Aplicación de la serie de Fourier a la resolución de un circuito

3. Aplicación de la serie de Fourier a la resolución de un
cicuito eléctrico
A un circuito serie RL de parámetros R = 1 Ω, L = 0.01/π H, se le ha aplicado la tensión de salida de un rectificador de media onda. Si
el valor máximo de la tensión rectificada es 10 V y la frecuencia 50 Hz, Calcular la corriente que circula por el circuito, en régimen
permanente.
v(t)
En primer lugar es necesario descomponer la tensión del generador según la
serie trigonométrica de Fourier. La función para la forma de onda de la figura
queda definida de la siguiente forma:
La función es:
v( t ) = 10 sen ω1t

v( t ) = 0
con un periodo:
1
1
T= =
= 0.02 s
f 50
y una pulsación:
ω1 =
10
0 < ωt < π
π < ωt < 2π
para
para
2π
= 2πf = 2π 50 = 100π
T
rad
π
0
ωt
2π
s
Los coeficientes de Fourier son:
T
a0 =
1
10
f (t )dt =
π
T ∫0
an =
2
20
f (t ) cos nω1tdt =
T ∫0
π (1 − n 2 )
bn =
2
f (t ) sen nω1tdt = 0
T ∫0
T
para
n = par
para
n ≠1
T
Representación de los 5 primeros términos de la serie de v(t).
b1 = 5
Los coeficientes son cada vez más pequeños con forme aumenta n, por tanto tomando un número reducido de ellos no se cometerá
mucho error.
n
an
bn
0
10
π
1
---
5
0
2
20
−
3π
0
3
0
4
20
−
15π
0
0
5
0
0
6
20
−
35π
0
Tomando cinco términos para la serie, la tensión del generador es:
v (t ) =
10
20
20
20
cos 200πt −
cos 400πt −
cos 600πt + !! V
+ 5 sen 100πt −
3π
15π
35π
π
Forma de onda para v(t) con los 5 primeros términos de la serie.
Forma de onda para i(t) con los 5 primeros términos de la serie.
y la corriente en el circuito es:
n
0
Z n = 1 + n 2 arctg n
1
Vn
In =
Vn
Zn
i (t ) =
10
π
10
π
1
2 45º
2
4
10 7157
. º
17 75.96º
20
0º
3π
0
20
. º
− 6313
3 5π
0
−
5 0º
5
− 45º
2
3
5 6343
. º
−
20
0º
15π
20
−
− 75.96º
15 17π
−
5
26 78.69º
0
0
6
37 80.54º
20
0º
35π
20
−
− 80.54º
35 37π
−
10 5
4 5
20 17
20 37
sen(100πt − 45º ) −
cos(200πt − 63.4 º ) −
cos(400πt − 75.96º ) −
cos(600πt − 80.5º ) + !! A
+
1295π
3π
255π
π
2
El término correspondiente a n=1 es de una función seno (términos de bn), mientras que el resto corresponden a funciones coseno
(términos de an).