Fundamentos de Espectroscopia.
Resolución de la tarea 7/02/12
1.-Movimiento circular uniforme (MCU).
En un círculo de radio r con un movimiento constante, la tasa de cambio en el
movimiento es proporcional al cambio en un ángulo (θ) en función del tiempo.
Para el caso en donde un punto se mueve a través de la circunferencia, podemos
plantear lo siguiente:
La variación de la posición
puede ser descrita con la
velocidad angular. Que se
representa como
vang =ω = dθ/dt (Ec.1).
θ
En la gráfica se muestra un círculo con un MCU en el sentido contrario a las
manecillas del reloj, la posición de cualquier punto de la circunferencia se puede
proyectar como rcos(θ), en donde r representa el radio del círculo.
Y como cualquier punto del círculo está restringido a un movimiento periódico que
se representa como 2πn para n=1, 2, 3, ..,n. Cada valor 2π el punto vuelve a asumir
los mismos valores iniciales.
El periodo, representa el tiempo que tarda un punto en recorrer un arco igual a 2π,
así al integrar la ecuación ω=dθ/dt entre 2π y 0, nos da la relación 2π=ωT, por lo
tanto el periodo es igual a T=2π/ω
De la misma manera al integrar la ecuación 1, desde t a t0 se obtiene que θ=ωt. Si
el origen de la coordenada se toma en un tiempo t0, donde θ=0 no estaría en t0=0.
Entonces la integración hubiera dado: θ=ω(t-t0)=ωt-ωt0. Así para un ángulo ωt0
distinto de cero, se dice que existe un ángulo de fase φ=ωt0.
Como conclusión, podemos representar un sistema físico con un movimiento circular
uniforme como y(t)=rcos(ωt+φ), donde ω es una frecuencia angular 2πν ó 2π/T, el
tiempo es una variable y φ es el valor ωt0.
2.-Ecuaciones de posición, velocidad y aceleración para el oscilador armónico
simple.
Para una partícula que oscila armónicamente en el tiempo cero en el máximo de su
amplitud, su función de posición se puede representar como x(t) = Acos(ωt).
Las funciones de velocidad y aceleración son:
v(t) = dx/dt = -Aωsen(ωt)
a(t) = d2x/dt2 = -Aω2cos(ωt)
En la gráfica se observan las funciones de posición, velocidad y aceleración, para
un oscilador armónico simple. En donde las amplitudes máximas corresponden a A, Aω
y Aω2, respectivamente.
NOTA: En la escala de la derecha de la gráfica cada escala equivale a 5 unidades.
3.-Determinar la amplitud de la función x(t)=Acos(ωt+φ) para el caso cuando se
conoce su equivalencia Bcos(ωt) + Csen(ωt)
El termino Acos(ωt+φ) se puede descomponer en para el
caso cuando φ es distinta de 0. Esto quiere decir que
el seno de tiene su propia proyección, entonces:
Acos(ω t+φ)= Bcos(ωt)+Csen(ωt)
donde B=Asen(φ) y C=Acos(φ), entonces una manera
simple de llegar al resultado es por el teorema de
Pitágoras. Apoyándose en el figura que se presenta
para este problema
A2 = A2sen2(φ) + A2cos2(φ) = B2+C2
A = (B2+C2)1/2
Otra manera de demostrarlo es por un ejemplo típico de un caso interferencia,
donde las amplitudes y las frecuencias cambian.
A1cos(ωt-φ 1) + A2cos(ωt-φ 2)
A1[cos(ωt)cos(φ 1) + sen(ωt)sen(φ 1)] + A2[cos(ωt)cos(φ 2) + sen(ωt)sen(φ 2)]
[A1cos(φ 1) + A2cos(φ 2)]cos(ωt) + [A1sen(φ 1) + A2sen(φ 2)]sen(ωt)
Si ahora definimos nuevas constantes B y ψ por medio del siguiente sistema de dos
ecuaciones no lineales con dos incógnitas, entonces nos da:
A1cos(φ 1) + A2cos(φ 2) = Bcosψ
A1sen(φ 1) + A2sen(φ 2) = Bsenψ
Este sistema puede resolverse fácilmente, elevando al cuadrado y sumando de ambos
lados para obtener B o dividiendo para obtener ψ.
B = [(A1cos(φ 1) + A2cos(φ 2)) + (A1sen(φ 1) + A2sen(φ 2))]1/2
ψ=arctan[(A1sen(φ 1) + A2sen(φ 2))/(A1cos(φ 1) + A2cos(φ 2))]
En este ejemplo se describe una equivalencia con una función que tiene una nueva
amplitud y una nueva fase.
4.-Conservación de la Energía en el oscilador armónico simple.
El oscilador armónico es un sistema conservativo, que es invariante en amplitud,
frecuencia y fase. Mientras no sea perturbado en el tiempo. La energía del
oscilador armónico es E=K+U en donde K se refiere a la energía cinética y V a la
energía potencial.
La energía cinética es igual a K=1/2mv2 y la energía potencial es U=1/2kx2. La
energía total es:
E
E
E
E
E
=
=
=
=
=
1/2mv2 + 1/2kx2
1/2m(A2ω2sen2(ωt+φ)) + 1/2k(A2cos2(ωt+φ))
1/2m(k/m)(A2sen2(ωt+φ)) + 1/2k(A2cos2(ωt+φ))
1/2kA2 (sen2(ωt+φ) + cos2(ωt+φ))
1/2kA2
Para las amplitudes máximas la energía cinética es cero, porque la velocidad es
cero, por lo que la energía potencial tiene el valor 1/2kA2. En la posición de
equilibrio x = 0 la energía potencial es cero, pero la energía cinética es 1/2kA2.
En la gráfica anterior se muestra la variación de la energía cinética (K) y
potencial (U). En un ejemplo con una amplitud de 5 unidades y una constante del
resorte de 1. La energía total E = kA2 = 25
0
