! 0 y bn;f
n!1
i
p
f (t)2 dt
p
! 0; y entonces a2n;f
n!1
! 0.
n!1
Z
! 0 y
n!1
Después de todo este trabajo hemos demostrado el siguiente teorema:
Teorema 1.20 Sea f : R ! R una función periódica de período 2p, acotada e integrable en
el sentido de Riemann en [ p; p], y llamemos
N
a0 X
SN (t) =
+
an cos
2
n=1
n t
p
+ bn sin
n t
p
:
Entonces la mejor aproximación de f por SN en el sentido de la media cuadrática se obtiene al
elegir
Z
Z
1 p
n t
1 p
n t
an =
f (t) cos
dt; n 2 N[ f0g ;
y
bn =
f (t) sin
dt; n 2 N
p p
p
p p
p
(es decir, los coe…cientes de Fourier
de f ). iCon esta elección, la aproximación mejora a medida
P1 h
2
que N crece, y la serie n=1 jan j + jbn j2 converge, resultando
N
a20 X 2
+
an + b2n
2
n=1
Además,
lm
n!1
Z
p
f (t) cos
p
n t
p
dt = l m
1
p
n!1
Z
Z
p
f (t)2 dt:
p
p
f (t) sin
p
n t
p
dt = 0:
Series de Fourier
27
Se puede ver que más que lo que dice el teorema es cierto: en 1896 el matemático Liapuno¤
demostró que l mN !1 IN = 0; de donde se deduce que vale la igualdad
Z
1
a20 X 2
1 p
2
f (t)2 dt
+
an + bn =
2
p p
n=1
para cualquierR función acotada (e incluso para funciones no acotadas pero tales que la intep
gral impropia p jf (t)j2 dt sea convergente). Esta igualdad se llama igualdad de Parceval y la
desigualdad del teorema se llama desigualdad de Bessel.
Nota importante 1.21 Cuando uno examina con cuidado lo hecho, se da cuenta de que los
coe…cientes de Fourier no dependen del grado de la aproximación N . Esto es muy importante
porque signi…ca que si uno no está conforme con la aproximación lograda con cierta cantidad de
términos, entonces puedo agregar términos sin tener que recalcular los primeros coe…cientes. Es
decir, si para cierto problema usamos la 3ra aproximación de Fourier y no estamos conformes
con los resultados, para usar la 4ta sólo necesitamos calcular dos nuevos coe…cientes: a4 y b4 .
Ejemplo 1.22
1. Tomemos f (t) = jtj en el intervalo [ ; ] (es decir, estamos pensando en la función
periódica de período 2 que coincide con jtj en el intervalo [ ; ]). Los coe…cientes de
Fourier son
Z
Z
1
1
an =
jtj cos (nt) dt
y
bn =
jtj sin (nt) dt;
y como la función jtj sin (nt) es impar, resulta que todas las integrales que de…nen bn son
cero, es decir, bn = 0 8 n; y si n 6= 0 queda
Z
Z
Z
1
2
2 t sin (nt) t=
2
sin (nt)
an =
jtj cos (nt) dt =
t cos (nt) dt =
dt =
n
n
0
0
t=0
=
2
cos (nt)
n2
t=
=
t=0
2
[cos (n )
n2
Por otro lado,
0
1] =
4
n2
Z
si n es par
:
si n es impar
t=
2 t2
a0 =
tdt =
= ;
2 t=0
0
y entonces la aproximación N -ésima para N impar de f queda
4
4
4
cos (t)
cos (3t)
cos (N t) ;
SN f (t) =
2
9
N2
R
P1
2
y si N es par queda SN f (t) = SN 1 f (t) : Además,
jtj dt = 2 =
n=1
2 +
donde el último igual vale por Parseval.
2
3
3
2
S0
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
3
S1
2
2
1
1
0
1
2
3
16
2 (2n
-3
-2
-1
1)4
S3
0
1
2
3
;
Series de Fourier
28
En el segundo grá…co se puede ver cuál será el aporte del tercer término en S3 .
2. Tomemos la función de período 2 tal que
0
t2
f (t) =
si
si
1
0
t<0
;
t<1
entonces los coe…cientes de Fourier de f son: para n 1
Z
Z 0
Z 1
f (t) cos (n t) dt +
f (t) cos (n t) dt =
an =
1
1
Z
=
0
2 cos (n )
= ( 1)n
n2 2
n
=
y
a0 =
Z
f (t) cos (n t) dt
0
1
t2 cos (n t) dt =
1
t2 sin (n t)
n
2
;
2 2
1
f (t) dt =
2 sin (n t) 2t cos (n t)
+
n3 3
n2 2
Z
1
t=0
1
3
t2 dt =
0
1
t=1
y por último
Z
bn =
Z
=
1
f (t) sin (n t) dt =
1
1
t2 sin (n t) dt =
0
=
=
Z
0
f (t) sin (n t) dt +
1
Z
1
f (t) sin (n t) dt =
0
t2 cos (n t) 2 cos (n t) 2t sin (n t)
+
+
n
n3 3
n2 2
2
( 1)n+1 2 ( 1)n
cos (n ) 2 cos (n )
+
=
+
n
n3 3
n3 3
n
n3 3
1
si n es par
n
:
1
4
si n es impar
n
n3 3
2
n3 3
t=1
=
t=0
=
Así la sexta aproximación de Fourier de f es
S6 f (t) =
1
6
2
2
2
9
2
cos ( t) +
cos (3 t) +
1
3
1
3
1
-0.5
4
27
sin ( t) +
3
1
2
2
sin (3 t) :
0
0.5
1
1
0.5
S1
-1
-0.5
1
sin (2 t)
2
cos (2 t)
1
0.5
-1
4
0.5
S2
0
0.5
1
-1
-0.5
S3
0
0.5
1
Puede verse claramente, además, que la función anterior era más fácil de aproximar, ya que
sumando menos términos conseguíamos algo más parecido a f .
Series de Fourier
1.5.
29
Convergencia puntual de series de Fourier
Hasta ahora no hemos dicho nada cuanto se parece puntualmente f a su N -ésima aproximación de Fourier, es decir no sabemos que relación hay, para cada t; entre f (t) y SN (t) ; y
tampoco sabemos que pasa con SN (t) cuando N tiende a in…nito. Para estudiar eso, introducimos la siguiente de…nición:
De…nición 1.23 Si f (t) es una función periódica de período 2p e integrable en el intervalo
[ p; p], la serie de Fourier de f es
1
a0 X
+
an cos
2
n=1
n t
p
+ bn sin
n t
p
donde los coe…cientes fan gn2N[f0g y fbn gn2N son los coe…cientes de Fourier de f (ver de…nición
1.19). A veces denotaremos
f
1
a0 X
+
an cos
2
n=1
n t
p
+ bn sin
n t
p
para indicar cuál es la serie de Fourier de f . Notar que no sabemos si dicha serie converge para
algún valor de t; pero si tenemos f en las condiciones de la de…nición podemos construirla.
Por supuesto que nos gustaría mucho que la serie de Fourier de f converja a f; lo cual
lamentablemente no ocurre. Pero tenemos el siguiente teorema, que demostró Dirichlet en 1829
(este es el primer resultado de convergencia puntual de series de Fourier).
Teorema 1.24 (Dirichlet) Si f (t) es una función real de período 2p (de…nida en todo R),
acotada en [ p; p] ; con un número …nito de discontinuidades en [ p; p] y con un número …nito
de máximos y mínimos (extremos locales) en [ p; p] ; entonces la serie de Fourier de f converge
para todo t al valor 12 [f (t+ ) + f (t )] ; es decir,
1
a0 X
+
an cos
2
n=1
n t
p
+ bn sin
n t
p
=
1
f t+ + f t
2
:
Entendamos qué pide el teorema y qué da: las condiciones pedidas a f (además de ser
periódica de período 2p) se llaman las condiciones de Dirichlet en [ p; p] : Analicemos que
piden estas condiciones: primero, con extremos locales nos referimos a puntos t0 tales que f (t0 )
f (t) para todo t próximo a t0 (o en lugar de ). Que tenga un número …nito de máximos y
mínimos en [ p; p] nos asegura que f no oscila demasiado, por ejemplos la función periódica de
período 2 tal que
t sin (1=t) si 0 < jtj < 1
f (t) =
0
si t = 0
Series de Fourier
30
no cumple con esa condición (gra…car f y ver!). Que tenga un número …nito de discontinuidades
en [ p; p] está claro que signi…ca, y por ejemplo la función de período 2
f (t) =
0
1
si t 2 Q
si t 2 R Q
no cumple con esa condición. Las tres condiciones juntas (que pide Dirichlet) dicen algo muy
importante: que el intervalo [ p; p] se puede dividir de forma tal que la grá…ca de f en cada
subintervalo es la de una función creciente o decreciente, y además, por ser acotada, los límites
f t+
0 = l m f (t)
f t0 = l m f (t)
y
t!t+
0
t!t0
existen para todo t0 en [ p; p] : Para convencerse de eso, marcar en [ p; p] primero todas las
discontinuidades, y después estudiar en cada subintervalo una función continua con …nitos extremos locales (y a la hora de gra…car recordar que f es acotada). Notar que si f es continua en
t entonces f (t) = f (t+ ) = f (t ) ; y si f es discontinua en t entonces debe tener un salto en t
(o una discontinuidad evitable, ya que por las características de f , sabemos que existen límites
laterales en las discontinuidades), y entonces 12 [f (t+ ) + f (t )] es el promedio del valor de f en
el salto; es decir
1
f t+ + f t
2
=
f (t)
promedio del salto
si f es continua en t
:
si f no es continua en t
Notar, por último, que en estas condiciones sabemos que f es integrable en [ p; p] :
En cuanto a lo que el teorema da, nos asegura que la serie de Fourier de f converge para
todo t; pero no necesariamente a f; pues tenemos que
1
a0 X
+
an cos
2
n=1
n t
p
+ bn sin
n t
p
=
1
f t+ + f t
2
;
es decir que la serie de Fourier de f converge a f (t) en los t’s donde f es continua, y al promedio
del salto en los t’s donde f es discontinua. O sea, para insistir y que quede bien claro, la igualdad
f (t) =
1
a0 X
+
an cos
2
n=1
n t
p
+ bn sin
n t
p
vale solo para los valores de t donde f es continua. El hecho de que la serie de Fourier de f no
converge a f en las discontinuidades de f es absolutamente razonable: notar que si tomamos
to 2 [ p; p] y fabricamos una nueva función
g (t) =
f (t)
f (t0 ) 7
si t 6= t0
;
si t = t0
entonces f y g tienen la misma serie de Fourier (y dicha serie no puede converger en t0 a f (t0 )
y a g (t0 )).
Series de Fourier
31
Demostración. Veremos una idea de la demostración, para una función ligeramente mejor que
Dirichlet en [ p; p]: le pediremos además que tenga derivadas laterales en todos los puntos.
Tomamos t …jo
N
a0 X
n t
n t
SN f (t) =
+ bn sin
=
+
an cos
2
p
p
n=1
Z
Z
Z
N
X
11 p
1 p
n x
n t
1 p
n x
n t
=
f (x) dx+
f (x) cos
dx cos
+
f (x) sin
dx sin
2p p
p p
p
p
p p
p
p
n=1
"
#
Z
N
1 p
1 X
n t
n x
n t
n x
=
f (x)
cos
+ sin
sin
dx
+
cos
p p
2
p
p
p
p
n=1
"
#
Z
N
1 p
1 X
n
=
f (x)
+
(t x) dx
cos
p p
2
p
n=1
Llamemos
N
DN (t) =
1 X
+
cos
2
n=1
Usando
sin
n+
1
2
u
sin
n
1
2
u = sin (nu) cos
sin (nu) cos
1
2u
1
2 u
n
t
p
+ cos (nu) sin
cos (nu) sin
1
2u
1
2 u
= 2 cos (nu) sin
1
2u
se ve que
N
1 X
DN (t) = +
cos
2
n=1
La función DN (t) satisface:
Z
1 p
i)
DN (t)dt = 1;
p p
n
t
p
sin
N+
=
ii) DN es par,
2 sin
t
p
1
2
1 t
2 p
.
iii) tiene período 2p
Usando estas últimas dos propiedades se ve que
Z
1 p
SN f (t) =
f (x + t) DN (x)dx
p p
y entonces
SN f (t)
1 +
f (t )
2
1
1
f (t ) =
2
p
Z
0
1
[f (x + t) f (t )]DN (x)dx+
p
p
Z
p
[f (x + t) f (t+ )]DN (x)dx;
0
veamos que cada uno de ellos tiende a cero, veamos una (la otra es igual):
1
p
Z
0
p
[f (x + t)
Z
sin N + 12 px
1 p
+
f (t )]DN (x)dx =
[f (x + t) f (t )]
dx =
p 0
2 sin 2px
Z
Z
N x
N x
1 p
1 p
=
g1 (x) sin
dx +
g2 (x) cos
dx = bgN1 + agN2
p 0
p
p 0
p
+
Series de Fourier
32
donde g1 y g2 son las funciones de período 2p tales que
8
cos 2px
>
>
+ )]
>
[f
(x
+
t)
f
(t
p<x<0
<
2 sin 2px
g1 (x) =
0 +
>
x=0
>
p f (0 )
>
:
0
0<x<p
g2 (x) =
1
2
[f (x + t)
0
f (t+ )]
p<x<0
0 x<p
Puesto que g1 y g2 son integrables (acotadas) en [ p; p], sus coe…cientes de Fourier tienden a
cero, con lo cual concluye la demostración.
Ejemplo 1.25 Si consideramos la función de período 2 tal que
0
t2
f (t) =
si
si
1
0
t<0
t<1
(del ejemplo anterior), entonces el teorema nos dice que su serie de Fourier converge a la función
g (t) de período 2 tal que
8
t= 1
< 1=2
0
si
1<t<0 ;
g (t) =
: 2
t
si 0 t < 1
Nota 1.26 (comparativa) Con Fourier, si tenemos una función Dirichlet en [ p; p] y continua (y periódica de período 2p), entonces usando aproximaciones N -ésimas de Fourier podemos,
valga la redundancia, aproximar f tanto como queramos, a diferencia de lo que ocurría con
polinomios de Taylor que pedía que f tenga derivadas de todos los ordenes. De todos modos,
volvemos a recalcar que las series y polinomios de Fourier solo sirven para funciones periódicas,
por ejemplo no sirven para la función f (x) = ex ; y Taylor con esta hace un trabajo maravilloso.
Nota 1.27 (y ejercicio)
1. Si f y g son periódicas de período 2p e integrables en [ p; p], y sus series de Fourier son
f
1
a0;f X
+
an;f cos
2
n=1
g
n t
p
+ bn;f sin
1
a0;g X
+
an;g cos
2
n=1
n t
p
n t
p
y
+ bn;g sin
n t
p
;
Series de Fourier
33
entonces para cualquier número real
f +g
; la serie de Fourier de la función
1
a0;f + a0;g X
+
[ an;f + an;g ] cos
2
n=1
n t
p
f + g es
+ [ bn;f + bn;g ] sin
a0;f
2
2. Si f es periódica de período 2p e integrable en [ p; p] ; y f
+
P1
n=1 an;f
n t
p
cos
:
n t
p
+
bn;f sin np t (o sea el miembro de la derecha es la serie de Fourier de f ), y
2 R;
entonces la función g (t) = f ( t) es periódica de período 2p= e integrable en [ p= ; p= ] ;
y
1
a0;f X
n t
n t
+ bn;f sin
g
+
an;f cos
2
p
p
n=1
(es decir tiene los mismos coe…cientes que f ).
a0;f
2
3. Si f es periódica de período 2p e integrable en [ p; p] ; y f
bn;f sin np t , y 2 R; entonces la función g (t) = f (t
integrable en [ p; p] ; y sus coe…cientes de Fourier son
an;g = an;f cos
n
p
bn;f sin
n
p
bn;g = an;f sin
+
P1
n=1 an;f
cos
n t
p
+
) es periódica de período 2p e
;
y
n
+ bn;f cos
p
n
p
:
4. Si p (t) es un polinomio trigonométrico, entonces él es su serie de Fourier.
Unicidad y espectro: una pregunta un poco adelantada es: si f y g son periódicas de
período 2p y tienen los mismos coe…cientes de Fourier, ¿tiene que valer f (t) = g (t) 8 t?
Esta pregunta no es tan fácil de contestar, pero si es fácil cuando nos restringimos a funciones
como las del teorema de Dirichlet: en ese caso, f y g deben ser iguales, salvo posiblemente en
las discontinuidades de ambas pues si fx1 ; :::; xn g son las discontinuidades de f en [ p; p] y
fy1 ; :::; ym g son las de g; como f y g tienen la misma serie de Fourier y tal serie converge a f y
g donde son continuas, tendremos que para todo t 2 [ p; p] fx1 ; :::; xn ; y1 ; :::; ym g vale
f (t) =
1
a0 X
n t
+
an cos
2
p
n=1
|
{z
+ bn
serie de Fourier de f y g
n t
p
= g (t) :
}
Esto es muy importante porque nos dice que una función (periódica de período 2p y Dirichlet
en [ p; p]) está unívocamente determinada por sus coe…cientes de Fourier (salvo en las discontinuidades), es decir, si quiero transportar información puedo calcular los coe…cientes de Fourier
de f; tirar f y quedarme con los coe…cientes, tranquilo de que f es la única función con dichos
coe…cientes y de que puedo recuperarla cuando quiera (de nuevo, salvo por las discontinuidades).
Por razones físicas al conjuntohde todos los icoe…cientes de Fourier se llaman el espectro de f , y
2
Rp
P
2
2
a la cantidad p ja20 j + 1
(que es igual a p jf (t)j2 dt) la energía (espectral)
n=1 jan j + jbn j
total.
Series de Fourier
34
1.6.
Orden de los coe…cientes de Fourier
Sabemos que los coe…cientes de Fourier fan ; bn g de una función (razonable) satisfacen
an
! 0
y
n!1
bn
! 0,
n!1
pero no sabemos cuan rápido lo hacen. Para poder medir “velocidad” de convergencia tenemos
que …jar parámetros, y lo hacemos de la siguiente manera: vamos a usar para comparar las
sucesiones f1=ngn2N ; 1=n2 n2N ; 1=n3 n2N ; etc., teniendo en cuenta que, por ejemplo, la
segunda converge más rápido a cero que la primera, en el sentido de que
1=n2
1=n
En general, si tenemos f1=nm gn2N y 1=nk
segunda si m > k.
! 0:
n!1
n2N
entonces la primera decrece más rápido que la
Nota(ción) 1.28 Si f (t) es periódica de período 2p y continua, puede pasar que f 0 (t) exista en
todo ( p; p) salvo en …nitos puntos ft1 ; :::; tn g. En este caso, denotaremos por f 0 a tal función
(periódica de período 2p), dejándola sin de…nir en los puntos que no exista (que serán in…nitos
en R). Esto no tendrá importancia pues estamos interesados en los coe…cientes de Fourier de
f 0 ; y las integrales no se dan cuenta si f 0 no está de…nida en una cantidad …nita de puntos.
En algunos casos, cuando queramos remarcar esta situación, diremos que f 0 existe en casi todo
punto. Así, por ejemplo, la función de período 2 tal que f (t) = jtj si t 2 [ 1; 1) tiene derivada
periódica de período 2 y
1 si
1<t<0
;
f 0 (t) =
1
si 0 < t < 1
y f 0 no está de…nida en los t 2 Z:
0
f (t)
f(t)
1
-3
-2
-1
1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
En las condiciones anteriores, o sea si f es continua 2p-periódica y f 0 existe en casi todo
punto, si además f 0 es integrable en [ p; p] ; vale que
Z p
f 0 (t)dt = f (p) f ( p) :
p
Se suele poner f (p ) f ( p+ ) en lugar de f (p) f ( p) cuando no se sabe que f sea continua
en p y/o p.
Vamos a ver un lema técnico para calcular integrales:
Series de Fourier
35
Lema 1.29 (teorema del valor medio para integrales) Si f : [a; b] ! R es monótona en
[a; b] (es decir, creciente o decreciente) y g es integrable en el sentido de Riemann en [a; b] ;
entonces existe 2 (a; b) tal que
Z b
Z
Z b
g (t) dt:
g (t) dt + f (b)
f (t) g (t) dt = f (a)
a
a
Demostración. La omitimos, es un resultado clásico aunque no inmediato.
Tomemos ahora una función 2p-periódica y Dirichlet en [ p; p] : Como f tiene una cantidad
…nita de máximos y mínimos en [ p; p] podemos dividir dicho intervalo en una cantidad …nita
de subintervalos de forma tal que f sea monótona en cada uno de ellos. Consecuentemente,
Z
1 p
n t
an =
dt
f (t) cos
p p
p
puede expresarse como una suma …nita de integrales del tipo
Z
n t
1 b
f (t) cos
dt
p a
p
con f monótona en [a; b]. Aplicándole el lema anterior a esta integral tenemos que
Z
Z b
Z b
n t
n t
n t
cos
cos
dt = f (a)
dt + f (b)
dt =
f (t) cos
p
p
p
a
a
=
pf (a)
sin
n
n
p
sin
n a
p
+
pf (b)
sin
n
n b
p
sin
n
p
Ahora, como f es acotada existe M tal que jf (t)j
M para todo t; y entonces acotando la
suma anterior queda
Z b
n t
4pM
dt
:
f (t) cos
p
n
a
Por último, como el coe…ciente era una suma …nita de integrales de este tipo, concluimos que
existe una constante c (que no depende de n) tal que
jan j
c
n
8 n 2 N:
Análogamente, se prueba que en estas condiciones existe una constante c tal que
c
jbn j
8 n 2 N:
n
Supongamos ahora que f es 2p-periódica, continua y Dirichlet en [ p; p] ; y que existe f 0 en
casi todo punto y es Dirichlet en [ p; p] ; entonces calculamos los coe…cientes de Fourier de f
integrando por partes (notar que f 0 resulta acotada e integrable por ser Dirichlet):
Z
Z p
1 p
n t
p
n t p
p
n t
an =
f (t) cos
dt =
f (t) sin
f 0 (t) sin
dt =
p p
p
n
p
n p p
p
p
Z
p 1 p 0
n t
= 0
dt
(1.11)
f (t) sin
n
p p
p
:
Series de Fourier
36
pues sin ( n ) = sin (n ) = 0:
Pero
Z
1 p 0
f (t) sin
p p
n t
p
dt = b0n = coe…ciente de f 0 ;
y como f 0 está dentro del razonamiento anterior, sabemos que existe c tal que
c
n
a0n
y
b0n
c
n
8n2N
(estamos denotando con 0 los coe…cientes de f 0 ), así que tomando módulo arriba queda
p 0
b
n n
jan j =
pc 1
:
n2
Análogamente, usando que f es continua y que f (p) = f ( p), se ve que existe una constante c~
tal que
c~
jbn j
8 n 2 N:
n2
Motivados por todo este cuenterio, ponemos la siguiente de…nición:
De…nición 1.30 Si fcn gn2N es una sucesión que converge a cero, diremos que es de orden 1=nk
si existe una constante M tal que
1
jcn j M k
n
para todo n. Otra forma de decir esto es que fcn gn2N decrece al menos como (la sucesión)
1=nk n2N :
Esta no es la de…nición de orden más precisa ni la forma de determinar velocidad de convergencia más ajustada (por ejemplo, ¿por qué quedarnos con k natural en lugar de usar cualquier
otro exponente?) pero alcanza para lo que nosotros queremos establecer.
Ejemplo 1.31 Si
cn =
4
n2
0
si n es par
;
si n es impar
entonces fcn gn2N es de orden 1=n2 pero no de orden 1=n3 .
Para seguir con el razonamiento que traíamos, vamos a poner todo en un teorema:
Teorema 1.32 Sea f (t) una función de período 2p; entonces:
1. Si f es Dirichlet en [ p; p] ; entonces sus coe…cientes de Fourier son ambos de orden
(al menos) 1=n (es decir, existe M tal que jan j
M=n y jbn j
M=n 8 n). Si f tiene
discontinuidades no evitables (es decir, saltos por ser f Dirichlet), entonces sus coe…cientes
de Fourier no pueden decrecer ambos más rápido que 1=n (decrecer más rápido en el sentido
de la demostración, ver).
Series de Fourier
37
2. Si f es Dirichlet en [ p; p] y continua, y existe f 0 en casi todo punto y es Dirichlet en
[ p; p] ; entonces los coe…cientes de Fourier de f son ambos de orden (al menos) 1=n2 (es
decir, existe M tal que jan j
M=n2 y jbn j
M=n2 8 n). Si f 0 tiene discontinuidades,
entonces los coe…cientes de Fourier de f no pueden decrecer ambos más rápido que 1=n2 .
3. En general, si f es Dirichlet en [ p; p] y continua, y f 0 ; f 00 ; :::; f (k) existen todas, son
Dirichlet en [ p; p] y continuas, y f (k+1) existe en casi todo punto y es Dirichlet en [ p; p] ;
entonces sus coe…cientes de Fourier son ambos de orden (al menos) 1=nk+2 (es decir, existe
M tal que jan j M=nk+2 y jbn j M=nk+2 8 n). Si f (k+1) tiene discontinuidades, entonces
los coe…cientes de Fourier de f no pueden decrecer ambos más rápido que 1=nk+2 .
Demostración.
1. Que los coe…cientes de Fourier de f decrecen al menos como 1=n ya lo probamos, veamos
que no pueden decrecer más rápido ambos: para eso, supongamos que si, o sea que existe
M y > 0 tal que
M
M
jan j
y jbn j
8 n 2 N:
1+
n
n1+
Llamo
1
a0 X
+
an cos
g (t) =
2
n=1
n t
p
+ bn sin
n t
p
(el miembro de la derecha es la serie de Fourier de f; que converge para todo t pero no
necesariamente a f ), entonces
an cos
n t
p
+ bn sin
n t
p
2M
n1+
8 t 2 R;
y como la serie
1
1
X
X
1
2M
=
2M
1+
1+
n
n
n=1
R1
n=1
converge (pues 1 1=t1+ dt = 1= ; es decir, la integral converge), el Teorema 1.12 me
dice que g es continua en R. Pero f (t) = g (t) en todos los t0 s donde f es continua, y
esto quiere decir que f es continua o tiene discontinuidades evitables (pensar), lo cual
contradice nuestras hipótesis.
2. Que los coe…cientes de Fourier de f decrecen al menos como 1=n2 ya lo probamos, veamos
que no pueden decrecer más rápido ambos: para eso, supongamos que si, o sea que existe
M y > 0 tal que
M
M
jan j
y jbn j
8 n 2 N:
n2+
n2+
Como f es continua, tenemos que
f (t) =
1
a0 X
+
an cos
2
n=1
n t
p
+ bn sin
n t
p
;
Series de Fourier
38
y si miro la serie derivada término a término, tenemos que
1
X
an cos
n=1
n t
p
+ bn sin
n t
p
0
=
1
X
n=1
n an
sin
p
n t
p
+
n an
cos
p
n t
p
;
(1.12)
y
n an
sin
p
n t
p
+
n an
cos
p
2n M
2 M 1
=
2+
p n
p n1+
n t
p
8 t 2 R;
y como la serie
1
1
X
2 MX 1
2 M 1
=
p n1+
p
n1+
n=1
n=1
converge, el Teorema 1.14 nos dice que f tiene derivada continua; lo cual contradice nuestras hipótesis.
3. Se prueba usando inducción en n y los dos puntos anteriores.
Nota 1.33 (sutil) Fijarse que en el enunciado de (1) dice “Si f tiene discontinuidades no
evitables”, en cambio en (2) dice “Si f 0 tiene discontinuidades”, esto es porque hay un teorema
que dice que las funciones derivadas no pueden tener discontinuidades evitables, ver Spivak pag.
262.
Ejemplo 1.34
1. Si f (t) es la función de período 2 tal que f (t) = jtj si t 2 [
coe…cientes de Fourier y nos dio bn = 0 8 n; a0 = ; y
an =
4
n2
; ); ya calculamos sus
si n es impar
;
si n es par
0
es decir que son de orden 1=n2 pero no más, y eso es porque f es continua pero f 0 es
discontinua.
2. Si f es tal que sus coe…cientes de Fourier son
an =
7
n3
y
bn = p
n
n10 + 1
;
p n ; de donde se deduce que ambos son de orden
entonces jan j = 7n3 ; y pn 10
jbn j
2 n
n10
3
1=n y no más, es decir que f tiene derivada continua y derivada segunda discontinua.
Series de Fourier
1.7.
39
Derivación e integración de series de Fourier
Toda la sección anterior, además de ser útil para “saber”cuantos términos debemos usar para
obtener una “buena”aproximación, nos permite sospechar que va a pasar cuando integremos y/o
derivemos una serie de Fourier. De Análisis I, uno sabe que en general al integrar una función
obtenemos una función “mejor”, y que al derivarla obtenemos una función “peor”(por ejemplo,
en cuanto a cuantas derivadas tiene). Esta situación también se observa en las series de Fourier:
supongamos que tenemos una función 2p-periódica y Dirichlet en [ p; p] ; y construimos su serie
de Fourier
1
a0 X
n t
n t
f
+ bn sin
:
+
an cos
2
p
p
n=1
Si derivamos término a término, obtenemos la serie trigonométrica
1
X
n an
p
n=1
sin
n t
p
+
n bn
cos
p
n t
p
;
cuyos coe…cientes decrecen más lentamente, y por lo tanto la serie converge “peor” (si es que
converge). Por otro lado, si integramos término a término obtenemos
Z
0
=
=
t
1
X
a0
dx +
an
2
n=1
1
X an p
a0
t+
sin
2
n
n=1
1
X
a0
p
t+
2
n=1
Z
t
cos
0
n x
p
n t
p
dx + bn
1
n=1
t
n x
p
sin
0
bn p
n
bn X an p
+
sin
n
n
Z
cos n
n t
p
t
p
dx =
1
bn p
cos
n
n t
p
;
que es una serie (no trigonométrica, salvo que a0 = 0) que converge “mejor” (y efectivamente,
converge). Más aún, con f como tomamos nosotros, se puede ver que esta serie converge a
una función continua en R, pues los coe…cientes fan ; bn gn2N ; son de orden 1=n2 . Para estudiar
formalmente esto, comenzamos con un resultado ya probado :
Lema 1.35 Sea f : R ! R una función de período 2p,continua, Dirichlet en [ p; p], y existe f 0
en casi todo punto y es Dirichlet en [ p; p] : Entonces los coe…cientes de Fourier de f y los de
f 0 se relacionan de la siguiente manera:
an;f 0 =
n
bn;f
p
y
bn;f 0 =
n
an;f
p
Demostración. La segunda igualdad fue probada en el desarrollo de (1.11), cuando estudiábamos
el orden de los coe…cientes. La otra se demuestra de manera absolutamente análoga (ejercicio).
Esta sencilla observación nos permite probar el siguiente teorema:
Series de Fourier
40
Teorema 1.36 Sea f : R ! R una función periódica de período 2p, continua, Dirichlet en
[ p; p], y tal que existe f 0 en casi todo punto y es Dirichlet en [ p; p]. Entonces la serie de
Fourier de f 0 se puede encontrar derivando término a término la serie de Fourier de f ; más
precisamente,
1
X
d
n t
n t
f0
an cos
+ bn sin
:
dt
p
p
n=1
donde fa0 ; an ; bn gn2N son los coe…cientes de Fourier de f .
Demostración. Primero, notar que
Z
1
a0;f 0 =
p
p
f 0 (t)dt =
p
1
(f (p)
p
f ( p)) = 0
(pues f es continua). Derivando término a término la serie de Fourier de f obtenemos
1
X
n=1
n an
p
sin
n t
p
+
n bn
cos
p
n t
p
,
y teniendo en cuenta el calculo anterior y el Lema 1.35, esta es la serie de Fourier de f 0 :
Notar que en la demostración anterior, no hemos apelado a ningún resultado de convergencia
que nos permita derivar término a término. Directamente lo hemos hecho, y luego constatamos
que el resultado obtenido es un objeto conocido (la serie de Fourier de f 0 ). En particular, eso
signi…ca que en nuestras hipótesis dicha serie converge para todo t.
La situación con respecto a integrar presenta la siguiente singularidad: si f es una función
periódica, no es cierto que una primitiva de f también lo sea, de hecho, ni siquiera es cierto que
f tenga primitivas periódicas.
Observación 1.37R 1. Si f : R!R es una función integrable de períodoR 2p, a 2 R, y de…np
t
imos F (t) = a f , entonces g es periódica de período 2p si y sólo si p f = 0, pues para
todo t 2 R vale
Z t+2p
Z t
Z t+2p
Z p
F (t + 2p) F (t) =
f
f=
f=
f.
0
0
t
p
Es decir, F es periódica si y sólo si a0;f = 0 (el coe…ciente de Fourier constate de f ).
2. En las condiciones del punto anterior, si h = f 21 a0;f entonces f y h tienen los mismos
coe…cientes de Fourier, salvo posiblemente por a0;h , que vale cero. Es decir,
a0;h = 0;
an;h = an;f ;
bn;h = bn;f
8 n 2 N.
Esto se deduce inmediatamente de (1.7).
Teorema 1.38 Sea f (t) una función periódica de período 2p; y Dirichlet en [ p; p], y denotemos fa0 ; an ; bn gn2N sus coe…cientes de Fourier. Entonces la integral de f se puede calcular
integrando término a término su serie de Fourier; más precisamente,
Z t
Z t
1 Z t
X
n x
a0
n x
dx +
an cos
+ bn sin
dx:
f (x) dx =
p
p
a
a 2
a
n=1
Series de Fourier
41
Rt
En particular, el miembro de la derecha es la serie de Fourier de la función F (t) = a f (x) dx,
cuando esta es periódica (sii a0 = 0 según la observación anterior).
Rt
Demostración. Primero supongamos que a0 = 0 y de…namos F (t) = 0 f (es decir, suponemos
a = 0). Entonces F es periódica de período 2p, continua, y F 0 = f en todos los puntos donde
f es continua (es decir, salvo …nitos puntos en ). Eso me dice además que F es Dirichlet en
[ p; p]: acotada pues es continua y periódica, y con una cantidad …nita de extremos locales en
[ p; p] ya que dichos extremos pueden estar en puntos donde F 0 no existe (…nitos en [ p; p]) o
donde f = 0; y estos últimos también son …nitos en [ p; p] ya que f es Dirichlet en [ p; p] (no
es intención poner tanto énfasis en este hecho tampoco). Con todo esto, el teorema anterior nos
dice que
p
p
an;F =
bn
y
bn;F =
an , n 2 N,
n
n
de donde podemos concluir (por el teorema de Dirichlet, 1.24) que
1
a0;F X
F (t) =
+
2
t
p
bn cos n
n
p
n=1
+
a
p
an sin
n
en particular la serie converge para todo t; y 0 = F (0) = 0;F
2
converge pues los coe…cientes bn son de orden 1=n). Es decir,
1
a0;F
p X bn
=
2
n
p
n t
p
P1
bn
n=1 n
,
(1.13)
(notar que esta serie
(1.14)
n=1
Por otro lado, si integramos término a término la serie de Fourier de f y usando (1.14) y
(1.13) en ese orden, obtenemos
1
1 Z t
X
X
n x
an p
n t
bn p
t
n x
+ bn sin
dx =
sin
cos n
1 =
an cos
p
p
n
p
n
p
0
n=1
1
X
n=1
=
n=1
an p
sin
n
n t
p
bn p
t
cos n
n
p
+
a0;F
=
2
= F (t) .
Si a0 6= 0, aplicamos lo hecho a la función h (t) = f (t) a20 , y utilizando la observación 1
concluimos que
Z t
1 Z t
X
a0
n x
n x
dx =
an cos
f (x)
+ bn sin
dx,
2
p
p
0
0
n=1
es decir
Z
0
t
1
X
a0
f (x) dx = t +
2
Por último, si a 6= 0, usar que
Z
t
an cos
n x
p
Z
Z
n=1 0
Z
a
t
f=
0
t
f
+ bn sin
n x
p
dx.
a
f,
0
y que lo hecho nos dice que esas dos integrales se pueden calcular término a término.
Series de Fourier
42
Ejemplo 1.39 Tomemos la función de período 2 tal que f (t) = t si t 2 [
; );
f(t)
¼
-3¼
-2¼
-¼
0
2¼
¼
3¼
-¼
entonces los coe…cientes de Fourier de f son
Z
1
an =
t cos (nt) dt = 0
8n
pues es la integral de una función impar en el intervalo [ ; ] ; y
Z
1
2
2
bn =
t sin (nt) dt =
cos (n ) = ( 1)n+1 :
n
n
Los coe…cientes son de orden 1=n por ser f discontinua, la serie de Fourier de f es
f
2
1
X
( 1)n+1
n=1
1
sin (nt) = 2 sin (t)
n
1
1
sin (2t) + sin (3t)
2
3
y converge a la función
g (t) =
f (t)
0
si (2n
1) < t < (2n + 1) para algún entero n
:
si t = (2n 1) para algún entero n
La función
h (t) =
es periódica de período 2p pues
Rp
Z
t
f (x) dx
0
pf
h (t) =
= 0, y para t 2 [
Z
0
t
f (x) dx =
Z
0
; ] vale
t
xdx =
t2
:
2
;
Series de Fourier
43
Además el teorema anterior nos dice que
Z
1
1
1
X
X
X
1
1 t
1
sin (nx) dx = 2
( 1)n 2 cos (nt) + 2
h (t) = 2
( 1)n+1
( 1)n+1 2 =
n 0
n
n
= 2
n=1
1
X
n=1
( 1)n+1
n=1
1
X
2
1
+
( 1)n 2 cos (nt) ;
2
n
n
n=1
n=1
de donde concluimos que esta última es la serie de Fourier de h; y por lo tanto
Z
Z
1
2
X
( 1)n+1
1
1
t2
2
=
h
(t)
dt
=
dt
=
;
n2
2
2
2
6
n=1
es decir, la serie de Fourier de h es
2
6
+
1
X
( 1)n
n=1
2
cos (nt) ;
n2
lo cual es coherente con nuestros conocimientos, pues esa es la serie de Fourier de una función
par, continua y con derivada discontinua.
Finalmente, si derivamos término a término la serie de f; obtenemos
2 [cos (t)
cos (2t) + cos (3t)
];
que diverge para todo t (notar, sin embargo, que f 0 es periódica (de período 2 ; pues es cierto
que f 0 (t) = f 0 (t + 2 )), es decir este es un caso donde la serie de Fourier de la derivada no
puede calcularse derivando la serie de f; y esto no contradice el teorema, porque el problema
está en que f no es continua.
1.8.
Expansiones de medio rango, efectos de la simetría
Hemos visto en algunos ejemplos, que cuando una función es par su serie de Fourier no tiene
senos, y cuando es impar no tiene cosenos; en está sección vamos a ver que efectos tienen algunas
simetrías en los coe…cientes de Fourier.
Lema 1.40 Si f es una función integrable de período 2p entonces sus coe…cientes de Fourier
quedan determinados de la siguiente manera:
1. Si f es par, entonces para todo n vale
Z
2 p
n t
f (t) cos
an =
p 0
p
dt
y
bn = 0:
2. Si f es impar, entonces para todo n vale
an = 0
y
2
bn =
p
Z
0
p
f (t) sin
n t
p
dt:
Series de Fourier
44
Demostración. Ejercicio muy simple.
La principal utilidad del lema anterior no es solo ahorrarse calcular algunos coe…cientes que
obviamente eran cero (y cuyo cálculo innecesario es una frecuente fuente de errores), sino que
nos permite, en algunas circunstancias, encontrar desarrollos de Fourier que contengas solo senos
o solo cosenos. El caso típico es el siguiente: supongamos que tenemos una función f de…nida
solo en el intervalo [0; p); y queremos lograr la igualdad
f (t) =
1
X
bn sin
n=1
n t
p
para todo t 2 [0; p); o para la mayor cantidad de t0 s posibles (por ejemplo difícilmente logremos
igualdad en los t0 s donde f es discontinua). Entonces hacemos lo siguiente: de…nimos f (t) =
f ( t) para t 2 ( p; 0) (recordar que comenzamos con f solamente de…nida en [0; p)), y así
extendida, f es impar en [ p; p); y ahora de…nimos f en todo R para que sea periódica de
período 2p; es decir ponemos f (t) = f (t + 2p) 8 t 2 R.
0
¡p
¡2p
¡3p
p
0
p
2p
3p
Así, hemos construido una función periódica de período 2p e impar, que coincide con mi función
original en el intervalo [0; p); por lo tanto su serie de Fourier tendrá solo senos, y si por ejemplo,
tenemos f continua en (0; p) ; habremos conseguido
f (t) =
1
X
bn sin
n=1
n t
p
8 t 2 (0; p) :
Además, notar que en realidad la extensión de f la hacemos virtualmente, es decir, no necesitamos calcular explícitamente cuanto vale f en todo t; porque para calcular los coe…cientes bn
necesitamos conocer f solo en el intervalo (0; p) ; según el lema anterior.
Ejemplo 1.41 Queremos encontrar una serie de Fourier que converge a la función f (t) = t2
en el intervalo (0; 1) y que contenga solo senos, entonces el razonamiento anterior nos dice que
debemos tomar
Z 1
( 1)n
4
( 1)n
2
bn = 2
t sin (n t) dt = 2
+4 3 3
;
3 3
n
n
n
0
y con eso nomás estamos seguros de que
t2 =
1
X
n=1
2
( 1)n
( 1)n
+4 3 3
n
n
4
n3 3
sin (n t)
8 t 2 (0; 1) :
Series de Fourier
45
1
1
0.5
-1
0.5
-0.5
0.5
1
-1
1
Lo que estamos haciendo, en el fondo, es calcular la serie de Fourier de la función de período
2 tal que
t2 si
1 t<0
f (t) =
:
2
t
si 0 t < 1
Exactamente de la misma manera procedemos si tenemos una función sólo de…nida en [0; p)
y queremos encontrar una serie de Fourier que contenga solo cosenos y que converge a f (para
la mayor cantidad posible de t0 s): en este caso deberíamos de…nir f (t) = f ( t) para t 2 [ p; 0)
(de forma que quede par en el intervalo [ p; p] ; y después extender f de período 2p a todo R:
0
p
¡2p
¡3p
¡p
0
p
2p
3p
De nuevo, esta función será periódica de período 2p y par, por lo que su serie de Fourier tendrá
solo cosenos, en particular si f es continua en (0; p) entonces tendremos
f (t) =
1
a0 X
+
an cos
2
n=1
con
n t
p
8 t 2 (0; p)
Z
2 p
n t
f (t) cos
dt;
an =
p 0
p
es decir que no necesitamos calcular explícitamente la extensión de f; pues para calcular los
coe…cientes solo necesito saber como es f en el intervalo [0; p)
Ejemplo 1.42 Si, como en el ejemplo anterior, queremos encontrar una serie de Fourier que
converge a f (t) = t2 para todo t 2 (0; 1) pero que contenga solo cosenos, tenemos que tomar
Z 1
Z 1
( 1)n
2
an = 2
t2 cos (n t) dt = 4 2 2 para n 1; y a0 = 2
t2 dt = ;
n
3
0
0
Series de Fourier
46
y con eso estamos seguros de que
1
1 X ( 1)n
t = +
4 2 2 cos (n t)
3
n
2
n=1
8 t 2 (0; 1) :
1
1
0.5
0.5
0.5
1
1
1
Notar, que a diferencia del ejemplo anterior, acá nos quedaron coe…cientes de orden 1=n2 , y esto
se debe a que la función extendida de forma par resulta continua con derivada discontinua en
R.
Una simetría muy usada es la “impar de media onda” o simetría T, que se de…ne así:
De…nición 1.43 Si f es una función de período 2p; diremos que f tiene simetría impar de
media onda (o simetría T) si
f (t) =
f (t + p)
8 t 2 R:
Notar que esta simetría depende del período de la función.
Una forma de ver que signi…ca grá…camente esto es la siguiente: si en la de…nición no estuviera
el signo ; estaríamos pidiendo que f tenga período p; por lo tanto una forma de detectar este
tipo de simetría es gra…car la función en el intervalo [ p; p); y luego re‡ejar con respecto al eje
t en el intervalo (0; p) : Si el resultado obtenido es la misma grá…ca que en el intervalo ( p; 0)
tendremos simetría T
¡p
¡p
0
¡3p
¡2p
3p
p
0
2p
Lema 1.44 Si f es una función de período 2p e integrable en [ p; p] y con simetría T, y
1
fan g1
n=0 ; fbn gn=1 son los coe…cientes de Fourier de f; entonces a0 = a2n = b2n = 0 para todo
n 1 (es decir, los coe…cientes con subíndice par son todos nulos).
Series de Fourier
47
Demostración. usando la simetría y haciendo el cambio de variables u = t + p tenemos que
a2n =
=
=
=
1
p
1
p
Z
Z
p
2n t
p
f (t) cos
p
0
[ f (t + p)] cos
p
Z
1 p
f (u) cos
p 0
Z p
1
f (u) cos
p 0
1
dt =
p
2n t
p
Z
0
2n t
p
f (t) cos
p
1
dt +
p
Z
p
1
dt +
p
2n t
p
f (t) cos
0
Z
p
2n t
p
f (t) cos
0
dt =
dt =
Z
2n (u p)
1 p
2n t
du +
f (t) cos
dt =
p
p 0
p
Z p
2n u
1
2n t
du +
f (t) cos
dt = 0:
p
p 0
p
De manera análoga se ve que los otros coe…cientes son cero.
Se puede ver que (en cierta medida) la recíproca del lema anterior es verdad: si los coe…cientes
de subíndice par son nulos, entonces f tiene simetría T pues (si por ejemplo, f es continua)
f (t + p) =
=
=
1
X
n=1
1
X
n=1
1
X
a2n
1 cos
a2n
1 cos
a2n
1(
(2n
1) (t + p)
p
(2n
1) t
p
1) cos
(2n
+ 2n
1) t
p
n=1
+ b2n
1 sin
+ b2n
+ b2n
1(
(2n
1 sin
1) sin
1) (t + p)
p
(2n
1) t
p
(2n
1) t
p
=
+ 2n
=
=
f (t) :
Para convertir esto en una demostración rigurosa habría que ver si toleramos en la de…nición de
simetría T que la igualdad valga en “casi todo punto” (expresión cuyo signi…cado se explica en
6;5).
Combinando esta simetría con paridad e imparidad, podemos en algunas ocasiones, ahorrarnos el cálculo de muchos coe…cientes de Fourier. Considerar por ejemplo la función de período
2 tal que f (t) = jtj 2 en el intervalo [ ; ] (ver Ejemplo 1.22): esta función es par y tiene
simetría T, por lo cual sabemos que sus coe…cientes de Fourier serán
a2n = 0
1.9.
8 n 2 N [ f0g ;
y
bn = 0
8 n.
Series armónicas de Fourier
Cuando tenemos una función real f , se suele escribir su serie de Fourier de otra manera, que
clari…ca la forma en que se usan las funciones trigonométricas para reconstruir f a partir de
coe…cientes. Esto no es más que aplicar un poco de álgebra: si f es periódica de período 2p y
Dirichlet en [ p; p] ; construimos su serie de Fourier
f
1
a0 X
+
an cos
2
n=1
n t
p
+ bn sin
n t
p
:
Series de Fourier
48
p
Llamemos An = a2n + b2n ; entonces como para cada n, An = 0 si y solo si an y bn son ambos
cero, podemos sacar de la serie los términos para los cuales An = 0; y queda
X
n t
n t
a0
+ bn sin
=
+
an cos
f
2
p
p
a0
+
2
=
n tq An 6=0
X
An
n tq An 6=0
an
An
Puesto que el número complejo
an
cos
An
n t
p
+
bn
sin
An
n t
p
+ i Abnn tiene módulo 1; existe un único
an
bn
+i
= cos (
An
An
n)
+ i sin (
:
n
2[
; ) tal que
n)
(es, casualmente, el argumento principal del número), y entonces la serie de Fourier de f queda
X
n t
n t
a0
+ sin ( n ) sin
=
f
+
An cos ( n ) cos
2
p
p
=
=
a0
+
2
n tq An 6=0
X
n tq An 6=0
An cos
a0 X
+
An cos
2
n=1
n t
p
n t
p
n
n
;
este último igual vale pues si agregamos los términos donde An = 0 en realidad no agregamos
nada (los ponemos para que la serie quede expresada más linda). Esa última serie se llama la
serie armónica de cosenos de f; el n-ésimo armónico de f es cos np t
n ; la amplitud
de tal armónico es An ; y n es el ángulo de fase:
Esta forma de escribir la serie de Fourier de una función es muy usada porque permite “leer”
datos de la función directamente: nos dice que f “se puede expresar” superponiendo onditas:
la de menor frecuencia se llama el armónico fundamental, y todas las siguientes tienen por
frecuencia un múltiplo entero de la frecuencia fundamental, An nos dice “cuánto” hay del nésimo armónico, y el ángulo n nos indica cuándo el n-ésimo armónico alcanza su máximo: si es
positivo el armónico está en retraso, y si es negativo está en adelanto.
Nota 1.45 Por supuesto que la forma en que escribamos la serie de Fourier no
biar los hechos: los teoremas de convergencia siguen siendo los mismos (hay que
cuidado), pero todo tiene traducción obvia. Además notar que la energía espectral
P
a2
2
k
p 20 + 1
n=1 An ; y fAn gn2N es de orden 1=n si y solo si ambos coe…cientes
va a camleerlos con
pasa a ser
fan gn2N y
fbn gn2N son de orden 1=nk : Por último, notar que si conocemos la serie armónica de cosenos de
una función, entonces procediendo al revés de como hicimos recién podemos construir la serie
de Fourier de f .
Nota 1.46 (otra) Podemos usar senos en lugar de cosenos y construir la serie armónica de
senos. Nosotros que ya tenemos construida la de cosenos seguimos desde esa: con la misma
notación, llamemos n = n
=2; entonces (puesto que cos (t) = sin t + 2 )
cos
n t
p
n
= sin
n t
p
n
+
2
= sin
n t
p
n
,
Series de Fourier
49
por lo que la serie de f queda
f
1
a0 X
+
An sin
2
n=1
n t
p
n
;
que es la serie armónica de senos de f .
1.10.
Separación de variables, ecuación del calor
Queremos resolver el siguiente problema de condiciones iniciales: dados a un número real y
h (x) una función de…nida en el intervalo [0; p] con h (0) = h (p) = 0; queremos encontrar una
función u (x; t) de…nida en [0; p] [0; 1) tal que cumpla
ii)
@
@2
u (x; t) = u (x; t)
@x2
@t
u (0; t) = u (p; t) = 0
iii)
u (x; 0) = h (x)
i)
a2
(1.15)
8 x 2 [0; p]
La ecuación (1.15i) se llama ecuación del calor, y el sistema (1.15) es un modelo matemático
de la siguiente situación: imaginemos que tenemos un alambre delgado de longitud p con los
extremos a cero grado, y además que el único traspaso de calor es a lo largo del alambre, de
forma tal que los extremos están siempre a cero grado. Podemos imaginar el alambre como el
segmento de recta [0; p] : Supongamos además que la temperatura en el instante t = 0 en el
punto x es h (x) ; entonces la función u (x; t) que da la temperatura en cada punto x del alambre
en cada instante t
0 debe satisfacer (1.15), donde a2 es una constante que depende de la
conductividad del alambre.
El método estándar para resolver el sistema (1.15) es el de separación de variables: después
de mucho buscar soluciones de la ecuación (1.15i) y de no encontrarlas (el lector descon…ado
debería tratar de encontrar una solución sin seguir leyendo), y ya sin nada que perder, se nos
ocurre buscar soluciones que sean de la forma
u (x; t) = H (x) G (t) ;
es decir, nos preguntamos cómo será una función que sea un producto como arriba y que
además cumpla (1.15i). Derivando obtenemos
@
@
u (x; t) =
H (x) G (t) = H 0 (x) G (t) ;
@x
@x
@2
H (x) G (t) = H 00 (x) G (t) ;
@x2
y
@
H (x) G (t) = H (x) G0 (t) ;
@t
por lo que la ecuación (1.15i) queda
a2 H 00 (x) G (t) = H (x) G0 (t) ;
Series de Fourier
50
o lo que es lo mismo,
a2
G0 (t)
H 00 (x)
=
H (x)
G (t)
8 (x; t) 2 (0; p)
(0; 1)
(1.16)
Como el miembro de la izquierda de (1.16) depende solo de x; y el de la derecha depende solo
de t; concluimos que deben ser constantes (si, por ejemplo, G0 (t0 ) =G (t0 ) 6= G0 (t1 ) =G (t1 ) para
t0 6= t1 ; no podría valer (1.16) pues en la izquierda tengo un valor …jo, salvo que mueva x).
Entonces, existe algún valor (del cual no conocemos nada) tal que
a2
H 00 (x)
G0 (t)
=
=
H (x)
G (t)
8 (x; t) 2 (0; p)
(0; 1) ;
es decir,
a2 H 00 (x) = H (x)
8 x 2 (0; p) ;
(1.17)
y
G0 (t) = G (t)
8 t 2 (0; 1) ;
(1.18)
que son ecuaciones que sabemos resolver. Las condiciones (1.15ii) y (1.15iii) se transforman en
i)
H (0) = H (p) = 0;
ii)
H (x) G (0) = h (x)
y
(1.19)
respectivamente (nota: en este punto es un error muy grosero pensar que se podría tomar
1
H (x) = G(0)
h (x)). Comencemos con (1.17): puesto que el polinomio P (x) = x2
tiene
a2
p
2
raíces
=a (pensamos a > 0; esto no saca generalidad pues hemos puesto a porque la
constate de conductividad es positiva), (1.17) tiene solución
H (x) =
8
<
:
ex
cos x
p
p
p
=a
+ e x =a
+x
p
=a + sin x
=a
si
si
si
>0
=0
<0
donde y son constantes reales. Veamos
p si alguna de
p estas soluciones nos sirve, comenzando
con (38i): si > 0 entonces H (x) = ex =a + e x =a , y H (0) = + = 0 () =
;
p
p
p
p
p
x
=a
x
=a
p
=a
p
=a
entonces H (x) = e
e
; y H (p) = e
e
= 2 sinh p =a =
p
0 () = 0 (pues p
> 0), con lo que nos quedaría H (x) = 0 8 x; y por lo tanto esta solución
no nos sirve (nos diría que u (x; t) = 0 8 (x; t) así que no podríamos lograr (1.15iii) para ninguna
temperatura inicial distinta de cero).
De manera análoga se descarta la posibilidad = 0; porque si H (x) = + x ; la única
forma de poder cumplir
=
= 0: Analicemos entonces < 0: en tal caso
p (1.19i) es con p
sería H (x) = pcos x
=a + sin x p =a , y H (0) = p = 0 ()
= 0; entonces
Hp(x) = sin x
=a ; y H (p) = sin p
=a = 0 () p
=a = n ; con n 2 N (pues
p
=a > 0) con lo que nos quedaría
=
an
p
2
Series de Fourier
51
(es decir, esos son los únicos valores de
que pueden llegar a ser útiles), y
H (x) =
n x
p
sin
:
Recapitulemos lo hecho hasta ahora: proponemos un producto H (x) G (t) como solución de
(1.15i) y vemos que entonces que se deben cumplir las ecuaciones (1.17) y (1.18), donde es
un valor real desconocido. Al resolver (1.17) y teniendo en cuenta que H debe cumplir (1.19i),
concluimos que los únicos valores que puede tomar son
uno de esos valores tenemos una solución de (1.17), que es
Hn (x) =
con
n una constante real.
Seguimos: para cada uno de los
n
n
n x
p
n sin
=
an
p
2
; n 2 N; y para cada
;
aceptables, (1.18) tiene solución
Gn (t) =
ne
nt
=
2
an p
ne
t
;
donde n es una constante real, así que terminando, concluimos que si tenemos una solución de
(1.15i) y (1.15ii) de la forma H (x) G (t) ; entonces u (x; t) debe ser alguna de
un (x; t) = Hn (x) Gn (t) =
n sin
n x
p
ne
2
an p
t
= cn sin
n x
p
e
an p
2
t
;
donde n 2 N y cn es una constante real. Pero derivando y chequeando directamente se ve que
cada un es efectivamente solución de (1.15i) y (1.15ii), con lo que tenemos el siguiente lemita:
Lemita: u (x; t) = H (x) G (t) es solución de (1.15i) y (1.15ii) si y solo si existe n 2 N y
cn 2 R tales que u (x; t) es
2
n x
an p t
cn sin
:
e
p
Volvamos a (1.15): nos falta agregar la condición (1.15iii), y para eso vamos a notar lo
siguiente: si fuera
9 x
h (x) = 34 sin
;
p
entonces la función
34 sin
9 x
p
9a p
e
2
t
es solución de (1.15) (pues sabemos que es solución de (1.15i) y (1.15ii), y justo al poner t = 0
nos queda h (x)): En general (para cada n 2 N …jo), un (x; 0) = cn sin np x ; y por lo tanto
un (x; t) es solución de
8
@
2 @2
>
>
< i) a @x2 u (x; t) = @t u (x; t)
ii) u (0; t) = u (p; t) = 0
>
>
: iii) u (x; 0) = cn sin n x
8 x 2 [0; p]
p
Series de Fourier
52
Pero además nos damos cuenta del siguiente hecho: si u (x; t) y v (x; t) son ambas soluciones
de (1.15i) y (1.15ii) entonces
u (x; t) + v (x; t)
también es solución de (1.15i) y (1.15ii) (ejercicio, veri…carlo, esto es gracias a que en (1.15ii)
se pide que sea igual a cero y no otra constante), por lo tanto podemos construir soluciones de
(1.15i) y (1.15ii) sumado las soluciones un que construimos hace un rato. Y así, si nos dan
h (x) = 34 sin
9 x
p
34 x
p
+ 9 sin
+ 349 sin
934 x
p
;
entonces la función
34 sin
9 x
p
e
a9
p
2
t
+ 9 sin
34 x
p
2
a34
p
e
t
+ 349 sin
934 x
p
e
a934
p
2
t
es solución de (1.15) (pues sabemos que es solución de (1.15i) y (1.15ii), y justo al poner t = 0
PN
P
n x
nos queda h (x)). En general, N
, y por lo tanto la función
n=0 cn sin
n=0 un (x; 0) =
p
PN
n=0 un (x; t) es solución de
8
@
2 @2
>
> i) a @x2 u (x; t) = @t u (x; t)
<
ii) u (0; t) = u (p; t) = 0
>
P
>
: iii) u (x; 0) = N cn sin n x
8 x 2 [0; p]
n=0
p
es decir, hemos resuelto (1.15) para el caso particular donde h (x) es de la forma
h (x) =
N
X
n x
p
cn sin
n=1
,
(1.20)
y la solución es
N
X
cn sin
n=1
n x
p
2
an
p
e
t
.
(1.21)
Pero al ver esto nos damos cuenta del siguiente hecho: h (0) = h (p) = 0; así que si extiendo
h al intervalo [ p; p] de forma que sea impar y luego periódica de período 2p; entonces la serie
de Fourier de h converge a h; es decir, podemos poner
h (x) =
1
X
Bn;h sin
n=1
n x
p
8 x 2 [0; p]
donde fBn;h gn2N son los coe…cientes del desarrollo de senos de Fourier de h (comparar con
(1.21)). Así, si en lugar de considerar una suma …nita como en (1.21) consideramos la serie de
las un y elegimos cn = Bn;h , entonces la función
1
X
n=1
Bn;h sin
n x
p
e
an
p
2
t
Series de Fourier
53
satisface (1.15iii), y es obvio que satisface (1.15ii), pero el problema es que no sabemos que
cumpla (1.15i) porque no es una suma …nita. Pero para terminar, si supiéramos que podemos
derivar dentro de la serie (respecto de x dos veces y respecto de t una ves) listo, porque quedaría
a2
1
1
1
2 X
X
@2u
@ 2 un X 2 @ 2 un
2 @
2
=
a
=
u
=
a
a
n
@x2
@x2
@x2
@x2
n=1
n=1
n=1
Se ve en el práctico que si existe M tal que jan j
hemos probado el siguiente teorema:
c/un cumple (1.15) 1
X
#
=
n=1
@un
@u
=
:
@t
@t
M 8 n; entonces se puede, por lo tanto
Teorema 1.47 Si h (x) es una función Dirichlet en [0; p] con h (0) = h (p) = 0 y fBn;h gn2N
son los coe…cientes de Fourier de la serie de senos de h (i.e. extender h impar al [ p; p]),
entonces la función
1
2
X
an
n x
t
p
e
Bn;h sin
p
n=1
está de…nida en [0; p]
[0; 1) y es solución de (1.15):
Nota importante 1.48 Ninguna de las funciones un (x; t) consideradas en el desarrollo anterior es solución de (1.15), salvo que h (x) sea de la forma cn sin np x .
Ejemplo 1.49 Queremos encontrar una función u (x; t) de…nida en [0; 2]
[0; 1) y que cumpla
@2
@
u (x; t) = u (x; t)
2
@x
@t
u (0; t) = u (2; t) = 0
i)
4
ii)
iii)
u (x; 0) = h (x)
8 x 2 [0; 2]
si 0 x < 1
. Para eso, lo primero que tenemos que hacer, según el
2 x si 1 x 2
teorema anterior, es encontrar la serie de Fourier de senos de h: Tenemos
Z 2
Z 1
Z 2
n x
n x
n x
Bn;h =
h (x) sin
x sin
(2 x) sin
dx =
dx +
dx =
2
2
2
0
0
1
2 h
n
n i
2 h
n
n i
=
2 sin
+ n cos
+ 2 2 n cos
+ 2 sin
=
n2 2
2
2
n
2
2
8
n
=
sin
:
2
2
n
2
donde h (x) =
x
Entonces, inmediatamente y sin más trámites, el teorema anterior nos dice que
u (x; t) =
1
X
n=1
=
8
n2 2
sin
n
2
sin
1
8 X ( 1)n+1
sin
2
(2n 1)2
n=1
n x
e
2
(2n
(n )2 t
1) x
2
e
(2n 1)2
2t
:
Series de Fourier
54
z
1
0.5
1
2
x
1.11.
2
3
1
y
Ecuación de Ondas
Una vez entendido por completo el razonamiento hecho para resolver la ecuación del calor,
nos metemos con la de ondas, pero más rápido.
El problema es más o menos así: si …jamos los extremos de una cuerda de longitud p, y le
damos posición inicial y velocidad inicial a cada punto de la cuerda, entonces la función y (x; t)
que da la posición de cada punto x de la cuerda en el instante t > 0 debe cumplir la ecuación
a2
@2y
@2y
=
;
@x2
@t2
donde estamos pensando a la cuerda como el segmento [0; p]. Entonces, el problema de condiciones iniciales queda así: encontrar una función y (x; t) que satisfaga
i)
ii)
iii)
iv)
@2
@2
y
(x;
t)
=
y (x; t)
@x2
@t2
y (0; t) = y (p; t) = 0 (cuerda …ja en los extremos)
a2
(1.22)
y (x; 0) = f (x) 8 x 2 [0; p] (posición inicial de cada punto)
@y
(x; 0) = g (x) 8 x 2 [0; p] (velocidad inicial de cada punto)
@t
Proponemos y (x; t) = H (x) G (t) ; y derivando comprobamos que (1.22i) se transforman en
G00 (t)
H 00 (x)
= 2
H (x)
a G (t)
Entonces, existe algún valor
8 (x; t) 2 (0; p)
(0; 1)
(del cual no conocemos nada) tal que
H 00 (x)
G00 (t)
= 2
=
H (x)
a G (t)
8 (x; t) 2 (0; p)
(0; 1) ;
es decir,
H 00 (x) = H (x)
8 x 2 (0; p) ;
(1.23)
Series de Fourier
55
y
00
G (t) = a2 G (t)
8 t 2 (0; 1) ;
(1.24)
que son ecuaciones que sabemos resolver. Además la condición (1.22ii) se transforma en
H (0) = H (p) = 0:
(1.25)
La ecuación (1.23) tiene solución
p
p
8
ex + e x
<
H (x) =
+x
p
p
:
cos x
+ sin x
donde
y
>0
=0
<0
son constantes reales, y cuando le imponemos (1.25) resulta que debe ser
< 0) y
2
n
p
=
(es decir,
si
si
si
;
n 2 N;
= 0; y entonces para cada natural n tengo una solución
Hn (x) =
n x
p
n sin
:
La correspondiente Gn (t) se obtiene resolviendo (1.24) para cada
n
an t
p
;
Gn (t) =
an t
p
n cos
+
n sin
=
n
p
2
; y queda
donde n y n son constantes reales. Multiplicando y uni…cando las constantes nos queda, en …n,
que para cada natural n tenemos una solución de (1.22i y ii)
n x
p
yn (x; t) = sin
cn cos
an t
p
+ dn sin
an t
p
;
donde cn y dn son constantes reales.
De nuevo, observamos que si u y v son solución de (1.22i y ii) entonces u + v también lo es,
lo cual nos lleva a suponer que, bajo condiciones adecuadas de convergencia, la función
y (x; t) =
1
X
sin
n=1
n x
p
an t
p
cn cos
+ dn sin
an t
p
será solución de (1.22i y ii) ((1.22ii) es inmediato, y para (1.22i) lo que necesitamos es poder
derivar término a término dos veces respecto de x y dos veces respecto de t).
La condición (1.22iii) en esta función queda
y (x; 0) =
1
X
n x
p
cn sin
n=1
= f (x)
8 x 2 [0; p] ;
y esta igualdad se consigue eligiendo
2
cn =
p
Z
0
p
f (t) sin
n t
p
dt;
Series de Fourier
56
o sea escribiendo f como un desarrollo de senos (y suponiendo que la extensión impar de f sea
continua). Por último, (suponiendo que pueda derivar término a término)
@y
y (x; t) =
@t
1
@y X
sin
@t
n x
p
n=1
1
X
n x
p
sin
n=1
cn cos
an t
p
an
sin
p
cn
+ dn sin
an t
p
+ dn
an t
p
an
cos
p
=
an t
p
;
por lo que la condición (1.22iv) queda
1
X
dn
n=1
an
p
sin
n x
p
= g (x)
8 x 2 [0; p]
y esta igualdad se consigue eligiendo
an
2
dn
=
p
p
Z
p
g (t) sin
0
n t
p
dt;
o sea escribiendo g como un desarrollo de senos (y suponiendo que la extensión impar de f sea
continua), es decir, debemos poner
Z p
2
n t
dn =
g (t) sin
dt:
an 0
p
Completando los detalles técnicos (que está en el práctico), queda probado el siguiente:
Teorema 1.50 Si f (x) y g (x) son dos funciones de…nidas en [0; p] tales que: f (0) = f (p) =
g (0) = g (p) = 0; la extensión impar de f tiene derivada segunda continua, y la extensión impar
de g tiene derivada continua. Entonces de…niendo
Z
Z p
2 p
n t
2
n t
cn =
f (t) sin
dt
y
dn =
g (t) sin
dt;
p 0
p
an 0
p
resulta que la función
y (x; t) =
1
X
n=1
sin
n x
p
cn cos
an t
p
es solución del problema de condiciones iniciales (1.22).
+ dn sin
an t
p