Ideas básicas

FÍSICA 2º BACHILLERATO
Juan Jesús Pascual
EL OSCILADOR ARMÓNICO. TEORÍA
1. Introducción.
El estudio de este sistema físico, llamado oscilador armónico, supone el punto de
partida para el entendimiento de un gran número de fenómenos que se dan en la
naturaleza. Situaciones tan dispares como son el comportamiento de un muelle, el
balanceo de un niño que se columpia, las rotaciones de las manecillas de un reloj, el
movimiento de partículas perturbadas por ondas… se pueden entender bajo el
estudio del oscilador armónico.
2. Cinemática de un cuerpo que se mueve con un movimiento armónico simple.
La cinemática es el estudio de posición, la velocidad y la aceleración de un cuerpo
sometido a cualquier tipo de movimiento.
a) La posición de un cuerpo que se mueve con un m.a.s. está dada por una
función trigonométrica seno o coseno o ambas conjuntamente. Nosotros
emplearemos la siguiente:
x ( t ) = A cos ( ωt + φ )
[1]
b) La velocidad de un cuerpo que se mueve con un m.a.s. es la derivada de la
posición respecto del tiempo:
v (t) =
dx ( t ) d
= ( A cos ( ωt + φ ) ) = v ( t ) = −Aω sen ( ωt + φ )
dt
dt
[2]
Podemos expresar la velocidad no en función del tiempo, v ( t ) , sino en función
de la posición, v ( x ) , del siguiente modo, recordando la relación trigonométrica
fundamental
cos2 β + sen2β = 1.
Procedemos:
{
}
v ( t ) = −Aω sen ( ωt + φ ) = −Aω ± 1 − cos 2 ( ωt + φ ) 
[3]
1
2
1
= ∓ ω A 2 − A 2 cos 2 ( ωt + φ )  2
Ahora tenemos en cuenta [1] para escribir [3] como sigue:
1
1
v ( t ) = ∓ ω A 2 − x 2 ( t )  2 ⇒ v ( x ) = ± ω A 2 − x 2  2
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[4]
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El oscilador armónico
c) La aceleración de un cuerpo que se mueve con un m.a.s. es la derivada,
respecto del tiempo, de la velocidad:
a (t) =
dv ( t ) d
= ( −Aω sen ( ωt + φ ) ) ⇒ a ( t ) = −Aω 2 cos ( ωt + φ )
dt
dt
[5]
Esta ecuación se puede escribir de un modo más compacto:
Observamos que en [3] aparece A cos ( ωt + φ ) . Pero eso es x, así que:
a ( x ) = −ω 2 x
[6]
3. Magnitudes asociadas al movimiento de un oscilador armónico.
Observando la ecuación de la posición de un m.a.s. nos encontramos con una
serie de magnitudes:
x, la elongación.
Es la distancia entre la posición de equilibrio del móvil y el lugar donde se
encuentra en un instante t. Se mide en m.
A, la amplitud.
Es la máxima separación del móvil respecto la posición de equilibrio. Se mide
en m.
ω, la pulsación o velocidad angular.
Son las vueltas, expresadas en radianes, por unidad de tiempo. Se mide en
rad/s.
φ, el desfase.
Es la posición angular del móvil en el instante inicial, t=0. Se mide en radianes,
rad.
(ωt+ φ), la fase.
Nos indica la posición angular del móvil en cualquier instante.
Por otro lado, ω está relacionada con otras dos magnitudes interesantes: la
frecuencia, f, y el periodo, T, tales que:
ω=
2̟
T
[7]
T=
1
f
[8]
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El oscilador armónico.
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4. Dinámica de un oscilador armónico. Ley de Hooke.
Sea m la masa del cuerpo que describe un movimiento armónico simple. Si
aplicamos la segunda ley de Newton, F = ma , al caso del oscilador armónico,
tenemos lo siguiente:
F = ma 
⇒ F = m ( −ω 2 x ) ⇒ F = −kx
2 
a = −ω x 
[9]
en donde se ha tenido en cuenta:
k = mω 2
[10]
La expresión F = −kx se conoce como Ley de Hooke.
5. Energía de un oscilador armónico
Energía cinética:
La energía cinética, en general, viene dada por:
Ec =
1
mv 2
2
[11]
Sustituyendo en [9] sendas expresiones de la velocidad, v ( t ) y v ( x )
podemos deducir Ec (t) y Ec (x) :
5.1.1. Energía cinética en función del tiempo, Ec (t) :
En un oscilador, la velocidad en función del tiempo está dada por [2].
Entonces, sustituyendo esto en [9], obtenemos Ec (t) :
2
1
1
mv 2 = m (-Aω sen (ωt + φ)) ⇒
2
2
1
⇒ E c (t) = mA 2 ω 2 sen 2 (ωt + φ)
2
Ec (t) =
[12]
En el siguiente punto vamos a usar v (x) en vez de v (t) .
5.1.2. Energía cinética en función de la posición, Ec (x) :
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E c ( x) =
El oscilador armónico

1
1 
1
mv 2 ( x) = m ±ω A 2 − x   ⇒ E c (x) = mω 2 A 2 − x 2  =

2
2 
2
= E c ( x) =
1
2 2
2
1  2
k A − x 2 
2
k = mω 2
[13]
La energía cinética es máxima cuando la partícula está en su punto de
equilibrio, es decir, en x = 0 .
Energía potencial:
La energía potencial viene expresada, en su forma general, por:
E p = −∫ Fdx
[14]
En el caso concreto del oscilador armónico, recordando que la fuerza está
dada por [7], tenemos:
E p = −∫ −kxdx = k ∫ xdx ⇒ E p =
1 2
kx
2
[15]
La energía potencial es máxima cuando la elongación es máxima, es decir,
cuando coincide con la amplitud, x = A .
Energía mecánica:
La energía mecánica E m es la suma de la energía cinética, E c y potencial,
Ep :
Em = Ec + Ep =
1  2
1
1
k A − x 2  + kx 2 ⇒ E m = kA 2
2
2
2
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