Respuesta de un oscilador armónico a un golpe (reintentado).
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RESPUESTA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO A UN GOLPE. Al igual que para una partícula libre sometida a un golpe, vamos a aplicar una fuerza durante un intervalo de tiempo τ (un pulso), y luego haremos el límite τ → 0. Para las condiciones iniciales: 𝑥 0 = 0, 𝑥 0 = 0 Resolvemos la ecuación del oscilador armónico sometida a una fuerza constante: 𝑚𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝐹! Al ser una EDO inhomogénea la solución general será la combinación lineal de la solución de la homogénea y una solución particular de la no homogénea. La solución general de la será, por tanto: 𝑥 𝑡 = 𝐶! cos 𝜔! 𝑡 + 𝐶! sin 𝜔! 𝑡 + 𝐹! 𝑘 ; 𝜔!! = 𝑘 𝑚 Particularizando la solución a nuestras condiciones iniciales: 𝐹! 1 − cos 𝜔! 𝑡 𝑘 𝐹! 𝑥 𝑡 = 𝜔! sin (𝜔! 𝑡) 𝑘 𝑥 𝑡 = Para t=τ : 𝐹! 1 − cos 𝜔! 𝜏 𝑘 𝐹! 𝑥 𝜏 = 𝜔! sin (𝜔! 𝜏) 𝑘 𝑥 𝜏 = En el límite τ → 0 , tanto la posición como la velocidad tienden a cero, lo cual no es posible (pues entonces no se movería el oscilador al aplicarle un pulso). Sin embargo, en este límite podemos aproximar las partes armónicas de la solución mediante un polinomio de Taylor. 𝜏 ! 𝜔!! cos 𝜔! 𝜏 ≈ 1 − 2 sin 𝜔! 𝜏 ≈ 𝜔! 𝜏 Con lo que nuestra solución se convierte en: 𝑥 𝜏 = 𝜔!! 2𝑘 𝑥 𝜏 = Francisco Javier Bailén Martínez 𝐹! 𝜏 𝜏 𝐹! 𝜏 𝑚 Dado que el impulso 𝐹! 𝜏 ha de ser una constante, en el límite 𝜏 → 0 : 𝑥 𝜏 = 0 𝑥 𝜏 = 𝐹! 𝜏 𝑚 Es decir, que podemos sustituir la ecuación con condiciones iniciales: 𝑚𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝐼𝛿 𝑡 𝑥 0 = 0 𝑥 0 = 0 Por: 𝑚𝑥 + 𝑘𝑥 = 0 𝑥 0 = 0 𝑥 0 = 𝐹! 𝜏 𝑚 Que es lo mismo que habíamos obtenido para una partícula libre. Francisco Javier Bailén Martínez
